16.2 二次根式的乘除（精讲）2024-2025学年人教版数学八年级下册

16.2 二次根式的乘除 ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ ▒▓ 【题型1】二次根式的乘除法 3 【题型2】二次根式的乘除混合运算 6 【题型3】最简二次根式 8 【题型4】二次根式乘除的规律问题 11 【题型5】把根号外的因数（式）移到根号内 14 1．二次根式的乘法法则 （1）一般地，二次根式的乘法法则是： ． （2）文字语言：两个二次根式相乘，把它们的被开方数相乘，根指数不变． （3）作用：进行二次根式的乘法运算． 2．二次根式乘法法则的逆用 （1）． （2）文字语言：积的算术平方根等于积中各因数（或因式）的算术平方根的积． （3）作用：化简二次根式． 3．二次根式的除法法则 （1）． （2）文字语言：两个二次根式相除，把它们的被开方数相除，根指数不变． （3）作用：进行二次根式的除法运算． 4．二次根式除法法则的逆用 （1）． （2）文字语言：商的算术平方根等于被除数与除数的算术平方根的商． （3）作用：化简二次根式． 5．最简二次根式 （1）把满足以下两个条件的二次根式，叫作最简二次根式． ①被开方数不含分母； ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． （2）化简二次根式 ①将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方； ②化去根号下的分母； ③被开方数是多项式的要先进行因式分解． 1．二次根式的乘法法则的推广： ①． ②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数； ③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用． 2．二次根式乘法法则的逆用的推广： ． 3．利用积的算术平方根的性质化简的步骤： ①将被开方数进行因数分解或因式分解； ②应用积的算术平方根的性质，将能开得尽方的因数或因式开出来． 4．二次根式的除法法则的逆用 公式中中的a，b表示的代数式必需满足a≥0，b>0．a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可． 利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可． 【题型1】二次根式的乘除法 例1 （2024春•赛罕区校级月考）若代数式成立，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由二次根式的除法法则，结合二次根式有意义的条件可得答案． 【解答】解：由题意得：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集是：． 故选：． ◄ 点拨 ► 1．在进行二次根式的乘法运算时， （1）法则中的a，b表示的代数式都必须是非负的． （2）两个二次根式相乘，被开方数的积中有开得尽方的一定要开方． 2．二次根式的除法法则是： ． 【注意】①a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义． ②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数． ③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式． 3．； 4．，其中． 【变式1】　（2024秋•浦东新区校级期末）计算的结果为　　 A． B． C． D． 【变式2】　（2024春•平舆县期末）如果，那么　　 A． B． C． D．为任意实数 【变式3】　（2024秋•黄浦区期末）计算： 　　． 1．【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【解答】解：， 故选：． 2．【答案】 【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则得出的取值范围． 【解答】解：， ，， 解得：． 故选：． 3．【答案】． 【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【题型2】二次根式的乘除混合运算 例2 （2024秋•乐业县期中）计算： 　　． 【分析】根据乘除法法则计算即可． 【解答】解：． 故答案为：1． ◄ 点拨 ► 1．二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用． 2．二次根式乘除混合运算的一般步骤： （1）将算式中的除法转化为乘法； （2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算； （3）将系数和被开方数分别相乘； （4）化成最简二次根式． 【变式4】　（2024秋•通许县期末）计算：　 　． 【变式5】　（2024•南京）计算　　． 【变式6】　（2024•怀远县校级开学）计算： （1）； （2）． 4．【分析】直接把被开方数相乘除计算即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 5． 【分析】根据二次根式的乘除法则可将原式化简即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 6．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先运用二次根式的乘除运算可得原式，再进行化简即可； （2）先运用二次根式的乘除运算可得原式，再进行化简即可． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【题型3】最简二次根式 例3 下列二次根式中，是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【解答】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 故选：． ◄ 点拨 ► 1．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． 2．分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化． 3．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜． 【变式7】　（2024秋•隆回县期末）下列根式是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式8】　（2025•兴宁区校级开学）下列式子中，属于最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 【变式9】　（2024秋•绥化期末）下列根式中是最简二次根式的是　　 A． B． C． D． 7．【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【解答】解：、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 8．【答案】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 9．【分析】最简二次根式的被开方数中不含有分母；最简二次根式的被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【解答】解：、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； 、符合最简二次根式的定义；故本选项正确； 、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故本选项错误； 、的被开方数中含有分母，不是最简二次根式；故本选项错误； 故选：． 【题型4】二次根式乘除的规律问题 例4 （2024春•宁江区校级月考）已知，，，请同学们观察并找到其中蕴涵的规律，并将第9个式子表示出来：　　． 【答案】， 【分析】根据题目中给出的式子找出一般规律，将根号内的整数部分提出，分数的分子为大于2的连续的正整数，分母为分子的平方减1，据此即可求解． 【解答】解：，，， 归纳总结得：第个式子为， 第9个式子为， 故答案为：． ◄ 点拨 ► 认真观察所列等式，根据所列等式呈现的规律进行解答．由规律得出一般情况． 【变式10】　（2024秋•黔江区期末）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按上述规律，计算　　． 【变式11】　（2024秋•龙湾区期中）在草稿纸上计算：①，②，③，，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值： 　　， 　　． 【变式12】　（2024•岳阳县一模）问题探究：因为，所以，因为，所以，请你根据以上规律，结合你的经验化简下列各式：　　． 10．【分析】首先根据题意，可得：，然后根据分母有理数化的方法，求出算式的值是多少即可． 【解答】解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故答案为：． 11． 【分析】先根据已知条件中的算式，找出规律，再按照规律进行解答即可． 【解答】解：①， ②； ③； ． 第个算式为：， ，， 故答案为：10，351． 12．【答案】． 【分析】观察式子可知：，，故可看作平方的结果． 【解答】解：， ． 故答案为：． 【题型5】把根号外的因数（式）移到根号内 例5 （2024秋•徐汇区校级期中）将根号外的因式移到根号内得 　　． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，得，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【解答】解：有意义， ， ， ， ， 原式， 故答案为：． ◄ 点拨 ► （1）如果根号外的式子为正，将其平方后移入根号内． （2）如果根号外的式子为负，保留其符号，将其平方（也可以说是相反数的平方）移入根号内． 【变式13】　（2024秋•东坡区期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 　　． 【变式14】　（2024秋•郸城县期中）化简：　　． 【变式15】　（2023春•抚远市期中）把根号外的因式移到根号内结果为　 　． 13．【答案】． 【分析】先根据题意判断出的符号，进而可得出结论． 【解答】解：有意义， ， ， ． 故答案为：． 14． 【分析】利用二次根式的运算公式直接化简即可得出答案． 【解答】解：根据题意知：， ， 故答案为：． 15．【分析】先根据二次根式成立的条件得到，则，所以原式变形为，然后利用二次根式的性质得到，再利用二次根式的乘法得到，再约分即可． 【解答】解：， ， 原式． 故答案为． 学科网（北京）股份有限公司 $$