1.1　等腰三角形同步练习 2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

等腰三角形(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等腰三角形的判定 1.下列能断定△ABC为等腰三角形的是(C) A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A=2∠B=70° C.∠A=40°,∠B=70° D.AB=3,BC=6,周长为14 2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD=　2　cm.  3.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角形的个数是　3　.  4.如图,已知:在△ABC中,点D,E在BC边上,且∠1=∠B,∠2=∠C,BC=10 cm,求△ADE的周长. 【解析】∵∠1=∠B,∠2=∠C, ∴BD=AD,AE=CE, ∵C△ADE=AD+DE+AE, ∴C△ADE=BD+DE+CE=BC=10(cm). 5.已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.则△DOP是　等腰　三角形.  6.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,B,C,G在同一直线上,CF平分∠ACG,EF∥BC交AC于点D,求证:DE=DF. 【证明】∵CE是△ABC的角平分线, ∴∠ACE=∠BCE. ∵CF为外角∠ACG的平分线, ∴∠ACF=∠GCF. ∵EF∥BC, ∴∠GCF=∠F,∠BCE=∠CEF, ∴∠ACE=∠CEF,∠F=∠DCF, ∴CD=ED,CD=DF(等角对等边), ∴DE=DF. 知识点2　反证法 7.牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明“在同一平面内,若a⊥b,c⊥b,则a∥c”时,首先应假设(A) A.a与c相交 B.a与b相交 C.a∥b D.c∥b 8.(2023·泰州期中)用反证法证明命题“是无理数”时,应假设 是有理数　.  【B层 能力进阶】 9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与 ∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为(A) A.14 B.16 C.18 D.20 10.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D的对应点为点F,CF与AB交于点E,若长方形ABCD的周长为16,则△CBE的周长为(B) A.4 B.8 C.16 D.32 11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,∠AOB=60°,OP平分∠AOB,C为射线OP上一点.如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为　120°或75°或30°　.  12.如图,等边△ABC的边长为12 cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t=　4或16　s时,△AMN为等腰三角形.  13.将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°. (1)求∠1的度数; 【解析】(1)∵一张长方形纸条ABCD折叠, ∴∠GEF=∠FEC=64°,∵AD∥BC,∴∠1=∠GEB=180°-64°-64°=52°. (2)求证:△GEF是等腰三角形. 【解析】(2)由(1)知∠GEF=64°, ∵AD∥BC,∴∠GFE=∠FEC=64°, ∴∠GEF=∠GFE,∴△GEF是等腰三角形. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图①,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点,过O点作BC平行线分别交AB,AC于E,F. (1)请写出图①中线段EO和BE的大小关系: BE=OE.  【解析】(1)EO=BE, 理由:∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC, ∵BO是∠ABC的平分线,∴∠EBO=∠OBC, ∴∠EBO=∠EOB,∴BE=OE. (2)请写出图①中线段EF与BE,CF间的关系: EF=BE+CF.  【解析】(2)EF=BE+CF,理由如下: ∵EF∥BC,∴∠FOC=∠OCB, ∵CO是∠ACB的平分线,∴∠FCO=∠OCB, ∴∠FCO=∠FOC,∴CF=OF, 由(1)得BE=OE,∴EF=OE+OF=BE+CF. (3)如图②,若∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.请写出EF与BE,CF的关系,并说明理由. 【解析】 (3)EF=BE-CF,理由如下: ∵EF∥BC,∴∠EOB=∠OBC, ∵BO平分∠ABC,∴∠ABO=∠OBC, ∴∠ABO=∠EOB,∴OE=BE, ∵EF∥BC,∴∠FOC=∠OCG, ∵CO平分∠ACG,∴∠FCO=∠OCG,∴∠FOC=∠FCO,∴OF=CF,∴EF= OE-OF=BE-CF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形(第4课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的判定 1.△ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点,则图中共有等边三角形( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是( ) A.9 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 3.已知△ABC,D是BC上一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是( ) A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD 4.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 .  5.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形. 知识点2　含30°角的直角三角形的性质 6.如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,点D为AC边的中点.若BC=6,则BD的长为( ) A.3 B.4 C.6 D.8 7.如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=2,则AB的长为 .  8.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°.若AB=10,则S△ABC= .  【B层 能力进阶】 9.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是( ) A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m 10.如图,△ABC是等边三角形,AB=4,D是AB的中点,DF⊥AC于点F,FE⊥BC于点E,则EF的长是( ) A. B.2 C.3 D.3 11.【易错警示题·概念不清】如图,这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图,双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘AC=BD=60 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为( ) A.60 cm B.68 cm C.60 cm D.(60+8) cm 12.(与物理学科融合)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD= .  13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,两线相交于点F. (1)若∠BAC=60°,∠C=70°,求∠AFB的大小; (2)若D是BC的中点,∠ABE=30°,求证:△ABC是等边三角形. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,按图中箭头指向沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动. (1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合? (2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN? 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等腰三角形中重要的线段 1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=40°.中线AD与角平分线CE交于点F,则∠CFD的度数为( ) A.25° B.35° C.45° D.55° 2.如图,在△ABC中,AB=AC.若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,且BD=3,则CE的长为 ,若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,则BD与CE (填“相等”或“不相等”).  3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点G是BA延长线上一点,点F是AC上一点,AG=AF,连接GF并延长交BC于点E.若∠B=55°, (1)求∠AFG的度数; (2)求证:GE⊥BC. 知识点2　等边三角形的性质 4.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为( ) A.45° B.60° C.65° D.75° 5.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD,若 ∠ACD=15°,则∠CBE= .  6.如图,已知等边△ABC,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,连接BE,AD交于点F.求证:∠AFE=60°. 【B层 能力进阶】 7.如图,已知CE和BD分别是△ABC的角平分线和高线,且AE=CE,若∠ABC=75°,则∠BOE的度数为( ) A.30° B.60° C.55° D.45° 8.如图,已知△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是( ) A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE 9.如图所示,在等边△ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于( ) A.10° B.15° C.20° D.25° 10.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确的是 .(填序号)  11.如图,A,C,E三点共线,△ABC与△CDE是等边三角形,AD⊥BC于点M,EB平分∠DEC交CD于点N,AD与BE相交于点O,则∠BDE= .  12.如图1,△ABC为等边三角形,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于点Q. (1)求证:AM=BN. (2)求∠BQM的度数. (3)如图2,若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,P为等边三角形ABC内的一点,它到三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,则h与h1,h2,h3之间有何数量关系?写出你的猜想并加以证明. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形(第4课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等边三角形的判定 1.△ABC是等边三角形,D,E,F为各边中点,则图中共有等边三角形(D) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.因为木质衣架没有柔性,所以在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm.若衣架收拢时,∠AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是(C) A.9 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm 3.已知△ABC,D是BC上一点,连接AD,下列条件中能判定△ABC是等边三角形的是(C) A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD 4.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置.已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为　2 cm　.  5.如图,在△ABC中,点D是AB上的一点,且AD=DC=DB,∠B=30°.求证:△ADC是等边三角形. 【证明】∵DC=DB,∠B=30°, ∴∠DCB=∠B=30°, ∴∠ADC=∠DCB+∠B=60°, 又∵AD=DC, ∴△ADC是等边三角形. 知识点2　含30°角的直角三角形的性质 6.如图,在等腰三角形ABC中,BA=BC,∠ABC=120°,点D为AC边的中点.若BC=6,则BD的长为(A) A.3 B.4 C.6 D.8 7.如图,在等边三角形ABC中,BD平分∠ABC交AC于点D,过点D作DE⊥BC于点E,且CE=2,则AB的长为　8　.  8.如图,△ABC中,AB=AC,∠A=30°.若AB=10,则S△ABC=　25　.  【B层 能力进阶】 9.(2023·贵州中考)5月26日,“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕,在“自动化立体库”中有许多几何元素,其中有一个等腰三角形模型(示意图如图所示),它的顶角为120°,腰长为12 m,则底边上的高是(B) A.4 m B.6 m C.10 m D.12 m 10.如图,△ABC是等边三角形,AB=4,D是AB的中点,DF⊥AC于点F,FE⊥BC于点E,则EF的长是(A) A. B.2 C.3 D.3 11.【易错警示题·概念不清】如图,这是一个地铁站入口的双翼闸机的示意图,双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为8 cm,双翼的边缘AC=BD=60 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为(B) A.60 cm B.68 cm C.60 cm D.(60+8) cm 12.(与物理学科融合)如图,CD是平面镜,光线从点A出发经CD上点O反射后照射到点B,若入射角为α,反射角为β(反射角等于入射角),AC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,且∠α=60°,OB=10,则BD=　5　.  13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,BE平分∠ABC交AC边于E,两线相交于点F. (1)若∠BAC=60°,∠C=70°,求∠AFB的大小; 【解析】(1)∵∠BAC=60°,∠C=70°, ∴∠ABC=180°-60°-70°=50°. ∵BE平分∠ABC,∴∠FBD=∠ABC=25°. ∵AD⊥BC,∴∠BDF=90°, ∴∠AFB=∠FBD+∠BDF=115°. (2)若D是BC的中点,∠ABE=30°,求证:△ABC是等边三角形. 【解析】(2)∵∠ABE=30°,BE平分∠ABC, ∴∠ABC=60°. ∵BD=DC,AD⊥BC,∴AB=AC, ∴△ABC是等边三角形. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,△ABC中,AB=BC=AC=12 cm,现有两点M,N分别从点A,B同时出发,按图中箭头指向沿三角形的边运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s.当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动. (1)点M,N运动几秒时,M,N两点重合? 【解析】(1)设点M,N运动x s时,M,N两点重合.则x+12=2x,解得x=12.即点M,N运动12 s时,M,N两点重合. (2)点M,N运动几秒时,可得到等边三角形AMN? 【解析】(2)由题可知△ABC是等边三角形,由(1)可知当点M在边AC上,点N在边AB上,且AM=AN时,△AMN是等边三角形. 设点M,N运动t s时,可得到等边三角形AMN,则AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t. ∵△AMN是等边三角形,∴t=12-2t,解得t=4, ∴点M,N运动4 s时,可得到等边三角形AMN. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　全等三角形的性质和判定 1.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌ △ADB的是( ) A.AC=AB B.∠ADC=∠ADB C.CD=BD D.AC⊥CD 2.如图,AC=DC,AB=DE,请你添加一个适当的条件: ,使得△ABC≌△DEC.  3.将下面证明中每一步的理由写在括号内. 已知:如图,∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,求证:AD=BC. 证明:∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC( ),  ∴∠CAB+∠DAC=∠DBA+∠CBD( ),  即∠DAB=∠CBA( ),  在△ADB和△BCA中, ∴△ADB≌△BCA( ),  ∴AD=BC( ).  知识点2　等腰三角形的性质 4. (2023·包头中考)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为( ) A.32° B.58° C.74° D.75° 5.(2023·淮安中考)若等腰三角形的周长是20 cm,一腰长为7 cm,则这个三角形的底边长是 cm.  知识点3　实际问题中的等腰三角形 6.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光,其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是( ) A.∠ADB=∠ADC B.BD=CD C.BC=2AD D.S△ABD=S△ACD 7.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小. 【B层 能力进阶】 8.如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若 ∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为 .  9.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】若(a-3)2+=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为 .  10.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”.若等腰△ABC中,k=,则顶角为 .  11.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连接CE. (1)求证:△ABD≌△ACE; (2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(运算能力、模型观念、推理能力)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上. 活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒. 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗?答: .(填“能”或“不能”)  (2)设AA1=A1A2=A2A3,θ= ;  活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1. 数学思考: (3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形(第1课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　全等三角形的性质和判定 1.如图,在△ACD与△ABD中,∠C=∠B,再添加一个下列条件,能判断△ADC≌ △ADB的是(B) A.AC=AB B.∠ADC=∠ADB C.CD=BD D.AC⊥CD 2.如图,AC=DC,AB=DE,请你添加一个适当的条件:　CB=CE(答案不唯一)　,使得△ABC≌△DEC.  3.将下面证明中每一步的理由写在括号内. 已知:如图,∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC,求证:AD=BC. 证明:∵∠CAB=∠DBA,∠CBD=∠DAC(　已知　),  ∴∠CAB+∠DAC=∠DBA+∠CBD(　等式的性质　),  即∠DAB=∠CBA(　等量代换　),  在△ADB和△BCA中, ∴△ADB≌△BCA(　ASA　),  ∴AD=BC(　全等三角形的对应边相等　).  知识点2　等腰三角形的性质 4. (2023·包头中考)如图,直线a∥b,直线l与直线a,b分别相交于点A,B,点C在直线b上,且CA=CB.若∠1=32°,则∠2的度数为(C) A.32° B.58° C.74° D.75° 5.(2023·淮安中考)若等腰三角形的周长是20 cm,一腰长为7 cm,则这个三角形的底边长是　6　cm.  知识点3　实际问题中的等腰三角形 6.莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光,其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”.“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC,AB=AC,D是边BC上的一点.下列条件不能说明AD是△ABC的角平分线的是(C) A.∠ADB=∠ADC B.BD=CD C.BC=2AD D.S△ABD=S△ACD 7.如图1是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图2所示,AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,∠C=50°,求∠D的大小. 【解析】∵∠BAD=∠EAC,∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD,即∠BAC= ∠EAD, 在△BAC与△EAD中,, ∴△BAC≌△EAD(SAS), ∴∠D=∠C=50°. 【B层 能力进阶】 8.如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若 ∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为　34°　.  9.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】若(a-3)2+=0,则以a,b为边长的等腰三角形的周长为　11或13　.  10.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特值”.若等腰△ABC中,k=,则顶角为　36°　.  11.如图,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°,且点D在线段BC上,连接CE. (1)求证:△ABD≌△ACE; 【解析】(1)∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD,即∠BAD=∠CAE, 在△ABD和△ACE中,, ∴△ABD≌△ACE(SAS); (2)若∠EAC=60°,求∠CED的度数. 【解析】(2)∵△ABD≌△ACE,∴∠ACE=∠ABD, ∵AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°, 即△ABC和△ADE都是等腰直角三角形, ∴∠ACE=∠ABD=∠AED=45°, ∵∠EAC=60°,∴∠AEC=180°-∠ACE-∠EAC=180°-45°-60°=75°, ∴∠CED=∠AEC-∠AED=75°-45°=30°. 【C层 创新挑战(选做)】 12.(运算能力、模型观念、推理能力)某数学兴趣小组开展了一次活动,过程如下:设∠BAC=θ(0°<θ<90°).现把小棒依次摆放在两射线之间,并使小棒两端分别落在射线AB,AC上. 活动一:如图甲所示,从点A1开始,依次向右摆放小棒,使小棒与小棒在端点处互相垂直,A1A2为第1根小棒. 数学思考: (1)小棒能无限摆下去吗?答: 能.(填“能”或“不能”)  【解析】(1)∵根据已知条件∠BAC=θ(0°<θ<90°),小棒两端分别落在两射线上, ∴小棒能继续摆下去. (2)设AA1=A1A2=A2A3,θ=22.5°;  【解析】(2)∵A1A2=A2A3,A1A2⊥A2A3, ∴∠A2A1A3=45°,∴∠AA2A1+θ=45°, ∵∠AA2A1=θ,∴θ=22.5°. 活动二:如图乙所示,从点A1开始,用等长的小棒依次向右摆放,其中A1A2为第1根小棒,且A1A2=AA1. 数学思考: (3)若已经摆放了3根小棒,用含θ的式子表示θ3. 【解析】(3)∵A1A2=AA1, ∴∠A1AA2=∠AA2A1=θ, ∴∠A2A1A3=θ1=θ+θ,∴θ1=2θ, 同理可得:θ2=3θ,θ3=4θ. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形(第2课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等腰三角形中重要的线段 1.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=40°.中线AD与角平分线CE交于点F,则∠CFD的度数为(D) A.25° B.35° C.45° D.55° 2.如图,在△ABC中,AB=AC.若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,且BD=3,则CE的长为　3　,若∠ABD=∠ABC,∠ACE=∠ACB,则BD与CE　相等　(填“相等”或“不相等”).  3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,点G是BA延长线上一点,点F是AC上一点,AG=AF,连接GF并延长交BC于点E.若∠B=55°, (1)求∠AFG的度数; 【解析】(1)∵AB=AC,∴∠B=∠C=55°, ∴∠GAF=∠B+∠C=110°, ∵AG=AF,∴∠AFG=×(180°-110°)=35°; (2)求证:GE⊥BC. 【解析】(2)∵AB=AC,AD平分∠BAC, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90°, ∴∠BAD=∠CAD=90°-55°=35°, ∴∠DAC=∠AFG,∴AD∥EG, ∴∠GEB=∠ADB=90°,∴GE⊥BC. 知识点2　等边三角形的性质 4.如图,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,点E是AD延长线上一点,若AE=AC,则∠AEC的度数为(D) A.45° B.60° C.65° D.75° 5.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形,D,E分别在边AB,AC上,连接BE,CD,若 ∠ACD=15°,则∠CBE=　45°　.  6.如图,已知等边△ABC,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,连接BE,AD交于点F.求证:∠AFE=60°. 【证明】∵△ABC为等边三角形, ∴AB=AC=BC,∠ABD=∠BCE=60°. 在△ABD和△BCE中, ∴△ABD≌△BCE(SAS), ∴∠BAD=∠CBE. ∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠ABC,∴∠BFD=∠ABC=60°,∴∠AFE=∠BFD=60°. 【B层 能力进阶】 7.如图,已知CE和BD分别是△ABC的角平分线和高线,且AE=CE,若∠ABC=75°,则∠BOE的度数为(C) A.30° B.60° C.55° D.45° 8.如图,已知△ABC中,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是(C) A.AE=EC B.AE=BE C.∠EBC=∠BAC D.∠EBC=∠ABE 9.如图所示,在等边△ABC中,AD⊥BC,E为AD上一点,∠CED=50°,则∠ABE等于(C) A.10° B.15° C.20° D.25° 10.如图,A,C,B三点在同一条直线上,△DAC和△EBC都是等边三角形,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.下列结论:①△ACE≌△DCB;②CM=CN;③AC=DN.其中正确的是　①②　.(填序号)  11.如图,A,C,E三点共线,△ABC与△CDE是等边三角形,AD⊥BC于点M,EB平分∠DEC交CD于点N,AD与BE相交于点O,则∠BDE=　120°　.  12.如图1,△ABC为等边三角形,点M是线段BC上任意一点,点N是线段CA上任意一点,且BM=CN,BN与AM相交于点Q. (1)求证:AM=BN. 【解析】(1)∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABC=∠C=60°,AB=BC. 又∵BM=CN, ∴△AMB≌△BNC(SAS), ∴AM=BN. (2)求∠BQM的度数. 【解析】(2)∵△AMB≌△BNC,∴∠MAB=∠NBC, ∴∠BQM=∠MAB+∠ABQ=∠NBC+∠ABQ=∠ABC=60°. (3)如图2,若M,N两点分别在线段BC,CA的延长线上,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?如果成立,请加以证明;如果不成立,请说明理由. 【解析】(3)成立.理由如下:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°. 又∵BM=CN, ∴△AMB≌△BNC(SAS), ∴AM=BN. 【C层 创新挑战(选做)】 13.(运算能力、模型观念、推理能力)如图,P为等边三角形ABC内的一点,它到三边AB,AC,BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高AM=h,则h与h1,h2,h3之间有何数量关系?写出你的猜想并加以证明. 【解析】猜想:h1+h2+h3=h.证明:连接PA,PB,PC.∵S△PAB=AB·h1,S△PAC=AC·h2, S△PBC=BC·h3,S△ABC=BC·h,S△PAB+S△PAC+S△PBC=S△ABC, ∴AB·h1+AC·h2+BC·h3=BC·h. ∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC, ∴BC(h1+h2+h3)=BC·h. ∴h1+h2+h3=h. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等腰三角形(第3课时) 【A层 基础夯实】 知识点1　等腰三角形的判定 1.下列能断定△ABC为等腰三角形的是( ) A.∠A=40°,∠B=50° B.∠A=2∠B=70° C.∠A=40°,∠B=70° D.AB=3,BC=6,周长为14 2.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D,E分别是AB,AC上的点,AE=2 cm,且DE∥BC,则AD= cm.  3.如图,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,则图中等腰三角形的个数是 .  4.如图,已知:在△ABC中,点D,E在BC边上,且∠1=∠B,∠2=∠C,BC=10 cm,求△ADE的周长. 5.已知OC是∠AOB的平分线,将直尺DEMN如图摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.则△DOP是 三角形.  6.如图,在△ABC中,CE平分∠ACB,B,C,G在同一直线上,CF平分∠ACG,EF∥BC交AC于点D,求证:DE=DF. 知识点2　反证法 7.牛顿曾说过:“反证法是数学家最精良的武器之一.”那么我们用反证法证明“在同一平面内,若a⊥b,c⊥b,则a∥c”时,首先应假设( ) A.a与c相交 B.a与b相交 C.a∥b D.c∥b 8.(2023·泰州期中)用反证法证明命题“是无理数”时,应假设 .  【B层 能力进阶】 9.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AC=6,AB=8,过点A的直线DE∥BC,∠ABC与 ∠ACB的平分线分别交DE于E,D,则DE的长为( ) A.14 B.16 C.18 D.20 10.如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点D的对应点为点F,CF与AB交于点E,若长方形ABCD的周长为16,则△CBE的周长为( ) A.4 B.8 C.16 D.32 11.【易错警示题·分类讨论遗漏情况】如图,∠AOB=60°,OP平分∠AOB,C为射线OP上一点.如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形,那么∠OEC的度数为 .  12.如图,等边△ABC的边长为12 cm,M,N两点分别从点A,B同时出发,沿△ABC的边顺时针运动,点M的速度为1 cm/s,点N的速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N两点同时停止运动,则当M,N运动时间t= s时,△AMN为等腰三角形.  13.将一张长方形纸条ABCD按如图所示折叠,若折叠角∠FEC=64°. (1)求∠1的度数; (2)求证:△GEF是等腰三角形. 【C层 创新挑战(选做)】 14.(运算能力、模型观念、推理能力)如图①,△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点,过O点作BC平行线分别交AB,AC于E,F. (1)请写出图①中线段EO和BE的大小关系: .  (2)请写出图①中线段EF与BE,CF间的关系: .  (3)如图②,若∠ABC的平分线与∠ACG的平分线交于O,过点O作BC的平行线交AB于E,交AC于F.请写出EF与BE,CF的关系,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$