将军饮马专项练习课件2025年九年级中考数学复习

初中数学将军饮马模型 专题训练 四川省通江县实验中学：邵舜 将军饮马【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦，一天，一位罗马 将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题，将军每天从军营4出发，先到河边饮马，然后再 去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解 决了它，从此以后，这个被称为"将军饮马"的问题便流传至今。 壹 两定一动 同侧直接连，异侧作对称 连接AB交L于点P，点P即为所求。 在L上找一点P,使PA+PB最小 ①作点B关于L的对称点B ②连接AB'交L于点P 此时，PA+PB最小值为PA+PB=AB' 贰 两动一定 两点之间线段最短 在OA上找一点M,OB上找一点N,使△PMN周长最小 ①分别作点P关于OA,0B的对称点P’，P’’ ②连接P’P”分别交OA,0B于点M,N. 此时，△PMN周长最小=PM+PN+MN =PM+P"N+MN =Pp' 叁 两动一定 垂线段最短 在OA上找一点M,OB上找一点N,使MP+MN最小 ①作点P关于OA的对称点P’ ②过点P’作P’N ⟂OB 此时，MP+MN最小为MP+MN=P’M+MN=P’N 肆 两动两定 在OA上找一点M,OB上找一点N,使四边形PQNM周长最小 ①分别作点P关于OA的对称点P’,点Q关于0B的对称点Q’ ②连接P’Q'分别交OA,0B于点M,N 此时四边形PQNM周长最小为 PM+MN+NQ+PQ=P’M+MN+NQ'+PQ=P’Q’+PQ 伍 三动点 在AB、AC、BC上分别找一点D、E、F，使△DEF的周长最小 作CD⟂AB，将点D视为定点，利用“两动一定”模型作出△DEF周长最小值,最小值为DD”的长 1先确定一个动点 2根据对称及两点之间线段最短确定另两个动点位置 3利用垂线段最短，求最值 陆 架桥型 将AP沿着与河岸垂直的方向向下平移，使得AA’=PQ，连接AB，与直线b的交点即为点Q。 此时，AP+PQ+BQ最小值为AP+PQ+BQ=PQ+A’Q+BQ =PQ+A'B 线段PQ长不变，PQ垂直于两河岸，在河岸上找P、Q，使AP+PQ+BQ值最小 柒 平移型 ①将AP沿L平行的方向平移，点P移动到点Q，点A移动A'，则AA’=PQ ②过点B作关于L的对称点B’，连接A’B’交l于点Q 此时AP+PQ+BQ最小为AP+PQ+BQ=PQ+A’Q+B’Q=PQ+AB' 线段PQ长不变，在直线L上找两点P、Q，使AP+PQ+BQ最小 捌 线段差最小 在L上找一点P，使IPA-PB|最小 因为绝对值的最小值为0，所以当PA=PB时，IPA-PBl最小 所以作线段AB的垂直平分线交l于点P，此时PA=PB 玖 线段差最大 同侧直接连，异侧作对称 在L上找一点P，使IPA-PBl最大 ①作点B关于L的对称点B’ ②连接AB'并延长，交L于点P 此时，|PA-PB|最大值=AB’ 在L上找一点P，使IPA-PBl最大 连接AB并延长，交L于点P 专项巩固练习 1.如图1，A,B为两定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（,AP+PQ+QA）最小。 2.如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 （如图1） （如图2） 3.如图3：在正方形中ABCD中，AB=4，点E在边CD上，且 CE=3DE ,点P是对角线上AC的动点，则 PE+PD 的最小值为 ． 专项巩固练习： 4.如图4，CD是直线X=1上长度固定为1的一条动线段．已知点A(-1,0)，B（0，4），则BC+AD的最小值为 ． （如图3） （如图4） 5.如图5，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴交于点A，与X轴的一个交点为B点，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上,CD=2 ，则四边形ABCD周长的最小值为 ． 专项巩固练习： (如图5)