精品解析：河南省辉县市南寨初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024－2025九年级数学上期期中测试卷 一、单选题 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 2. 已知点与点关于x轴对称，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 3. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（ ） A. 16 B. C. D. 8. 若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，以点为位似中心，把放大到原来的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点A、O、三点在同一条直线上 C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、填空题 11. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 12. 若，则的取值范围是_______． 13. 用配方法将方程变形为，则______． 14. 把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____． 15. 如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为_______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 17. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，途中“鱼”的各个顶点都在格点上． （1）把“鱼”先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． （2）写出A、B、C三个点平移后的对应点、、的坐标． 18. 数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，小红同学看错了第②题的表示的数字，求得①的一个解是；小亮同学看错了第①题的■表示的数字，求得②的一个解为． （1）请求出老师布置的作业中“■”和“”表示的值； （2）请解答老师布置的第②题作业． 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 20. 如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） （2）求原长方形木料的面积； （3）木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 21. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 22. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 23. 如图，是等腰三角形，．点D在直线上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接 （1）问题发现： 如图1，若__________，与的数量关系是___________________． （2）类比探究： 如图2，若，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． （3）拓展应用： 若，过点E作于点F，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025九年级数学上期期中测试卷 一、单选题 1. 将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，则一次项系数为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程化成一般形式进行解答即可． 【详解】解：将一元二次方程化成一般形式后，常数项为，一次项系数为， 故选：D． 2. 已知点与点关于x轴对称，则点的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征，根据“关于x轴对称的点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”即可解答． 【详解】解：∵点与点N关于x轴对称， ∴点N的坐标为， 故选：C． 3. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的一组是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式.根据同类二次根式的定义进行判断. 【详解】A、和被开方数不同，不是同类二次根式； B、和被开方数相同，是同类二次根式； C、和不是同类二次根式； D、和被开方数不同，不是同类二次根式． 故选B． 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值（ ） A. 1或 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念与根的概念以及解一元二次方程，关键是掌握以上概念，本题要注意二次项系数不为零，将根代入后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得， ∴， ∵， ∴   故选：D ． 5. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式加减运算法则、乘除法则对各选项进行分析即可作出判断．解题的关键是掌握二次根式运算法则和性质． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； B．是无理数，是有理数，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，矩形中，，交于点，，分别为，的中点，若，则的长为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查中位线的性质， 熟练掌握中位线的性质是解题的关键； 根据中位线的性质求出长度，再依据矩形的性质进行求解问题． 【详解】解：、分别为、的中点， ． ∵四边形是矩形， ． 故选：A 8. 若一元二次方程有实数根，则的值不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与的关系：①当 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当 时，方程有两个相等的两个实数根；③当 时，方程无实数根，根据判别式的值与方程的解的个数间的关系即可得出答案． 【详解】原方程可变形为， 方程有实数根， ， 故选：B 9. 如图，以点为位似中心，把放大到原来的倍得到，以下说法中错误的是（ ） A. B. 点A、O、三点在同一条直线上 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断． 【详解】解：∵点为位似中心，把中放大到原来的倍得到， ∴，，则，，点A、O、三点在同一条直线上，． 观察四个选项，C选项是错误的， 故选：C． 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点，点，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转，若最后点C的坐标为，则旋转次数可以是（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了点的坐标变化规律．每旋转4次则回到原位置，根据点C的坐标为，可得图形旋转次，即可求解． 【详解】解：如图，    由题可知，将正方形绕点A逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∵点C的坐标为， ∴旋转后点C在第二象限内， ∴图形旋转次点C的坐标为， ∵，，，， ∴最后点C的坐标为，则旋转次数可以是2025． 故选：C 二、填空题 11. 如图，线段交于点O，请你添加一个条件：________，使． 【答案】．（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定方法，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 有一对对顶角与，添加，即得结论． 【详解】解： ∵（对顶角相等），， ∴． 故答案为：．(答案不唯一) 12. 若，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质和解不等式，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的性质得到，求解即可； 【详解】解：由题意可得：， 解得：； 故答案为： 13. 用配方法将方程变形为，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的求解步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即，故， 故答案为：3． 14. 把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积． 【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x， ∵AB∥EF， ∴△ABC∽△FEC ∴＝， ∴＝ 解得x＝， ∴阴影部分面积为：S△ABC＝××1＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答. 15. 如图，在中，，，，点D为边上一点，连接，将沿翻折得到，当与的直角边垂直时，的长为_______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当时，延长交于点，由勾股定理可得，利用折叠的性质和角平分线的性质定理，得到，证明，从而设，，则，再证明，求出的值，即可得解；②当时，令与的交点为，由折叠和等腰三角形的性质，得到，即可得解． 【详解】解：①当时，延长交于点， ，，， ， 由折叠的性质可知，，， ， ， ，，平分， ， ， ， ， ， 设，，则， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②当时，令与的交点为， ， ， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 综上可知，的长为2或6， 故答案为：2或6． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想解决问题是关键． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）已知，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算、比例的性质等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式展开计算即可； （2）由题意可得，代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 17. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，途中“鱼”的各个顶点都在格点上． （1）把“鱼”先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，画出平移后的图形． （2）写出A、B、C三个点平移后的对应点、、的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示 ． （2）、、． 【解析】 【分析】本题考查了平移作图的知识，解答本题的关键是掌握平移的性质，注意按要求作图． （1）将关键点先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，顺次连接即可； （2）结合坐标系，可得到、、的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 数学课上，李老师布置的作业是图中小黑板所示的内容，小红同学看错了第②题的表示的数字，求得①的一个解是；小亮同学看错了第①题的■表示的数字，求得②的一个解为． （1）请求出老师布置的作业中“■”和“”表示的值； （2）请解答老师布置的第②题作业． 【答案】（1）1，7； （2）． 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的解和解一元二次方程． （1）根据方程解的定义进行解答即可； （2）根据方程解的定义求出的值，再解方程即可． 【小问1详解】 解：由题意可得，■， ， 解得 【小问2详解】 解： ∴， 则或， 解得 19. 如图，在中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 【答案】（1） 如图，即为边上的高； （2） 证明： ， ， ， ， 又， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线及相似三角形的判定，熟知基本作图方法及相似三角形的判定定理是正确解答此题的关键． （1）根据基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即可； （2）用两角对应相等即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． （1）截出的两块正方形木板中，小正方形木板的边长为 ，大正方形木板的边长为 ；（结果需化简） （2）求原长方形木料的面积； （3）木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3） 不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为 ，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可； （2）先计算出原矩形木料的长为，再根据矩形的面积公式进行计算即可； （3）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 故答案为：，； 【小问2详解】 原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； 【小问3详解】 略 21. 在《数书九章》（宋・秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，、、在同一平面内，点、、在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点远眺塔顶，视线恰好经过竹竿的顶端．根据以上信息，求塔的高度． 【答案】塔的高度为18.2米． 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用．如图，过作于，交于，可得，证明，可得，可得，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，交于， 则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 22. 某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件． （1）求四、五两个月销售量的月平均增长率； （2）从六月起，如果售价不变，预计销售量和五月份持平，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降2元，销售量增加10件，当商品降价多少元时，商场六月可获利2250元？ 【答案】（1） （2）5元 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系列出方程是解题关键． (1)首先设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，然后列出方程即可得解； (2)首先设商品降价m元，表示出每件利润和销售量，然后列出方程即可得解． 【小问1详解】 解：设四、五两个月销售量的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（舍）， 答：四、五两个月销售量的月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设商品降价 m 元， ∵每降2元，销售量增加10件， ∴每降1元，销售量增加5件， 则商品降价 m 元，销售量增加件， 由题意得，， 解得，（舍） 答：商品降价 5 元时，商场六月可获利 2250 元． 23. 如图，是等腰三角形，．点D在直线上，连接，将线段绕点D逆时针旋转得到，连接 （1）问题发现： 如图1，若__________，与的数量关系是___________________． （2）类比探究： 如图2，若，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出新的结论，并说明理由． （3）拓展应用： 若，过点E作于点F，，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）不成立，，； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到， 连接， ∴， ∴是等腰直角三角形，则， 同理得出 ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， ∴； （3）9或7 【解析】 【分析】（1）先证明，都是等边三角形，再通过证明即可作答． （2）先证明，都是等腰直角三角形，根据勾股定理列式得出，，再通过两组对边分别成比例，夹角相等的三角形来证明即可作答． （3）注意“点D在直线上”，因此要进行分类讨论，即：当D在线段上时、当D在的延长线上时、当D在的延长线上，这三个情况，且结合图形，运用数形结合思想作答即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴是等边三角形 ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴， ∴是等边三角形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：依题意，点D在直线上， ∵ ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∴ 当D在线段上时，如图： ∵， ∴， 过点B作 ∵ ∴， ∴， ∴ ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴， 则， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 则， ∵，且， ∴， ∴， 则， 此时； 当D在的延长线上时，如图： ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， ∴， 设 ∵ ∴在 ∴ ∴ 则 ∴ 当D在的延长线上时，过点D作的延长线与点H，如图： ∵ ∴ ∴ 设 设，则， ∴， 则， ∵，， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转得到，连接， ∴ ∴ ∴ 则 即． 综上：或7 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $