第18章　18.1　平行四边形的性质 学案 2024-2025学年 华东师大版数学八年级下册

18.1　平行四边形的性质 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征 几何直观、推理能力 2.会利用平行四边形的性质进行相关的计算和证明 推理能力、运算能力、应用意识 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 平行四 边形对 角线的 性质 1.平行四边形的对角线 2.两条对角线分平行四边形为面积 的四个三角形  3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分 　如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则下列式子不正确的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.BO=OD B.AB=CD C.∠BAD=∠BCD D.AC=BD 重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P78练习T2补充)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,过点C作CF⊥BD,垂足为点F. (1)求证:AE=CF; (2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数. 【举一反三】 在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB长 2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长. 【技法点拨】 平行四边形性质的应用 【重点2】平行四边形的周长与面积(推理能力、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P79例7补充)如图,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M. (1)若△CDM的周长为8,求▱ABCD的周长; (2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,试求∠BCA的度数. 【举一反三】 1.如图,在▱ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是 .  2.如图,在▱ABCD中,AD=6,AB=10,∠DAB=60°,AC,BD相交于点O,经过点O的直线EF分别交CD,AB于点E,F,则图中阴影部分的面积是 .  【技法点拨】 1.平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等,并且相邻两个三角形的周长之差等于相应的邻边之差. 2.过平行四边形对角线交点的直线将该平行四边形的面积等分. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·抽象能力)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.AB=CD B.OB=OD C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC 2.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是( ) A.16 B.18 C.20 D.22 3.(4分·抽象能力、推理能力)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,添加一个条件使△BOE≌△DOF,这个条件可以是 (写出一个即可).  4.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E,若△CDE的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为 cm.  学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1　平行四边形的性质 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质,了解两平行线之间距离的概念. 几何直观、抽象能力、推理能力 2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 推理能力、运算能力、应用意识 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 项目 定义 性质 平行 四边形 两组对边分别　平行　的四边形  1.两组对边分别　平行　,　相等　  2.两组对角分别　相等　  3.邻角　互补　  两条平 行线间 的距离 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的　距离　  1.两条平行线之间的距离　处处相等　  2.夹在两条平行线间的平行线段　相等　  1.在▱ABCD中,已知AD=4,AB=2,则▱ABCD的周长是(D) A.18 B.16 C.14 D.12 2.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2,则其中较小的内角是(A) A.60° B.90° C.120° D.45° 3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°, AB=1,AD=2,那么AD,BC间的距离为　1　.  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(模型观念、运算能力) 【典例1】如图,在▱ABCD中,CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N. (1)若∠B=45°,则∠MCN=　　　;  (2)若▱ABCD的周长等于15,CM=2,CN=3,求AB,AD的长. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC, ∴∠A=180°-∠B=180°-45°=135°, ∵CM⊥AD于M,CN⊥AB于N, ∴∠AMC=∠ANC=90°, ∴∠MCN=360°-90°-90°-135°=45°; 答案:45° (2)∵▱ABCD的周长等于15,∴AB=CD,AD=BC,AB+BC+CD+AD=15, ∴AB+AD=①,∵▱ABCD的面积=AB×CN=AD×CM,∴3AB=2AD, 则3AB-2AD=0②, ①×2+②得,5AB=15,∴AB=3, ∴AD=-3=. 【举一反三】 1.如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在E处.若∠1=56°, ∠2=42°,则∠A的度数为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.108°　 B.109°　 C.110°　 D.111° 2.(2024·绵阳期末)如图,在▱ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于E,则∠BCE的度数为　22°　.  【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(推理能力、几何直观) 【典例2】已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P,Q是对角线BD上的两个点,且BP=DQ.求证:PA=QC. 【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABP=∠CDQ, 在△ABP和△CDQ中, , ∴△ABP≌△CDQ(S.A.S.),∴PA=QC. 【举一反三】 (2024·乐山质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC到点E,使得CE=BC,连结AE交CD于点F.求证:DF=CF. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC.∴∠DAF=∠E. 又∵CE=BC,∴AD=EC. 在△ADF和△ECF中,, ∴△ADF≌△ECF(A.A.S.),∴DF=CF. 【技法点拨】 应用平行四边形的边角性质的两个“注意” (1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件. (2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·抽象能力、运算能力)如图,在▱ABCD中,∠A=125°,则∠1=(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.65° B.50° C.55° D.45° 2.(4分·推理能力、运算能力)如图所示,在▱ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连结EF,则∠E+∠F的度数为(D) A.120° B.30° C.50° D.60° 3.(4分·应用意识、运算能力)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为(D) A.1和4 B. 4和1 C. 2和3 D.3和2 4.(4分·推理能力、运算能力)若▱ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB= 　8　.  训练升级,请使用　“课时过程性评价 十九” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1　平行四边形的性质 第2课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解和掌握平行四边形的对角线互相平分的特征 几何直观、推理能力 2.会利用平行四边形的性质进行相关的计算和证明 推理能力、运算能力、应用意识 基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 新知要点 对点小练 平行四 边形对 角线的 性质 1.平行四边形的对角线　互相平分　  2.两条对角线分平行四边形为面积　相等　的四个三角形  3.过对角线交点的任一条直线将平行四边形分成面积相等的两部分 　如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则下列式子不正确的是(D) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.BO=OD B.AB=CD C.∠BAD=∠BCD D.AC=BD 重点典例研析　　启思凝智 教学相长 【重点1】平行四边形的对角线互相平分(几何直观、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P78练习T2补充)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E,过点C作CF⊥BD,垂足为点F. (1)求证:AE=CF; (2)若∠AOE=70°,∠EAD=3∠EAO,求∠BCA的度数. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∵AE⊥BD,CF⊥BD, ∴∠AEO=∠CFO=90°, ∵∠AOE=∠COF, ∴△AEO≌△CFO(A.A.S.),∴AE=CF; (2)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°, ∵∠AOE=70°,∴∠EAO=90°-∠AOE=20°,∵∠EAD=3∠EAO,∴∠EAD=3×20° =60°,∴∠DAC=∠DAE-∠EAO=60°-20°=40°,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,∴∠BCA=∠DAC=40°. 【举一反三】 在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知AO比AB短3 cm,BO比AB长 2 cm,BO是AO的2倍,求AC,BD的长. 【解析】设AB=x cm, 则AO=(x-3)cm,BO=(x+2)cm, ∵BO是AO的2倍,∴x+2=2(x-3), 解得x=8,∴AO=5 cm,BO=10 cm, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AC=2AO=10 cm,BD=2BO=20 cm. 【技法点拨】 平行四边形性质的应用 【重点2】平行四边形的周长与面积(推理能力、运算能力) 【典例2】(教材再开发·P79例7补充)如图,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M. (1)若△CDM的周长为8,求▱ABCD的周长; (2)若∠ADC=78°,CM平分∠ACD,试求∠BCA的度数. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD=BC, ∵OM⊥AC,∴AM=MC. ∴△CDM的周长=CM+MD+DC=AM+MD+DC=AD+CD=8,∴平行四边形ABCD的周长为2(AD+CD)=2×8=16. (2)∵AM=CM,∴∠MAC=∠MCA, ∵CM平分∠ACD,∴∠MAC=∠MCA=∠MCD,∵∠ADC=78°, ∴3∠MAC+78°=180°,∴∠MAC=34°, ∵AD∥BC,∴∠BCA=∠MAC=34°. 【举一反三】 1.如图,在▱ABCD中,已知对角线AC和BD相交于点O,△AOB的周长为15,AB=6,那么对角线AC与BD的和是　18　.  2.如图,在▱ABCD中,AD=6,AB=10,∠DAB=60°,AC,BD相交于点O,经过点O的直线EF分别交CD,AB于点E,F,则图中阴影部分的面积是　15　.  【技法点拨】 1.平行四边形被两条对角线分成的四个小三角形的面积相等,并且相邻两个三角形的周长之差等于相应的邻边之差. 2.过平行四边形对角线交点的直线将该平行四边形的面积等分. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·抽象能力)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论错误的是(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.AB=CD B.OB=OD C.AB=AD D.∠ABC=∠ADC 2.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC,若AB=8,AC=12,则BD的长是(C) A.16 B.18 C.20 D.22 3.(4分·抽象能力、推理能力)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在AC上,添加一个条件使△BOE≌△DOF,这个条件可以是　OE=OF(答案不唯一)　(写出一个即可).  4.(4分·推理能力、运算能力)如图,平行四边形ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD交BC于点E,若△CDE的周长为13 cm,则平行四边形ABCD的周长为　26　cm.  训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 18.1　平行四边形的性质 第1课时 课时学习目标 素养目标达成 1.理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质,了解两平行线之间距离的概念. 几何直观、抽象能力、推理能力 2.会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题,并会进行有关的论证. 推理能力、运算能力、应用意识 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 项目 定义 性质 平行 四边形 两组对边分别 的四边形  1.两组对边分别 , 2.两组对角分别 3.邻角 两条平 行线间 的距离 两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的 1.两条平行线之间的距离 2.夹在两条平行线间的平行线段 1.在▱ABCD中,已知AD=4,AB=2,则▱ABCD的周长是( ) A.18 B.16 C.14 D.12 2.若平行四边形中两个内角的度数比为1∶2,则其中较小的内角是( ) A.60° B.90° C.120° D.45° 3.如图,AD∥BC,∠A=∠D=90°, AB=1,AD=2,那么AD,BC间的距离为 .  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点1】利用平行四边形的性质进行计算(模型观念、运算能力) 【典例1】如图,在▱ABCD中,CM⊥AD于点M,CN⊥AB于点N. (1)若∠B=45°,则∠MCN= ;  (2)若▱ABCD的周长等于15,CM=2,CN=3,求AB,AD的长. 【举一反三】 1.如图,将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠,使点A落在E处.若∠1=56°, ∠2=42°,则∠A的度数为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.108°　 B.109°　 C.110°　 D.111° 2.(2024·绵阳期末)如图,在▱ABCD中,∠A=68°,DB=DC,CE⊥BD于E,则∠BCE的度数为 .  【重点2】利用平行四边形的性质进行证明(推理能力、几何直观) 【典例2】已知:如图,四边形ABCD是平行四边形,P,Q是对角线BD上的两个点,且BP=DQ.求证:PA=QC. 【举一反三】 (2024·乐山质检)如图,四边形ABCD是平行四边形,延长BC到点E,使得CE=BC,连结AE交CD于点F.求证:DF=CF. 【技法点拨】 应用平行四边形的边角性质的两个“注意” (1)注意隐含条件的挖掘:平行四边形提供了线段的数量及位置关系,也提供了角的关系,为证明线段的相等、角的相等、三角形的全等提供了条件. (2)在解题时,能应用平行四边形直接得到的结论,不要再通过三角形的全等去证明. 素养当堂测评　　(10分钟·16分) 1.(4分·抽象能力、运算能力)如图,在▱ABCD中,∠A=125°,则∠1=( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.65° B.50° C.55° D.45° 2.(4分·推理能力、运算能力)如图所示,在▱ABCD中,∠C=120°,延长BA至点E,延长DA至点F,连结EF,则∠E+∠F的度数为( ) A.120° B.30° C.50° D.60° 3.(4分·应用意识、运算能力)如图,在▱ABCD中,AD=5,AB=3,AE平分∠BAD交BC边于点E,则线段BE,EC的长度分别为( ) A.1和4 B. 4和1 C. 2和3 D.3和2 4.(4分·推理能力、运算能力)若▱ABCD的周长为48,且AB∶BC=1∶2,则AB= .  学科网（北京）股份有限公司 $$