精品解析：广东省潮州市高级实验学校2023-2024学年九年级下学期二模数学试题

广东省潮州市高级实验学校2023-2024学年度初三级第二学期数学科 二模模拟题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，比较各数的绝对值大小，即可解答． 【详解】解：， 则信号最强的是， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较，负数比较大小时，绝对值大的反而小，熟知比较法则是解题的关键． 2. 下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】沿一条直线对折，两部分完全重合的图形称为轴对称图形，选项A中沿中间竖直线对折，两部分完全重合，其他选项图形均无法找到符合条件的对折直线，故只有A选项图形为轴对称图形， 故选A． 【点睛】本题考查轴对称图形定义的应用，须注意图形细节的不同之处． 3. 小红想设计制作一个圆柱形的礼品盒，下列展开图中设计正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆柱形的侧面展开图进行解答即可． 【详解】解：圆柱有两个底面是圆，侧面展开图为长方形或正方形， ∴圆柱的平面展开图为， 故选：C． 【点睛】本题考查了几何图形的平面展开图，题目比较简单，属于基础题型． 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据定义“一元二次方程的根是使这个一元二次方程两边相等的未知数的值”，将代入，得到关于m的一元一次方程，解方程即可得到m的值． 【详解】解：将代入， 得：， 解得， 故选D． 5. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，二次根式的化简，掌握“最简二次根式的含义”是解本题的关键．最简二次根式：满足被开方数不含有分母，被开方数不含有开得尽方的因数或因式，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：是最简二次根式，故A符合题意； 不是最简二次根式，故B不符合题意； 不是最简二次根式，故C不符合题意； 不是最简二次根式，故D不符合题意； 故选：A． 6. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 与圆相交 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，求出原点到圆心的距离，再与半径作比较，即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 原点到圆心的距离， ∵半径为5， ∴原点在圆上， 故选：C． 【点睛】 7. 如图，，相交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，能够灵活利用平行线的性质、三角形相似判定和性质是解题的关键． 8. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为图中的圆形喷水池的内角和度数为360°，为一个圆，利用圆的面积计算公式求出圆形喷水池的面积即可． 【详解】解：绿化园地为四边形，四边形的内角和为360°，阴影部分的面积和为一个圆面积，故这四个喷水池占去的绿化园地的面积为． 故选B． 【点睛】此题主要考查多边形内角和以及圆的面积计算方法等知识． 9. 如图，中，，是的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查切线长的性质、弧长公式．根据切线的性质证明四边形为正方形，再弧长公式求解即可． 【详解】解：连接， 在四边形中，， 四边形为矩形． 又因为， 四边形为正方形． 则，， 劣弧的长是． 故选：A． 10. 如图，面积为2的矩形在第一象限，与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线所在直线与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段的三等分点，则b的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据B、D为线段的三等分点，的面积为2，可求出反比例函数的关系式，确定k的值，再利用一次函数与x轴、y轴的交点坐标，及的面积即可求出b的值． 【详解】解：延长交x轴于点Q、P，延长交y轴于点M、N， ∵B、D为线段的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴， ∴反比例函数的关系式为， ∴， ∵一次函数的关系式为，即：， 由题意得的面积为， ∴， 解得:（舍去）， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件．注意二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义． 由二次根式在实数范围内有意义，可得，继而求得答案． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案是：． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是________．（填写甲或乙或丙或丁） 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定，由此可解． 【详解】解：甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，， 成绩最稳定的同学是丁， 故答案为：丁． 13. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】观察图象可得当时，，即可求解． 【详解】观察图象得：当时，，即， ∴不等式的解集为． 故答案为： 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，理解题意，利用数形结合思想求解是解题关键． 14. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 【答案】26 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，先根据垂径定理，由垂直得到点为的中点，由寸可求出的长，再设出圆的半径为寸，表示出的长，根据勾股定理建立关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵为的直径，，且寸， ∴寸， 设圆的半径的长为寸，则寸， ∵寸， ∴寸， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ∴， 解得， ∴寸， 故答案为：26． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，正切的定义，作出辅助线及准确找到各线段之间的关系是解决本题的关键． 先求出，由等腰直角三角形的性质可得，由锐角三角函数可求的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵将沿着折痕翻折， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（第16题10分，第17、18题每题7分，共24分） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求特殊角三角函数值，实数的运算，化简二次根式： （1）先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）解： ，得③， ，得，解得 把代入①，得，解得 ∴这个方程组的解是． 17. 班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下． （1）第一个取下的是福袋的概率为_______． （2）请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法以及概率公式，正确画出树状图成为解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数和第二个摘下灯笼的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：∵第一次摘只能先从和中选择任意一个， ∴第一个摘下灯笼的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意画出状态如下： 由树状图可得：所有等可能情况有4种，其中第二个取下的是A福袋的情况有1种， 第二个取下的是A福袋的概率为． 18. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格． 【答案】一个玻璃杯的价格是25元． 【解析】 【分析】由题目可知等量关系即相同数量的玻璃杯和保温杯，根据数量相等可以列出方程，进行解答． 【详解】解：设一个玻璃杯的价格是x元． 由题意，得：， 解这个方程，得：x＝25． 经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意． 答：一个玻璃杯的价格是25元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，其中根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 四．解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，点D为中点，连接． （1）作的平分线交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作图一基本作图，等腰三角形性质，直角三角形斜边上的中线性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，得到，求出，再根据角平分线定义，直角三角形两锐角互余求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵在中，，， ． 又点D为中点， ． ， 平分， ， ． 20. 