模型综合练三 全等三角形 2025年中考数学几何模型专题复习

模型综合练三 全等三角形 基础过关 1. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在△ABC的三条边上,且∠B=∠EDF,BD=CF.若CF=1,BE=2,则BC的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2.如图,在边长为6 的正方形 ABCD 中,点 E是 BC的中点,点 F 是 CD 上一点,连接AE,AF,EF,∠EAF=45°,则下列结论:①∠BAE=30°,②BE+DF=EF,③tan∠AFE=3,④S△CEF=6,其中正确的是 ( ) A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 3. 一题多解 如图,在△ABC中,AD 是BC边上的中线，E是AD 上一点，连接 BE 并延长交AC于点 F,若AF=EF=2,BF=7,则AC的长为 . 4. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于点E,AD⊥CE 于点 D,若AD=8,DE=5,则BC= . 5. 如图,在菱形ABCD 中,E、F分别是AB,AD上的点,且∠B=∠FAC,BE=AF,若AB=5,DF=3,则 6. 如图,在▱ABCD中,BC=2AB,过点A 作AE⊥CD 于点 E,F 为 BC 的中点,连接 EF,若∠B=70°,则∠BFE= . 能力提升 7. 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=4，点E，F在以 BC为边的等边三角形上，且∠EAF=60°,则△EFD的周长为 . 8.如图，抛物线 与x轴交于A(-4,0),B两点,与y轴交于点C(0,4),点D为x轴上方抛物线上的动点，将射线 OD 绕点 O逆时针旋转45°得到射线 OP，OP 交直线AC于点 F,连接 DF. (1)求抛物线的解析式； (2)当点 D 在第二象限且△ODF 为直角三角形时，求点 D 的坐标. 9. 如图,已知在四边形ABCD 中,∠A+∠C= ,DB平分∠ADC. (1)求证: (2)如图②,点 E,F分别是AB,BC上的点,连接CE,AF交于点 M,连接EF,若 求AE 的长. 挑战压轴 10. 如图①,在 中， ,点 D 是 AB 上一点,连接 CD,过点 B作 ,交 CD 的延长线于点E,与 CA的延长线交于点 F，连接AE，过点 A作AG 交CD于点 G. (1)求证:( (2)如图②,若点 D 是AB 的中点. ①求证： ②当 时,求AE 的长. 1. C 2. C 3. 5 4. 5. 6. 165° 7. 8 8. 解:(1)将点A(-4,0),C(0,4)代入. bx+c, 解得 (2)设直线AC 的解析式为y= mx+n,把A(-4,0),C(0,4)代入,得 解得 ∴ 直线AC 的解析式为y=x+4,设1F(t,t+4),当∠FDO = 90°时,如解图①,过点 D 作MN⊥y 轴,交 y轴于点 N,过点 F 作 FM⊥MN交于点 M, ∵∠DOF=45°, ∴DF=DO, ∵∠MDF+∠NDO=90°,∠MDF+∠MFD=90°, ∴∠NDO=∠MFD, ∴△MDF≌△NOD(AAS), ∴DM=ON,MF=ND, ∴DN+ON=-t,DN=ON+(-t-4), ∴ON=2,DN=-t-2, ∴D点纵坐标为2， 解得 (正值舍去)或 ∴ D 点坐标为 当∠DFO=90°时,如解图②,过点 F 作 KL⊥x轴,交x轴于点 L,过点 D 作 DK⊥KL交于点K, ∵∠KFD+∠LFO=90°,∠KFD+∠KDF=90°, ∴∠LFO=∠KDF, ∵DF=FO, ∴△KDF≌△LFO(AAS), ∴KD=LF,KF=LO, ∴KL=t+4-t=4, ∴D 点纵坐标为4， 解得x=0(舍去)或x=-3, ∴D(-3,4). 综上所述：D点坐标为 或(-3,4). 9. 解:(1)如解图①,过点 B 作 BF⊥DC 于点F,过点 B 作 BE⊥DA,交 DA 延长线于点 E,则∠BEA=∠BFC=90°, ∵ DB 平分∠ADC, ∴BE=BF, 又∵ ∠BAD + ∠C = ∠BAD+∠BAE=180°, ∴∠C=∠BAE, 在△BEA 和△BFC中, ∴△BEA≌△BFC(AAS), ∴AB=BC; (2)如解图②,作 FG⊥AB 于点 G,EH⊥AF于点H,CN⊥AD 交AD 的延长线于点 N,连接AC. ∵∠ADB=60°,BD平分∠CDA, ∴在Rt△CDN中,∠CDN=60°,CD=8, ∴∠DCN=30°, ∴AN=AD+DN=11, ∵AB=BC,∠ABC=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴AC=CB=AB=13,∠CAB=60°, ∵∠CMF=∠ACM+∠MAC=60°, ∠MAE+∠MAC=60°, ∴∠ACE=∠BAF, ∵∠CAE=∠ABC, ∴△ACE≌△BAF(ASA), ∴AE=BF,设AE=BF=x, 则 在 Rt△EFG中, 解得x=5或x=8, 当x=8时,AE=BF=8, ∵AB=BC=13, ∴CF=BE=5, 此时CF<BF，不符合题意，舍去； ∴AE=BF=5. 10. (1)证明:∵∠BAC=90°, ∴∠BAF=∠BAC=90°, ∴∠F+∠ABF=90°, ∵BF⊥CD,∴∠F+∠ECF=90°, ∴∠ABF=∠ECF, ∵AB=AC, ∴△ABF≌△ACD, ∴CD=BF; (2)①证明:如解图,过点 A 作 AM⊥CD 于点M, ∵∠BAC=90°,AG⊥AE, ∴ ∠BAE + ∠DAG =∠DAG+∠CAG=90°, ∴ ∠BAE=∠CAG, ∵ AB =AC,且由(1)知,∠ABF=∠ECF, ∴△ABE≌△ACG, ∴AE=AG,△AEG是等腰直角三角形, ∵AM⊥CD,∴AM=EM=GM, ∵BF⊥CD,AM⊥CD, ∴∠BED=∠AMD=90°, ∵D是AB的中点,∴BD=AD, ∵ ∠BDE=∠ADM, ∴ △BDE≌△ADM, ∴DE=DM,BE=AM, ∵DG=DM+MG,∴DG=DE+BE; ②解:∵AB=2,AB=AC,点D 是AB 的中点, ∴AC=AB=2,AD=BD=1, ∴在 Rt△ACD中, ∵∠CAD=∠BED=90°,∠ADC=∠BDE, ∴△ADC∽△EDB, 由(2)的①得△AEG为等腰直角三角形， 学科网（北京）股份有限公司 $$