第8单元 找次品高频易错培优(讲义)-2024-2025学年五年级下册数学人教版

找次品 【思维导图+典型例题+知识精讲+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：有10个同样的乒乓球，其中有一个次品较轻。用天平称一称，至少称几次就一定能找出这个次品？ 【答案】3次。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得：将10个同样的乒乓球分成3份：3，3，4；第一次称重，在天平两边各放3个，手里留4个。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的4个分为2份：2，2，在天平两边各放2个，次品在上升的天平托盘中。接下来，将这2个分别放在天平的两边就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的3个中，从这3个中取出2个，在天平两边各放1个，若平衡，则没称的那个是次品；若不平衡，则上升的那个是次品。 故至少称3次能保证找出次品。 答：至少称3次能保证找出次品。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 例题2：技术监督部门抽检一批网球的质量，看是否符合比赛要求。在抽检的15个网球中，有1个是次品，且次品的质量较重，如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？ 【答案】3次。 【分析】根据“n次可以找出3的n次幂个零件中一个较轻次品”做题。 【解答】解：2次可以找出32＝9（个）待测物品的一个较重次品； 3次可以找出33＝27（个）待测物品的一个较重次品； 因此3次可以找出10～27个待测物品中的一个较重次品； 15个网球中，有1个较重，至少称3才可以保证找出这个网球。 答：用天平称，至少称3次能保证将这个较重的网球找出来。 【点评】运用找次品问题总结的规律是解答本题的捷径。 例题3：有12袋瓜子，其中11袋同样重，有1袋质量轻一些，用天平称，至少称几次能保证找出这袋轻的瓜子？ 【答案】至少称3次可以找出这盒巧克力。 【分析】根据找次品的规律，有1个质量不同，且知道轻重的情况下：2、3个物体是称1次；4～9个是称2次；10～27个是称3次，……据此解答即可。 【解答】解：第一次：把12袋瓜子平均分成3份，每份4袋，任取2份，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则质量轻一些的那袋即在没称的4袋中；若不平衡，则质量轻一些的那袋即在天平秤较高端的4袋中； 第二次：把天平秤较高端的4袋或者没称的4袋，平均分成2份，每份2袋，分别放在天平秤两端，天平不平衡，则质量轻一些的那袋即在天平秤较高端的2袋中； 第三次：把在较高端2袋分别放在天平秤两端，较高端的那袋即为质量轻一些的那袋。 答：至少称3次可以找出这盒巧克力。 【点评】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。 例题4：有18瓶同样的水，小明往其中1瓶里加了一些盐．如果用天平秤称，那么至少称几次才能保证找出加盐的那瓶水？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据天平平衡原理，第一次，先把18瓶水平均分成3份，每份6瓶，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一份在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续；第二次，取较重的一份平均分成3份（每份2瓶），取其中的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续；第三次，取较重的一份（3瓶）中的两瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的较重，若不平衡，较重的一瓶就是加盐的．据此解答． 【解答】解：第一次，先把18瓶水平均分成3份，每份6瓶，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的一份在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取较重的一份平均分成3份（每份2瓶），取其中的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较重的在未取的一份，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第三次，取较重的一份（3瓶）中的两瓶分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的较重，若不平衡，较重的一瓶就是加盐的． 答：至少称3次才能保证找出加盐的那瓶水． 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，注意每次取水的瓶数． 例题5：有12袋外观相同的果冻，其中有1袋比其他发的质量略轻一些，用无砝码的天平最少称几次能把它找出来？ 【答案】见试题解答内容 【分析】分成每6袋一组，用天平称，因有一袋质量不足，所以找出轻的一组，再把轻的一组任意3袋分成一组，用天平称，再找出轻的一组，再任取2袋用天平称，若天平平衡，则没称的1袋是次品，若不平衡则轻的是次品．据此解答． 【解答】解：根据以上分析可知至少要称3次才能保证找出这袋糖果来． 答：至少需要3次保证找出这袋果冻． 【点评】本题主要运用天平平衡的知识来寻找次品． 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、概念 次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重． 方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1，利用天平性质找出次品． 二、找次品的策略技巧： 1、分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能平均分的，应让多的与少的一分只相差1，这样才能保证称的次数最少就能找出次品。 2、画“次品树形”分组图，例如8个产品中有一个次品，第一次称：分成3、3、2三组，将天平两端放3个一组的，若一样重则次品在剩下的2个中，若不一样重则次品在轻的一组中；第二次称：若是2个的分别再天平两端放一个，轻的一端就是次品；若是3个的，随便取2个进行称，若一样重则次品就是没选取的，若不一样重则轻的一端是次品。 三、基本思路：把待测物品尽量平均分成三份、如果不能平均分，则使其中两份相等，第三份与这两份相差不超过一，依次进行，可用最少的次数找到次品。找次品是思维拓展中的主要类型，其基本题型是在若干个零件里面有一个零件和其它零件不同，这个零件比其它零件轻或重，用一个无砝码的天平，最少称几次能一定把次品找出来。一般是把零件总数平均分成三份，如果不能平均分，则分成a、a、b形式，a比b多1或者少1，不能多2后者少2。 四、归纳总结 物品数量 分成的份数 至少称几次就一定能找到这个次品 3 3（1，1，1） 1 5 5（2，2，1） 2 9 9（3，3，3） 2 …… …… …… 数目与测试的次数的关系： （1）2～3个物体，保证能找出次品需要测的次数是（1）次 （2）4～9个物体，保证能找出次品需要测的次数是（2）次 （3）10～27个物体，保证能找出次品需要测的次数是（3）次 （4）28～81个物体，保证能找出次品需要测的次数是（4）次 （5）82～243个物体，保证能找出次品需要测的次数是（5）次 第四部分 高频真题 一．选择题（共12小题） 1．有15盒木糖醇，其中一盒少了一颗。用天平称，至少称（　　）次可以保证找出这盒木糖醇。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．用一架天平称3次，最多能从（　　）个乒乓球中找出仅有一个因超重原因不合格的乒乓球。 A．3 B．9 C．27 D．81 3．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是（　　） A．2个～3个 B．4个～9个 C．10个～27个 D．不能确定 4．有25盒月饼，其中有一盒是次品（比较轻），如果用天平称找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼（　　） A．分成2份（12，13） B．分成3份（10，10，5） C．分成3份（8，8，9） D．分成3份（10，8，7） 5．有14个同样的零件，其中有13个质量相同，另有1个质量不足，轻一些，是次品。用天平至少称（　　）次能保证找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 6．9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称（　　）次能保证找出这盒月饼。 A．2 B．3 C．4 D．5 7．要在11个外观完全一样的白球中找出1个质量稍轻的次品，比较合适的分法是（　　） A．（2个，2个，7个） B．（3个，3个，5个） C．（4个，4个，3个） D．（5个，5个，1个） 8．在8个玻璃珠中混有一个质量较轻的次品。用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第一次分组方法正确的是（　　） A． B． C． 9．19盒牛奶片，有一盒少了3片。至少要称（　　）次才能保证找出这盒来。 A．3 B．4 C．5 10．有12箱桃子，其中11箱质量一样，有1箱质量不足，至少称（　　）次能保证找出质量不足的这箱。 A．3 B．2 C．4 11．有16盒糖果，其中有15盒质量相同，另有1盒少了几颗。用无砝码的天平称，能保证找出这盒糖果至少称的次数是（　　） A．3次 B．4次 C．5次 12．有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（　　）次能保证找到次品． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共15小题） 13．有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称 　 　次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 14．有28盒饼干，其中27盒质量相同，另有1盒质量稍轻。如果用天平称，至少称 　 　次一定可以找到这盒饼干。 15．“双减”之后体育器材需求增加，温州体育用品厂生产的15个羽毛球，有一个轻一些，用天平称，至少称 　 　次一定能把有问题的球找出来。 16．有26瓶同样的水，小明往其中1瓶里加了一些糖，如果用天平称，那么至少要称 　 　次才能保证找出这瓶水。 17．有12瓶药，其中11瓶质量相同，另外有一瓶少2粒，用天平至少称 　 　次就能把这瓶少2粒的药找出来。 18．21个乒乓球，其中有一个重一些，用天平至少称 　 　次才能保证找到这个重一些的乒乓球。 19．有26袋糖果，其中25袋质量相同，另有一袋质量轻一些。如果用天平称，那么至少称 　 　次，才能保证把较轻的这袋糖果找出来。 20．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果用天平称，至少称 　 　次能保证找出这副不足200克的中药。 21．有36瓶外观一样的钙片，其中1瓶少了5片，用无砝码的天平称，至少称 　 　次才能保证找出少5片的那瓶。 22．有16盒外观相同的饼干，其中一盒有奖品，比其他15盒略重些。如果用天平称，至少称 　 　次可以保证找出这盒饼干。 23．有11盒饼干，其中1盒质量稍重。如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么接下来要从 　 　盒中找出这盒饼干。 24．有28瓶外包装相同的白酒，其中27瓶同样质量，只有一瓶稍轻一些，用天平至少要称 　 　次才能保证找出这瓶酒。 25．有13瓶水，其中12瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其它略重一些，用天平至少称 　 　次就一定能找出来。 26．有20盒饼干，其中的19盒质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称 　 　次可以保证找出这盒饼干。 27．林老师有8个乒乓球，其中有7个质量相同，另一个略重一些，用天平至少称 　 　次就能保证找到这个乒乓球。 三．判断题（共9小题） 28．在15袋糖果中，找出1袋次品（次品重一些），至少称4次能保证找出．　 　． 29．在10个零件中有一个是次品（次品重一些），用天平称，至少3次就一定能找出次品。 　 　 30．有20个零件，其中有1个是次品（稍重些），用天平称至少3次就能保证找出次品。 　 　 31．9个形状大小一样的球，其中一个较轻，用天平最少称3次就能保证找到它． 　 　 32．10个零件有1个是次品（轻一些）。假如用天平称，至少称2次能保证找出次品。 　 　 33．7盒牛奶，其中有一盒轻一些，用天平称，至少用3次就一定能找出来。 　 　 34．从3件物品中找出1件次品，次品较轻，至少要称2次才能找出．　 　 35．7颗同样大小的珍珠1颗较轻，用天平称至少3次能找到较轻的一颗。 　 　 36．用天平称的方法在7个物品中找出一个次品，只能把这7个物品分成3份（2，2，3）。 　 　 四．应用题（共7小题） 37．有27瓶水，其中26瓶质量相同，另有1瓶是盐水（略重些）。至少称 　 　次能保证找出这瓶盐水。 38．用天平找次品，称了三次，至少可以从多少个零件中找出次品？最多可以从多少个零件中找出次品？写出你的方案。 39．有9颗外形完全相同的钻石，其中有1颗是假的，且比真的略重一些。现再拿1颗外形完全相同的真钻石放入其中，用天平称，至少称几次能保证把假的钻石找出来？ 40．6个零件里有1个是次品（轻一些），假如用天平秤，至少称几次才能保证找出次品？ 41．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 42．学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 43．有几瓶糖果，其中1瓶被吃了几颗，其余的质量相等．如果用天平称4次就能保证找到那瓶被吃了几颗的，那么这些糖果最多有几瓶？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．有15盒木糖醇，其中一盒少了一颗。用天平称，至少称（　　）次可以保证找出这盒木糖醇。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】把15平均分成5、5、5，第一次把任意2个5放在天平两端，如果平衡，就把剩下的5分成2、2、1，第二次把2个2放在天平两端，如果不平衡，就把较轻的2分成1和1，第三次把1和1放在天平两端，就找到了少一颗的一盒。 【解答】解：把15平均分成5、5、5，第一次把任意2个5放在天平两端，如果平衡，就把剩下的5分成2、2、1，第二次把2个2放在天平两端，如果不平衡，就把较轻的2分成1和1，第三次把1和1放在天平两端，就找到了少一颗的一盒。 答：至少称3次可以保证找出这盒木糖醇。 故选：C。 【点评】每次把物品尽量平均分成3份，利用天平平衡的原理来找次品。 2．用一架天平称3次，最多能从（　　）个乒乓球中找出仅有一个因超重原因不合格的乒乓球。 A．3 B．9 C．27 D．81 【答案】C 【分析】根据用天平称物品的次数与个数的关系：需要称量n次，待测物品的数量就在n﹣1个3相乘的积与n个3相乘的积之间，完成题目即可。 【解答】解：33＝27（个） 答：最多能从27个乒乓球中找出仅有的一个因超重而不合格的乒乓球。 故选：C。 【点评】此题是灵活考查利用天平找次品的规律，是需要识记的内容。 3．至少称3次，就可以保证从零件中找到那一个次品，零件个数的范围是（　　） A．2个～3个 B．4个～9个 C．10个～27个 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据题意可知，利用找次品的公式：当物品个数最多为3n时，n次即可找到这个次品，所以用天平至少称3次就能保证把次品找出来，这批零件的个数为：（32+1）个～33个，即最少10个，最多27个；据此解答。 【解答】解：32+1＝10（个） 33＝27（个） 答：这批零件的个数范围为10～27。 故选：C。 【点评】本题主要考查找次品，关键利用找次品的公式做题。 4．有25盒月饼，其中有一盒是次品（比较轻），如果用天平称找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼（　　） A．分成2份（12，13） B．分成3份（10，10，5） C．分成3份（8，8，9） D．分成3份（10，8，7） 【答案】C 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：有25盒月饼，其中有一盒是次品（比较轻），如果用天平称找出这盒较轻的月饼，并且称的次数最少，第一次称时，应把这些月饼分成3份（8，8，9）。 故选：C。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 5．有14个同样的零件，其中有13个质量相同，另有1个质量不足，轻一些，是次品。用天平至少称（　　）次能保证找出这个次品。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：有14个同样的零件，其中有13个质量相同，另有1个质量不足，轻一些，是次品。用天平至少称3次能保证找出这个次品。 故选：B。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 6．9盒月饼中，有1盒质量不同，至少称（　　）次能保证找出这盒月饼。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先将9盒平均分成3份，每份3盒，任选两份称重，如果平衡，次品在剩余3盒中，把3分为1，1，1，把1，1放在天平两边，如果平衡，剩余是次品，如果不平衡，任意拿下去一盒，换上其余7盒中的任意一盒，如果平衡，拿下去的是次品，如果不平衡，没拿下去的是次品； 如若3，3称时不平衡，任意选一边的3个分为1，1，1，同上述的第二步，据此解答即可． 【解答】解：先将9盒平均分成3份，每份3盒，任选两份称重： ①如果平衡，次品在剩余3盒中，把3分为1，1，1，把1，1放在天平两边，如果平衡，剩余是次品，如果不平衡，任意拿下去一盒，换上其余7盒中的任意一盒，如果平衡，拿下去的是次品，如果不平衡，没拿下去的是次品； ②如果不平衡，将其中一组换成没有称的3盒，若还不平衡，则次品是没有拿下的那三盒，若平衡，则次品是拿下去的那三盒，把3分为1，1，1，把1，1放在天平两边，如果平衡，剩余是次品，如果不平衡，根据前面确定的次品的轻重判断次品是哪一个。 至少要称重3次。 故选：B。 【点评】解决本题从次数最少出发，先平均分成3份，先拿其中两份进行称重，由于不知道质量不同的那盒是轻还是重，要多次称重才能确定次品在哪一份里，再将有次品的那份平均分称重，直到找到次品为止． 7．要在11个外观完全一样的白球中找出1个质量稍轻的次品，比较合适的分法是（　　） A．（2个，2个，7个） B．（3个，3个，5个） C．（4个，4个，3个） D．（5个，5个，1个） 【答案】C 【分析】第一次：从11个白球重中取出8个，平均分成2份，每份4个，若天平秤平衡，则次品在未取出的3个中，只需要把未取出的3个平均分成3份，把其中的两个各自放在天平的两端，若天平秤平衡，则次品是没有秤的那个，若不平衡，则次品在天平秤轻的一端；假设取出8个，平均分成2份，每份4个，各自放在天平的两端，天平秤不平衡，则次品在天平秤较轻的一端；第二次：把次品的一端的4个平均分成2份，每份2个，次品在天平秤轻的一端；第三次：把次品的一端的2个平均分成2份，每份1个，次品在天平秤轻的一端，据此解答。 【解答】解：第一次：从11个白球重中取出8个，平均分成2份，每份4个，若天平秤平衡，则次品在未取出的3个中，只需要把未取出的3个平均分成3份，把其中的两个各自放在天平的两端，若天平秤平衡，则次品是没有秤的那个，若不平衡，则次品在天平秤轻的一端；假设取出8个，平均分成2份，每份4个，各自放在天平的两端，天平秤不平衡，则次品在天平秤较轻的一端；第二次：把次品的一端的4个平均分成2份，每份2个，次品在天平秤轻的一端；第三次：把次品的一端的2个平均分成2份，每份1个，次品在天平秤轻的一端。 综上所述，C选项分法合适。 故选：C。 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，明确每次取得个数是解答本题的关键。 8．在8个玻璃珠中混有一个质量较轻的次品。用天平称，如果用最少的次数保证找到这个次品，第一次分组方法正确的是（　　） A． B． C． 【答案】A 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：分成的份数是3份，且分成的份数尽可能相等，尽量平均分时，称的次数最少。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 9．19盒牛奶片，有一盒少了3片。至少要称（　　）次才能保证找出这盒来。 A．3 B．4 C．5 【答案】A 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：19盒牛奶片，有一盒少了3片。至少要称3次才能保证找出这盒来。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 10．有12箱桃子，其中11箱质量一样，有1箱质量不足，至少称（　　）次能保证找出质量不足的这箱。 A．3 B．2 C．4 【答案】A 【分析】把12箱桃子分成（6，6）两组，第一次称：把两组分别放在天平的两边，上升的一端有质量不足的1箱；第二次称：把6箱桃子分成（2，2，2）三组，把任意两组分别放在天平的两边，若平衡，则剩下的一组有质量不足的1箱，若不平衡，则上升的一端有质量不足的1箱；第三次称：把2箱桃子分成（1，1）两组，把两组分别放在天平的两边，则上升的一端有质量不足的1箱；所以至少称3次保证一定能找出质量不足的这箱。 【解答】解：把12箱桃子分成（6，6）两组， 第一次称：把两组分别放在天平的两边，上升的一端有质量不足的1箱； 第二次称：把6箱桃子分成（2，2，2）三组，把任意两组分别放在天平的两边，若平衡，则剩下的一组有质量不足的1箱，若不平衡，则上升的一端有质量不足的1箱； 第三次称：把2箱桃子分成（1，1）两组，把两组分别放在天平的两边，则上升的一端有质量不足的1箱； 所以至少称3次能保证找出质量不足的这箱。 故选：A。 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 11．有16盒糖果，其中有15盒质量相同，另有1盒少了几颗。用无砝码的天平称，能保证找出这盒糖果至少称的次数是（　　） A．3次 B．4次 C．5次 【答案】A 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：称第一次： 把15盒分成（5，5，6）三组，天平每边各放一组5盒，如果平衡，次品在未称的一组，如果不平衡，次品在轻的一边； 称第二次： 把有次品的一组5盒或6盒分成（2，2，1\2）三组，天平每边各放2盒，如果平衡，次品就是未称的一盒，如果不平衡，次品在轻的一边（此次称可能出结果，但不一定）； 称第三次： 把有次品的2盒分成（1，1），天平每边各放1盒，次品在轻的一边。 答：用无砝码的天平称，能保证找出这盒糖果至少称的次数是3次。 故选：A。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 12．有8个同样的零件，其中有1个次品略轻一些，用天平称至少（　　）次能保证找到次品． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】把8个零件分成3个，3个，2个三份，第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，再称量剩余2个即可找出，若天平秤不平衡；第二次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品，据此即可解答． 【解答】解：把8个零件分成3个，3个，2个三份， 第一次：把其中3个的两份分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则次品在未取的2个中，把剩余2个分别放在天平秤两端，较高端的零件即为次品，若天平秤不平衡； 第二次：从天平秤较高端的3个零件中，任取2个，分别放在天平秤两端，若平衡，则未取即为次品，若不平衡，较高端即为次品． 故选：B． 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力． 二．填空题（共15小题） 13．有9瓶口香糖，其中1瓶少了几片，另外8瓶质量相同。如果用天平称，至少称 　2　次可以保证找到比较轻的这瓶口香糖。 【答案】2。 【分析】根据天平的平衡原理对托盘两边的物品进行比较，把待测物品分成三份，要分得尽量平均，能够均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【解答】解：把9瓶口香糖平均分成3份，每份3瓶。 第一次：把两份分别放在天平两端，如果平衡，说明轻的在剩下的一份中；不平衡，哪端上扬就说明轻的在这一份中； 第二次：再把轻的那一份平均分成三份（1，1，1），天平两端各放1瓶，如果平衡，则没有称的那一份就是轻的这瓶，如果不平衡，天平上扬的那一端就是轻的这瓶。 故答案为：2。 【点评】熟悉找次品的方法和原理是解决本题的关键。 14．有28盒饼干，其中27盒质量相同，另有1盒质量稍轻。如果用天平称，至少称 　4　次一定可以找到这盒饼干。 【答案】4。 【分析】把饼干平均分成三份，或者相差一盒。把范围缩小到三分之一。去掉运气成分，把次品范围缩小到多一盒的那一份中。 【解答】解：找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 故答案为：4。 【点评】这是一道找次品的题目，熟练掌握找次品的方法是解题的关键。 15．“双减”之后体育器材需求增加，温州体育用品厂生产的15个羽毛球，有一个轻一些，用天平称，至少称 　3　次一定能把有问题的球找出来。 【答案】3。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两遍称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 将15个分成3份：5，5，5；第一次称重，在天平两边各放5个，手里留5个； （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的5个分为2，2，1，在天平两边各放2个，手里留1个， ①如果天平平衡，则次品在手里1个中； ②如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的2个中。 接下来，将这2个分成2份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在上升的天平托盘的5个中，将这5个分成三份：2，2，1，在天平两边各放2个，手里留1个， ①如果天平不平衡，则找到次品在上升的天平托盘的2个中， 接下来，将这2个分成2份：1，1。天平的两边分别放1个，称重第三次就可以鉴别出次品。 ②如果天平平衡，则次品在手中的1个中。 至少称3次一定能把有问题的球找出来。 故答案为：3。 【点评】本题考查了找次品的问题，要注意尽可能的均分成3份。 16．有26瓶同样的水，小明往其中1瓶里加了一些糖，如果用天平称，那么至少要称 　3　次才能保证找出这瓶水。 【答案】3。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：把26瓶水分成（9、9、8）三组； 第一次称天平两边各放9瓶，有两种情况：如果天平平衡，则没称的那8瓶里有一瓶略重一些的；如果天平不平衡，则较重的那一端的9瓶里有一瓶略重一些的。 天平不平衡的情况下：第二次称把较重的9瓶分成（3、3、3）三组，天平两边各放3瓶，有两种情况： ①如果天平平衡则没称的3瓶里有一瓶略重一些的，第三次称把没称的3瓶分成（1、1、1）三组，天平不平衡，较重的那一端的1瓶是略重一些的；如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的； ②如果天平不平衡，则较重的那一端的3瓶里有一瓶略重一些的，第三次称把较重的3瓶分成（1、1、1）三组，天平两边各放1瓶，如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的，如果天平不平衡则较重的那一端的1瓶是略重一些的。 天平平衡的情况下：第二次称把没称的8瓶分成（3、3、2）三组，天平两边各放3瓶，如果天平平衡则没称的2瓶里有一瓶略重一些的，如果天平不平衡，则较重的那一端的3瓶里有一瓶略重一些的。第三次称把较重的3瓶或者没称的2瓶分成（1、1、1）三组，天平两边各放1瓶，如果天平平衡则没称的1瓶是略重一些的，如果天平不平衡则较重的那一端的1瓶是略重一些的。 那么至少要称3次才能保证找出这瓶水。 故答案为：3。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 17．有12瓶药，其中11瓶质量相同，另外有一瓶少2粒，用天平至少称 　3　次就能把这瓶少2粒的药找出来。 【答案】3。 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：有12瓶药，其中11瓶质量相同，另外有一瓶少2粒，用天平至少称3次就能把这瓶少2粒的药找出来。 故答案为：3。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 18．21个乒乓球，其中有一个重一些，用天平至少称 　3　次才能保证找到这个重一些的乒乓球。 【答案】3。 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：21个乒乓球，其中有一个重一些，用天平至少称3次才能保证找到这个重一些的乒乓球。 故答案为：3。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 19．有26袋糖果，其中25袋质量相同，另有一袋质量轻一些。如果用天平称，那么至少称 　3　次，才能保证把较轻的这袋糖果找出来。 【答案】3。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：经分析得：将26袋分成3份：9，9，8；第一次称重在天平两边各放9袋，手里留8袋。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，将手里的8袋分为3，3，2，在天平两边各放3袋，手里留2袋。 a.如果天平平衡，则次品在手里2袋中，接下来，将这2袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中。将这3袋分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1袋，手里留1袋，称重第三次就可以鉴别出次品。 （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的9袋中，将这9袋分成三份：3，3，3，在天平两边各放3袋，手里留3袋。 a.如果天平平衡，则次品在手中的3袋中。接下来，将这3袋分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1袋，手里留1袋，称重第三次就可以鉴别出次品。 b.如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋分成三份：1，1，1。天平的两边分别放1袋，手里留1袋，称重第三次就可以鉴别出次品。 故至少称3次能就能保证可以找出这一袋。 故答案为：3。 【点评】考查找次品的问题，分3份操作找到最优方法。 20．中药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果用天平称，至少称 　2　次能保证找出这副不足200克的中药。 【答案】2。 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次。 【解答】解：药学是中国的瑰宝！奶奶因病需要到中药店买9副中药，每副重200克，但由于药师的疏忽，其中一副少放了一味药导致这一副不足200克。如果用天平称，至少称2次能保证找出这副不足200克的中药。 故答案为：2。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 21．有36瓶外观一样的钙片，其中1瓶少了5片，用无砝码的天平称，至少称 　4　次才能保证找出少5片的那瓶。 【答案】4。 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：有36瓶外观一样的钙片，其中1瓶少了5片，用无砝码的天平称，至少称4次才能保证找出少5片的那瓶。 故答案为：4。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 22．有16盒外观相同的饼干，其中一盒有奖品，比其他15盒略重些。如果用天平称，至少称 　3　次可以保证找出这盒饼干。 【答案】3。 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：（1）把16盒饼干分成（5，5，6）三组，把其中的两组5盒的放在天平上称，如平衡，则重的在没称的一组，再把它分成（2，2，2），再把2盒一组的放在天平上称，一边2盒，如平衡，则重的就是没称的，如不平衡，则把重的一组分（1，1）放在天平上称可找出重的。 （2）如不平衡，则把重的一组分成（2，2，1），再把2盒一组的放在天平上称，如平衡，则重的就是没称的，如不平衡，则把重的一组分（1，1）放在天平上称可找出重的。 所以至少称3次可以保证找出这盒饼干。 故答案为：3。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 23．有11盒饼干，其中1盒质量稍重。如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么接下来要从 　3　盒中找出这盒饼干。 【答案】3。 【分析】根据题意，将有11盒饼干分成了3组（4，4，3），如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么质量较重的那一盒在剩下的3盒中，所以接下来要从3盒中找出这盒饼干；据此解答。 【解答】解：根据分析，11﹣4﹣4＝3（盒） 所以，如果第一次在天平左右两边都放4盒，天平平衡，那么接下来要从3盒中找出这盒饼干。 故答案为：3。 【点评】此题考查了找次品的知识内容，结合条件计算即可，属于基础题。 24．有28瓶外包装相同的白酒，其中27瓶同样质量，只有一瓶稍轻一些，用天平至少要称 　4　次才能保证找出这瓶酒。 【答案】4。 【分析】平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小，据此即可解答问题。 【解答】解：第一次：把28瓶水分成2份，每份14瓶，分别放在左右盘中，质量轻些的一瓶在托盘上升的一端； 第二次：取托盘下降的14瓶水，分成2份，每份7瓶，分别放到左、右盘中，质量轻些的一瓶在托盘上升的一端； 第三次：把托盘下降的7瓶水，分成3份，3瓶，3瓶和1瓶，把两3瓶的两份分别放到左、右盘中，如果天平平衡，则质量轻些的一瓶在剩下的那份，如果天平不平衡，质量轻些的一瓶在托盘上升的一端； 第四次：把托盘上升的3瓶水，取其中2瓶，分别放到左、右盘中，如果天平平衡，则剩下的那个是质量轻些的一瓶，如果天平不平衡，上升者为质量轻些的一瓶。 答：用天平至少秤4次才能保证找到这瓶轻的水。 故答案为：4。 【点评】本题考查了学生根据天平的原理解决问题的能力。 25．有13瓶水，其中12瓶质量相同，另外有1瓶是糖水，比其它略重一些，用天平至少称 　三　次就一定能找出来。 【答案】三。 【分析】第一次：从13瓶水中任取12个，平均分成2份，每份6个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶水即为质量较重的，若不平衡，第二次：把天平秤较低端的6瓶水平均分成2份，每份3个，分别放在天平秤两端，第三次：从天平秤较高低的3瓶水中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶水即为质量较重的，若不平衡，天平秤较低端的瓶水即为质量较重的糖水，据此即可解答。 【解答】解：第一次：从13瓶水中任取12个，平均分成2份，每份6个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶水即为质量较重的，若不平衡； 第二次：把天平秤较低端的6瓶水平均分成2份，每份3个，分别放在天平秤两端； 第三次：从天平秤较高低的3瓶水中，任取2个，分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则未取那瓶水即为质量较重的，若不平衡，天平秤较低端的瓶水即为质量较重的糖水。 故答案为：三。 【点评】本题主要考查学生依据天平秤平衡原理解决问题的能力，明确每次取的瓶数是解答本题的关键。 26．有20盒饼干，其中的19盒质量相同，另有1盒少了几块。如果能用天平称，至少称 　3　次可以保证找出这盒饼干。 【答案】3。 【分析】第一次：把20盒饼干分成三份（7，7，6），把7盒的两份分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，那么少几块的那盒在没称的6盒中，若不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端；第二次：①把6盒饼干平均分成（3，3）两份，把两份分别放入天平秤两边，则少几块的那盒在天平称上升的一端；②把比较轻的7盒饼干平均分成（3，3，1）三份，把两个3盒的分别放入天平秤两边，若天平秤平衡，则少几块的那盒是没称的那盒，如不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端；第三次：若少几块的那盒在3盒中，再把这3盒分成（1，1，1）三份，任取两个放在天平上称，若天平秤平衡，则剩下的是少几块的那盒，若天平秤不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端；据此即可解答。 【解答】解：第一次：把20盒饼干分成三份（7，7，6），把7盒的两份分别放在天平秤两边，若天平秤平衡，那么少几块的那盒在没称的6盒中，若不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端； 第二次：①把6盒饼干平均分成（3，3）两份，把两份分别放入天平秤两边，则少几块的那盒在天平称上升的一端；②把比较轻的7盒饼干平均分成（3，3，1）三份，把两个3盒的分别放入天平秤两边，若天平秤平衡，则少几块的那盒是没称的那盒，如不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端； 第三次：若少几块的那盒在3盒中，再把这3盒分成（1，1，1）三份，任取两个放在天平上称，若天平秤平衡，则剩下的是少几块的那盒，若天平秤不平衡，则少几块的那盒在天平称上升的一端。 答：至少称3次可以保证找出这盒饼干。 故答案为：3。 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解决问题的能力，解题的关键是正确的分组。 27．林老师有8个乒乓球，其中有7个质量相同，另一个略重一些，用天平至少称 　2　次就能保证找到这个乒乓球。 【答案】2。 【分析】可以把8个乒乓球三份，分别是：3个、3个、2个，然后用天平称即可找出那个重的乒乓球。 【解答】解：把8个乒乓球三份，分别是：3个、3个、2个，先把两份3个的分别放在天平的两边，如果平衡，就把剩下的2个分别放在天平的两边，即可找出重一些的那个乒乓球；如果不平衡，看哪边重，把稍重的那边的3个，取2个分别放在天平的两边，若平衡就是没往天平上放的那个，若不平衡，哪边重，就是那个乒乓球。 所以，用天平至少称2次就能保证找到这个乒乓球。 故答案为：2。 【点评】天平秤的平衡原理是解答本题的依据，注意每次取乒乓球的个数。 三．判断题（共9小题） 28．在15袋糖果中，找出1袋次品（次品重一些），至少称4次能保证找出．　×　． 【答案】见试题解答内容 【分析】先把15平均分成3份（5，5，5）如果平衡的话，就从剩下的5个中找；把5分成3份（2，2，1），如果平衡的话，次品就是剩下的那个；如果不平衡，就把2分成（1，1），天平沉下去的那端就是次品了．据此解答． 【解答】解：①把15平均分成3份（5，5，5），如果平衡的话就从剩下的5个中找； ②把5分成3份（2，2，1）如果平衡的话，次品就是剩下的那个； ③如果不平衡，就把2分成（1，1），天平沉下去的那端就是次品了． 所以至少称3次能保证找出次品． 所以原题说法错误． 故答案为：×． 【点评】用天平称的方法“找次品”，不管哪种方法，每次天平两边都要放的一样多，还要考虑到所有的可能性． 29．在10个零件中有一个是次品（次品重一些），用天平称，至少3次就一定能找出次品。 　√　 【答案】√ 【分析】找次品的公式计算规律： 2～3个物品称1次； 4～9个物品称2次； 10～27个物品称3次； 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次）。 【解答】解：在10个零件中有一个是次品（次品重一些），用天平称，至少3次就一定能找出次品。表述正确。 故答案为：√。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 30．有20个零件，其中有1个是次品（稍重些），用天平称至少3次就能保证找出次品。 　√　 【答案】√ 【分析】第一次：把20个零件分成（8，8，4），拿出2份8个的零件放在天平上称一称，如果天平平衡，没有称的4个零件里有重一些的那个，拿出再称；如果不平衡，重一些的8个里面有要找的那个零件，拿出再称；第二次，如果是4个的那一份，把（4分）成（2，2），拿出2份2个的零件放在天平上称一称，重一些的2个里面有要找的那个零件，拿出再称；如果是8个的那一份，把（8分）成（2，2，2），拿出2份2个的零件放在天平上称一称，如果天平平衡，没有称的2个零件里有重一些的那个，拿出再称；如果不平衡，重一些的2个里有要找的那个零件，拿出再称；第三次，把2个零件分成（1，1），称出要找的重一些的那个零件，据此解答即可。 【解答】解：根据分析可知，有20个零件，其中有1个数次品（稍重些），用天平称至少3次就能保证找出次品。原题干说法正确。 故答案为：√。 【点评】本题主要考查找次品，关键注意零件该如何分组。 31．9个形状大小一样的球，其中一个较轻，用天平最少称3次就能保证找到它． 　×　 【答案】× 【分析】把9个球平均分成3组，把其中两组放在天平上称量，若重量一样，则较轻的在第三组；若重量不一样，则较轻的在天平上升的一组，再把有较轻的球的一组，拿出两个分别放在天平的左右两边，若天平平衡，则剩下的一个就是较轻的，若天平不平衡，则上升一方就是较轻的，这样用2次就一定能找出那个较轻的球． 【解答】解：（1）把9个球平均分成3组，把其中两组放在天平上称量，若重量一样，则较轻的在第三组；若重量不一样，则较轻的在天平上升的一组； （2）再把有较轻的球的一组，拿出两个分别放在天平的左右两边，若天平平衡，则剩下的一个就是较轻的，若天平不平衡，则上升一方就是较轻的； 这样用2次就一定能找出那个较轻的球． 答：用一架天平最少称2次，可以找到那颗较轻的球． 所以9个形状大小一样的球，其中一个较轻，用天平最少称3次就能保证找到它的说法错误． 故答案为：×． 【点评】解答此题的关键是，将9个球进行合理的分组，逐步实验，从而找出次品． 32．10个零件有1个是次品（轻一些）。假如用天平称，至少称2次能保证找出次品。 　×　 【答案】× 【分析】把这10个零件分成（5，5）两组，称第一次：天平两端各放5个，两种结果：次品在轻的一端；把有次品的5个分成（2，2，1）三组，称第二次，天平两端各放2个，出现两种情况：平衡，次品是未称的1个，不平衡，次品在轻的一端；把有次品的2个分成（1，1）再组，称第三次，次品在轻的一端。 【解答】解：把这10个零件分成（5，5）两组，称第一次：天平两端各放5个，次品在轻的一端； 把有次品的5个分成（2，2，1）三组，称第二次，天平两端各放2个，出现两种情况：平衡，次品是未称的1个，不平衡，次品在轻的一端； 把有次品的2个分成（1，1）两组，称第三次，次品在轻的一端。 即至少称3次能保证找出次品。原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 33．7盒牛奶，其中有一盒轻一些，用天平称，至少用3次就一定能找出来。 　×　 【答案】×。 【分析】7盒牛奶分成三堆，尽可能平均分，所以按照3、3、1进行分组称量，这样可以保证找出略轻一盒的次数最少。当天平不平衡时，略轻一盒所在的一端较高。 【解答】解：把7盒牛奶分成3，3，1。 第一次称：天平左右托盘里各放3瓶牛奶，若天平平衡，则剩下没称的那盒就是略轻的牛奶；若天平不平衡，则略轻一些的那盒在较高的一端，接下来进行第二次称量； 第二次称：把较高的一边其中2盒牛奶分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则剩下没称的那盒就是略轻的牛奶；若天平秤不平衡，则天平较高一端就是略轻一些的那盒。 即至少称2次就一定能找出这盒牛奶，所以原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】本题是一道有关找次品问题，“找次品”优化策略的关键在于：天平两边放同样多的情况下，称一次使得次品所在范围尽可能地小。 34．从3件物品中找出1件次品，次品较轻，至少要称2次才能找出．　×　 【答案】× 【分析】天平是一个等臂杠杆，把3个物品中的2个拿出，分别放在天平的两端，利用杠杆的平衡原理即可解决问题。 【解答】解：从3件物品中取2件，分别放在天平两侧，若天平平衡，则未取的是次品；若天平不平衡，则上升的一侧为次品。所以至少1次就可找到次品。原题说法错误。 故答案为：×。 【点评】此题是灵活考查天平的应用，方法还是杠杆的平衡原理。 35．7颗同样大小的珍珠1颗较轻，用天平称至少3次能找到较轻的一颗。 　×　 【答案】× 【分析】找次品的公式计算 规律： 2～3个物品称1次 4～9个物品称2次 10～27个物品称3次 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次） 【解答】解：7颗同样大小的珍珠1颗较轻，用天平称至少2次能找到较轻的一颗。所以原题干表述错误。 故答案为：×。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 36．用天平称的方法在7个物品中找出一个次品，只能把这7个物品分成3份（2，2，3）。 　×　 【答案】× 【分析】次品主要的特征是在重量上不符合标准，偏轻或偏重．找次品方法：一是把待测物品平均分成3份，二是要分的尽量平均，能够均分的平均分成3份，不能均分的，可以使多的一份与少的一份相差1。 【解答】解：用天平称的方法在7个物品中找出一个次品，只能把这7个物品分成3份（2，2，3）。表达错误，还可分为（3，3，1）。 故答案为：×。 【点评】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 四．应用题（共7小题） 37．有27瓶水，其中26瓶质量相同，另有1瓶是盐水（略重些）。至少称 　3　次能保证找出这瓶盐水。 【答案】3 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：把27瓶水平均分成三份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则要找的盐水在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第二次，取含有次品的一份（9瓶）平均分成三份，取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品在未取的一份中，若天平不平衡，取较重的一份继续； 第三次，取含有次品的一份（3瓶）中的2瓶，分别放在天平两侧，若天平平衡，则次品是未取的一瓶中，若天平不平衡，较重的为变质的。 所以至少称3次能保证找出这瓶盐水。 故答案为：3。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 38．用天平找次品，称了三次，至少可以从多少个零件中找出次品？最多可以从多少个零件中找出次品？写出你的方案。 【答案】10；27。 （1）10个零件中找一个次品，分成三组（3，3，4），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 （2）27个零件中找一个次品，分成三组（9，9，9），称量一次确定次品在哪9个中，再把9个分成三组（3，3，3），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 【分析】小学数学找次品的公式：找次品的公式计算 规律： 2～3个物品称1次 4～9个物品称2次 10～27个物品称3次 28～81个物品称4次（以上是知道次品轻重的，不知道次品轻重要称多一次） 【解答】解：至少可以从10个零件中找出次品，最多可以从27个零件中找出次品。 （1）10个零件中找一个次品，分成三组（3，3，4），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 （2）27个零件中找一个次品，分成三组（9，9，9），称量一次确定次品在哪9个中，再把9个分成三组（3，3，3），至少称3次就一定能找出这个次品零件。 【点评】此题考查了对找次品的规律的灵活运用。 39．有9颗外形完全相同的钻石，其中有1颗是假的，且比真的略重一些。现再拿1颗外形完全相同的真钻石放入其中，用天平称，至少称几次能保证把假的钻石找出来？ 【答案】3次。 【分析】将10颗钻石分成5、5两组，放在天平上称量，再将较重的那5个分成2、2、1三组称量，进而再将较重的那2个称量一次就可以找出这个质量重的钻石。 【解答】解：第一次：两边各放5个，则可以找出较重的那5个， 第二次：两边各放2个，天平平衡，则剩下的那个是质量重的钻石，天平不平衡，就可以找出较重的那2个， 第三次：两边各放1个，即可找出质量重的钻石； 用天平称，至少称3次能保证把假的钻石找出来。 【点评】解答此题的关键是将10颗钻石进行合理的分组，逐次称量，进而找出次品。 40．6个零件里有1个是次品（轻一些），假如用天平秤，至少称几次才能保证找出次品？ 【答案】2次。 【分析】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小，据此解答。 【解答】解：第一次称量：把6个零件分成2份，3、3，先把天平两边分别放3个，会有1种情况出现： 左右不平衡，则次品在托盘上升的一边3个中，由此即可进行第二次称量：从上升一边的3个拿出2个，放在天平的两边一边1个，若天平平衡，则剩下1个是次品；若天平不平衡，则托盘上升一边为次品。 答：综上所述，至少需要称2次，才能找到次品。 【点评】该题考查了利用天平判断物体质量的技能，需要学生开动脑筋，借助一定的数学思维方式进行解答。 41．某工厂生产的11个机器零件中有一个是次品，它比正品略轻一些，用天平称一称，最少称几次能保证找出这个次品？ 【答案】3次。 【分析】根据题意，一个次品比正品略轻一些，由于零件个数大于3，考虑将其分为3份（4，4，3），接下来将前两份称重，在每种情况下判断天平是否平衡；再平衡条件下再将零件平均分成2份进行称重，即可解答。 【解答】解：把11个机器零件分成三份（4，4，3）； 第一次称重：把其中4个零件的两份分别放在天平两端；可能出现两种情况： ①若天平平衡，则次品在未取的3个零件中，从这3个零件中任取2个零件，分别放在天平两端，若平衡，则剩下的那个是次品； ②若不平衡，则天平较高一端的零件为次品； 第二次称重：次品在天平较高一端的4个零件中，把这4个零件平均分成两份，分别放在天平两端，次品在天平较高一端的2个零件中； 第三场称重：把这2个零件分别放在天平两端，天平较高一端的零件为次品，要称3次。 答：最少称3次能保证找出这个次品。 【点评】本题属于找次品问题，需要明确：质量轻的零件是次品。 42．学校食堂买回来8袋盐，其中7袋质量相同，另有一袋的质量不足，轻一些。如果用天平来称，至少要称几次才能保证找到这袋质量不足的盐？ 【答案】2 【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。 【解答】解：将8袋盐分成3 份（3，3，2），第一次称重，在天平两边各放3袋，手里留2袋。 （1）如果天平平衡，则次品在手里，然后再称一次就可以找到次品； （2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3袋中，将这3袋中的2袋在清空的天平两边各放1袋。 手里留1袋。如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘中，如果天平平衡，则次品在手中。 所以至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 答：至少要称2次才能保证找到这袋质量不足的盐。 【点评】解答此题的关键是将所给物品进行合理的分组，逐次称量，即可找出次品。 43．有几瓶糖果，其中1瓶被吃了几颗，其余的质量相等．如果用天平称4次就能保证找到那瓶被吃了几颗的，那么这些糖果最多有几瓶？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，先把这几瓶分成三份，如果瓶子数量是三的倍数的话，则三分瓶子数量相同，如果不是三的倍数，则分成两份相同和一份不同的情况，拿两份相同放到天平上，若两份质量不相同，则那瓶再较轻的一份，若质量相同，则在另外没称的一份．接下来步骤同上． 【解答】解：先把这几瓶分成三份，如果瓶子数量是三的倍数的话，则三分瓶子数量相同，如果不是三的倍数，则分成两份相同和一份不同的情况，拿两份相同放到天平上，若两份质量不相同，则那瓶再较轻的一份，若质量相同，则在另外没称的一份．接下来步骤同上．所以要看糖果的瓶数是多少瓶，这个数在3n﹣1和3n之间，则需要称的最少次数是n次．所以如果瓶数小于81瓶则可4次称出，如果大于81瓶，则4次不能称出． 答：这些糖果最多有81瓶． 【点评】本题的关键是把瓶子要分三份来称，然后找出规律进行解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$