如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点． （1）求证：； （2）试判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：垂直垂直， 理由：∵， ∴， ∴点F在线段的垂直平分线上． 又∵， ∴点B在线段的垂直平分线上． ∴垂直平分， ∴垂直． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定； （1）根据矩形的性质结合已知得出，即，再根据可得结论； （2）根据，，可得垂直平分，则垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】（1）两点之间线段最短；（2）最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为 【解析】 【分析】本题主要考查了求曲面上两点之间的最短距离问题和勾股定理，关键是化曲为直，把空间问题转化为平面问题是解题的关键． （1）两点之间线段最短；（2）把圆柱的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，利用勾股定理求解；（3）把圆锥的侧面沿母线剪开，得所求的路线为线段，先利用弧长公式求圆心角度数，再用中位线定理和勾股定理求解． 【详解】解：（1）两点之间线段最短； （2）剪开后，，， 最短路线的长为； （3）圆锥的底面周长为， 设侧面展开图的圆心角度数为， ，解得， 如答图，该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形， 线段的长为蚂蚁爬行的最短距离， 在中， 点为中点， 是的中位线， 蚂蚁爬行的最短距离为． 五．解答题（每小题12分，共24分） 22. 如图，已知的对角线与交于点E，以为直径作，与边交于点F， 点E在上， （1）求证： 四边形是菱形； （2）若点G为的中点，连接， 求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形； （2） 证明：如图，连接 ∵四边形是菱形 ∴， ∴ ∴ ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∵，且点O是直径的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 又是的半径 ∴是的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质以及，即可证明平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质，得出，，结合，且点O是直径的中点，得出是的中位线，因为是的半径，即可作答． （3）根据菱形的性质，得出，，结合勾股定理，，因为，得证，代入数值计算，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， ，， 在中，由勾股定理得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 解得， ∵，且 ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、切线的判定、勾股定理、相似三角的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23. 如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． （1）求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； （2）如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 【答案】（1），， （2）①，② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，可得顶点坐标，利用抛物线解析式求出点B的坐标，利用待定系数法即可求出直线的表达式； （2）①设，代入直线：，求得，即点G的坐标为，即可求解②证明，利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得． ∴抛物线的表达式为，即， ∴顶点D的坐标为，对称轴为直线． ∵A，B两点关于直线对称， ∴点B的坐标为． 设直线的表达式为，且， ∴，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：（2）①设， 把代入， 得， ∴点G的坐标为， ∴． ②∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， 当时，有最大值， 的最大值为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，三角形相似的判定与性质，一次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省潮州市高级实验学校2023-2024学年度初三级第二学期数学科 二模模拟题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强（单位：），则下列信号最强的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于体育运动的图标是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 小红想设计制作一个圆柱形的礼品盒，下列展开图中设计正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. C. 3 D. 6 5. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，半径为5作圆，则原点一定（ ） A. 在圆外 B. 在圆内 C. 在圆上 D. 与圆相交 7. 如图，，相交于点，则的长为（ ） A. B. 4 C. D. 6 8. 如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为2的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，是的内切圆，切点分别为点D、E、F，，则劣弧的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，面积为2的矩形在第一象限，与x轴平行，反比例函数经过B、D两点，直线所在直线与x轴、y轴交于E、F两点，且B、D为线段的三等分点，则b的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是________．（填写甲或乙或丙或丁） 13. 如图，函数的图象过点，则不等式的解集是_______． 14. “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”大意是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，则的直径为_______寸． 15. 如图，在中，，，，点D在边上，点E在边上，将沿着折痕翻折后，点A恰好落在线段的延长线上的点P处，如果，那么折痕的长为________． 三、解答题（第16题10分，第17、18题每题7分，共24分） 16. （1）计算：； （2）解方程组： 17. 班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下，取之前需先取下，直到4个福袋都被取下． （1）第一个取下的是福袋的概率为_______． （2）请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率． 18. 某公司打算购买一批相同数量的玻璃杯和保温杯，计划用2000元购买玻璃杯，用2800元购买保温杯．已知一个保温杯比一个玻璃杯贵10元，求一个玻璃杯的价格． 四．解答题（每小题9分，共27分） 19. 如图，在中，，点D为中点，连接． （1）作的平分线交于点E（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若，求的度数． 20. 如图，点E是矩形对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点． （1）求证：； （2）试判断线段与的位置关系，并说明理由． 21. 综合与实践 “转化”是一种重要的数学思想，将空间问题转化为平面问题是转化思想的一个重要方面．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题： 问题情境： 如图1，一只蚂蚁从点出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为．底面直径为． 问题解决： （1）判断最短路线的依据是______； （2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长（结果保留根号和）； 拓展迁移： 如图2，为圆锥的顶点，为底面圆周上一点，点是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点出发绕圆锥侧面爬行回到点时所经过的路径的痕迹． （3）请求出蚂蚁爬行的最短距离． 五．解答题（每小题12分，共24分） 22. 如图，已知的对角线与交于点E，以为直径作，与边交于点F， 点E在上， （1）求证： 四边形是菱形； （2）若点G为的中点，连接， 求证：是的切线； （3）在（2）的条件下，若，求的长． 23. 如图所示，抛物线的图象与x轴交于点与点B，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点，直线l为对称轴． （1）求抛物线和直线的表达式，并求出点D的坐标； （2）如图所示，若点M是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点H，过点M作x轴的平行线，交直线于点G，设点M的横坐标为m． ①求用含m的代数式表示线段的长； ②求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $