专题01 两条直线相交（思维导图+知识点+常考易考点+巩固提升）-2024-2025学年度七年级数学下册同步高效学习讲练手册（人教版）

2024-2025学年度七年级数学下册学练手册 专题01 两条直线相交 (思维导图+知识点+常考易考点+巩固提升) 知识点一:邻补角的概念与性质 定义:两条直线相交形成的角中,有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角(如∠1与∠2)。 性质:邻补角互补,即∠1 + ∠2 = 180 。 易错点:邻补角必须同时满足“共边” “反向延长线”和“互补”,缺一不可。 知识点二:对顶角的概念与性质 定义:两条直线相交形成的角中,有公共顶点,且两边分别互为反向延长线的两个角(如∠1与∠3)。 性质:对顶角相等,即∠1 = ∠3。 推导:利用邻补角互补(∠1 + ∠2 = 180 ,∠3 + ∠2 = 180 ),通过等量代换证明∠1 = ∠3。 易错点:对顶角一定相等,但相等的角不一定是对顶角(如两平行线的同位角)。 知识点三:基本图形与数量关系 两条直线相交形成4个角,其中: 邻补角有4对(每角有2个邻补角); 对顶角有2对(∠1与∠3,∠2与∠4)。 总结:相交线的核心是通过“位置关系”(邻补、对顶)推导“数量关系”(互补、相等)。 part1 基础考点题型 考点1:识别邻补角与对顶角 题型:选择题或填空题,给出图形判断哪组角是邻补角或对顶角。 解题关键: 邻补角:找“共边”+“反向延长线”; 对顶角:找“公共顶点”+“两边反向延长”。 【举一】: 如图所示,与相交所成的四个角中,的邻补角是 ,的对顶角是 . 【解题思路】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义,熟练掌握相关定义是解题的关键. 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案. 解:由图形可知,的邻补角是和, 的对顶角是, 故答案为:和,. 【反三】: 1.如图,直线相交于点,则的对顶角是 ,的邻补角是 ;若,则 , . 【解题思路】本题主要考查了对顶角的定义和性质,邻补角的定义和性质,熟知对顶角的定义和性质,邻补角的定义和性质是解题的关键. 解:由题意得,的对顶角是,的邻补角是或; ∵, ∴,; 故答案为:;或;;. 2.如图,给出以下结论:①与是对顶角;②与是同旁内角;③与是同位角;④与是内错角.其中正确的是 .(填序号) 【解题思路】根据对顶角,同位角,内错角,同旁内角的定义分析即可. ①与是对顶角,故①正确; ②与是对顶角,故②错误; ③与是同位角,故③正确; ④与是内错角,故④正确. 故答案为:①③④. 3.如图,直线L截直线a,b所得的同位角有 对;内错角有 对,它们是 ;同旁内角有 对,它们是 ;对顶角 对,它们是 . 【解题思路】根据同位角,内错角,同旁内角,对顶角的定义解答. 解:直线l截直线a,b所得的同位角有4对,分别是与,与,与,与; 内错角有2对,它们是与∠8,与; 同旁内角有2对,它们是与,与; 对顶角有4对,它们是与,与,与,与. 故答案为:4;2;与,与;2;与,与;4;与,与,与,与 考点2:角度计算(基础型) 题型:已知一角求其他角,直接利用邻补角互补或对顶角相等。 【举一】: 如图,已知直线相交于点O,,点O为垂足,平分. (1)若,求的度数; (2)若,求的度数. 【解题思路】本题考查角平分线的定义,对顶角、邻补角以及垂线,理解角平分线的定义,邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键. (1)根据角平分线的定义,垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可; (2)根据角平分线的定义,垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可. (1)∵平分, ∴, ∵, ∴, ∴; (2)由于可设, ∵平分, ∴, ∴ ∵, ∴ ∴, 即的度数为 【反三】: 1.如图,直线交于点O,平分,,. (1)的余角等于_ ; (2)求的度数. 【解题思路】本题考查对顶角、邻补角,角平分线的定义,掌握对顶角、邻补角,角平分线的定义是正确解答的关键. (1)根据互为余角的定义进行计算即可; (2)由角平分线的定义以及和差关系进行计算即可. 详解:(1)解:∵, ∴的余角为, 故答案为:16; (2)解:∵平分, ∴, 又∵, ∴, ∵, ∴. 2.如图,已知直线和相交于点O,,平分,,求的度数. 【解题思路】本题主要考查了几何图形中角度计算问题,角平分线的有关计算,利用邻补角互补求角度等知识点,熟练掌握角平分线及邻补角的定义是解题的关键. 由角的和差关系可得,由角平分线的定义可得,利用邻补角互补可得,由平角的定义可得,据此即可求出的度数. 解:,, , 平分, , , . 3.如图,点,,在同一条直线上,,平分.从点出发画射线,使得. (1)求的度数; (2)直接写出图中哪些角互为余角. 【解题思路】(1)由邻补角求出,再由角平分线定义得到,最后由互余定义求解即可得到答案; (2)根据题中条件,结合图形,数形结合,由互余定义即可得到答案. 详解:(1)解:, , 平分, , , ; (2)解:, , 与互为余角; ,, , 与互为余角; 平分, , 与互为余角. Part2 综合考点题型 考点3:角度计算(方程思想) 题型:给出角度比例(如∠1:∠2 = 2:3)或差值(如∠2 - ∠1 = 40 ),列方程求解。 解题步骤: ① 设未知数(如设∠1 = 2x,∠2 = 3x); ② 利用邻补角互补列方程(2x + 3x = 180 ); ③ 求解并计算其他角。 【举一】: 如图,已知直线与相交于点,分别是的平分线. (1)的补角是 ; (2)若,求和的度数. 【解题思路】本题主要考查了邻补角、角平分线、几何图形中角度计算等知识,弄清图形中各角的关系是解题关键. (1)根据角平分线的定义可得,再根据补角的定义结合图形找出答案即可; (2)根据角平分线的定义计算即可求出,然后根据补角的和等于列式计算即可求出的值,先求出的值,再根据角平分线的定义解答即可. (1)解:∵是的平分线, 由角平分线的性质可得, 又∵,, ∴, ∴的补角是或. 故答案为:或; (2)由题意可得, ∴, ∵, ∴, ∵是的平分线, ∴. 【反三】: 1.如图,直线与直线相交于点.若,是的平分线,求的度数. 【解题思路】本题主要考查了邻补角互补、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点,弄清楚角之间的关系成为解题的关键. 由以及邻补角互补可列方程求得,然后再根据角平分线的定义解答即可. 解:∵,, ∴,解得:, ∵是的平分线, ∴. 2.如图所示,直线,相交于点,射线、在内,且平分,,已知,求的度数. 【解题思路】本题考查了对顶角、邻补角,角平分线的概念,由结合邻补角互补、对顶角相等,可求出的度数,根据平分,可求出,根据垂直的定义求出,则可求,熟记概念并灵活运用是解题的关键,邻补角、对顶角成对出现,在相交直线中,一个角的邻补角有两个.邻补角、对顶角都是相对与两个角而言,是指的两个角的一种位置关系.它们都是在两直线相交的前提下形成的. 解:,, . , , 平分, , , , . 3.如图,直线相交于点,把分成两部分. (1)图中的对顶角为_,的邻补角为_; (2)若,,求的度数. 【解题思路】本题主要考查了对顶角的定义,邻补角的定义,几何图中的角度计算. (1)根据对顶角的定义,邻补角的定义求解即可. (2)由对顶角的定义得出,再结合已知条件可得出,最后根据邻补角的定义求解即可. (1)解:图中的对顶角为,的邻补角为; (2)解:, , 且, . 考点4:复杂图形中的角度推理 题型:多条直线相交(如三线共点),结合对顶角、邻补角综合求解。 易错点强化 误区1:认为“邻补角一定相邻” 邻补角是位置关系,与是否“相邻”无关,关键在“共边”和“反向延长”。 误区2:“对顶角相等”逆命题成立 相等的角不一定是对顶角(如等腰三角形的底角)。 应对:多画图辨析,强调“位置+数量”双重条件。 【举一】: 如四,直线相交于点是直角. (1)若,则_. (2)若,求的度数. (3)若,求和的度数. 【解题思路】本题主要考查了相交线成的角.熟练掌握邻补角,平角,余角,角的和与差倍分关系,是解题的关键. (1)根据,可得,再由,可得,结合,即可求解; (2)根据,可得, (3)由已知可得,得,得,即得. (1)解:∵是直角, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵, ∴; 故答案为:; (2)解:∵,, ∴; (3)解:∵,, ∴, ∴, ∴, ∴. 【反三】: 1.已知与的平分线交于点. ①如图1,试探究,与之间的数量关系,并说明理由; ②如图2,试探究,与之间的数量关系,并说明理由; ③如图3,若,的平分线交于点,则,与之间有怎样的数量关系? 【解题思路】延长交于,设与交于点,由三角形外角的性质可得,,进而可得,再根据角平分线的定义可得,,由三角形的内角和定理可得,据此即可得出结论; 根据,是与的平分线,可设,,由可知,即,则,根据四边形的内角和等于可得,即,将代入整理即可得出结论; 延长交于,根据,是与的平分线,可设,,在中,利用三角形的内角和定理可得,由可知,即,由邻补角互补可得,由三角形外角的性质可得,进而可得,将代入整理即可得出结论. 解:,与之间的数量关系是:,理由如下: 如图,延长交于,设与交于点, 是的外角, , 是的外角, , , 是的平分线, , 是的平分线, , ,, 又, , 即:, 整理,得:, ,与之间的数量关系是:; ,与之间的数量关系是:,理由如下: ,为与的平分线, 可设,, 由可知:, 即:, , 根据四边形的内角和等于,得:, 即:, 将代入上式,得:, , ,与之间的数量关系是:; ,与之间的数量关系是:,理由如下: 如图,延长交于, ,是与的平分线, 可设,, 在中,, 即:, , 由可知:, 即:, 由邻补角互补可得:, 是的一个外角, , , 将代入上式,得:, 即:, 答:,与之间的数量关系是:. 2.如图1,在中,,,D,E分别为的中点,将绕点C逆时针方向旋转得到(如图2),使直线恰好过点B,连接. (1)判断与的位置关系,并说明理由; (2)求的长; (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周,当直线过的一个顶点时,请直接写出长的其它所有值. 【解题思路】(1)根据旋转的不变性证明,再由对应角相等及邻补角即可得证; (2)设,在中,由勾股定理得:,解方程即可; (3)分类讨论,分第一次经过点B,经过点A,再次经过点B讨论,根据变化中的不变性,不变的是基本图形关系即,以及位置关系,始终有垂直,继而设,运用勾股定理列方程求解即可. (1)解:与的位置关系为. ∵,D,E分别为的中点, ∴,即, ∵,即, ∴, ∴, ∴, ∵,,, ∴, ∴, ∴, 即:. (2)解:中,, ∴,同理可求, ∵, ∴, 设, 在中,由勾股定理得:, 解得:(舍负), ∴. (3)解:①经过点B时,题(2)已求; ②经过点A时,如图所示, 同理可证:, ∴, ∵, ∴, 设, 在中,由勾股定理得:, 解得:(舍负), 即:; ③再次经过点B时,如下图: 同理可证:,, 设, 在中,由勾股定理得:, 解得:(舍负), 即:; 综上所述:或. 3.已知:直线l1∥l2,A为l1线上的一个定点,D,E为直线l2上的两个动点,点D在点E的左侧,连接AD,AB,满足∠AED=∠DAE.过点A的直线交l2于点B,点C在线段BA的延长线上.点M在l2上,且在点B的左侧. (1)如图1,若∠AED=52 ,∠ABM=130 ,则∠BAD的度数为_; (2)射线AF为∠CAD的角平分线. ①如图2,当点B在点D左侧时,用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系,并证明; ②当点B与点D不重合,∠ABM+∠EAF=144 ,且接写出∠EAF的度数. 【解题思路】(1)根据平行线的性质以及题干中∠AED =∠DAE即可推出∠BAD的度数; (2)①结合平行线性质和角的平分线定义,进行等量代换进行推理即可找到∠EAF与∠ABD的等量关系; ②根据D、E在点B不同位置分类讨论,根据平行线的性质和角平分线定义,以及邻补角的性质等进行角的转换,即可求出∠EAF的度数. (1)解:∵∠ABM=130 , ∴∠ABE=180 -∠ABM=50 , ∵∠AED=∠DAE=52 , ∴∠ADE=180 -∠AED-∠DAE=180 -52 -52 =76 , ∴∠BAD=∠ADE-∠ABD=76 -50 =26 , 故答案为:26 ; (2)(2)①∠ABD= 2∠EAF, 证明:∵ , ∴∠CAN = ∠ABD,∠NAE=∠AED, 又∵AF平分∠CAD, ∴, ∵∠DAE=∠AED=∠NAE, ∴ , ∴ , 即∠ABD = 2∠EAF; ② 如图所示, 点D在点B右侧,由①得 , ∵∠ABM+∠EAF= 144 , ∴∠ABM + ∠ABD= 144 , 又∵∠ABM+∠ABD=180 , ∴∠ABD = 180 - 144 = 36 , ∠EAF= 36 ; 如图所示,点D在点B左侧,点E在点B右侧, .∵AF平分∠CAD, ∴∠DAF=∠CAD, ∵, ∴∠AED=∠NAE,∠CAN =∠ABE, ∴∠DAE=∠AED=∠NAE, ∴∠DAE= (∠DAE+∠NAE)=∠DAN, .∴∠EAF=∠DAF+∠DAE=(∠CAD+∠DAN)= (360 一∠CAN)=180 一∠ABE, ∵∠ABE+∠ABM = 180 , ∴∠EAF=180 - (180 一∠ABM)= 90 +∠ABM, 又∵∠EAF+∠ABM=144 , ∴∠EAF=90 +(144 -∠EAF)=162 -∠EAF, ∴∠EAF=108 ; 如图,D、E均在B点左侧, 此时,∠DAE=∠DAN,∠DAF=∠CAD, ∴∠EAF=∠DAE+∠DAF=(360 -∠CAN) =180 -∠ABG =180 -(180 -∠ABM)=90 +∠ABM, ∵∠ABM+∠EAF=144 , ∴∠EAF=108 , 综上所述:∠EAF=36 或108 . 一、单选题 1.下列说法中,正确的是( ) A.有公共顶点的角是对顶角 B.相等的角是对顶角 C.对顶角相等 D.不是对顶角的角不相等 答案:C 分析:此题考查学生对对顶角的性质的理解.根据对顶角的定义和性质对各个命题进行分析,从而得到正确的答案. 详解:解:①不符合对顶角的性质,故不正确; ②相等的角不一定是对顶角,故不正确; ③符合对顶角的性质,故正确; ④因为两角相等,但不一定是对顶角,故不正确. 故选:C. 2.如图,直线,相交于点,射线平分.若,则等于( ) A. B. C. D. 答案:B 分析:本题主要考查了角平分线的定义以及对顶角的定义,熟练掌握角平分线的定义以及对顶角的定义是解此题的关键.由对顶角的定义可得出,再利用角平分线的定义,即可得出结果. 详解:解:直线,相交于点, , 射线平分, , 故选:B. 3.如图,直线、相交于点O,平分,若,则的度数为( ) A. B. C. D. 答案:B 分析:本题主要考查对顶角的性质和角平分线的定义,牢记对顶角的性质和角平分线的定义是解题的关键. 根据对顶角的性质可证得,根据角平分线的定义可求得的度数,再根据即可求得. 详解:直线、相交于点,, . 平分, . . 故选:B. 4.如图,直线相交于点,则的度数为( ) A. B. C. D. 答案:C 分析:本题考查对顶角、平角,根据对顶角相等可得,再根据即可得出的度数. 详解:解:, , , , 故选C. 5.下列图形和是对顶角的是( ) A. B. C. D. 答案:A 分析:此题考查了对顶角的定义,熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键.根据各选项中的图形,依据对顶角的定义逐一进行判断即可. 详解:解: A.和符合对顶角的定义,是对顶角,故A符合题意; B. 和的两边不是互为反向延长线,不符合对顶角的定义,不是对顶角,故B不符合题意; C.和的两边不是互为反向延长线,不符合对顶角的定义,不是对顶角,故C不符合题意; D.和的两边不是互为反向延长线,不符合对顶角的定义,不是对顶角,故D不符合题意;. 故选:A. 二、填空题 6.如图,已知点是直线上一点,射线分别是的平分线,若,则 , . 答案: 分析:本题考查角的运算、平角的定义、角平分线及其性质,属于基础题,解题的关键是充分利用角平分线和平角的定义.依题意,根据角平分线的性质求出的度数,由平角的性质可求出的度数,再由角平分线的性质可求出的度数. 详解:解:∵射线分别是的平分线, ∴,, ∵, ∴, ∵射线分别是的平分线, ∴ 故答案为:. 7.如图,O是直线上一点,,则 . 答案: 分析:本题考查了平角的定义,由平角的定义得,即可求解;理解平角的定义是解题的关键. 详解:解:∵, , 故答案为:. 8.如图,直线,相交于点,平分.若,则 . 答案: 分析:本题主要考查了邻补角、角平分线的定义,熟练掌握以上知识点是解答本题的关键. 先根据邻补角的定义求出的度数,再根据角平分线的定义,即可得出答案. 详解:解:, , 平分, , 故答案为:. 9.如图,三条直线相交于同一点.如果,那么的度数为 . 答案:/90度 分析:此题主要考查了对顶角,平角,关键是掌握对顶角相等,平角.首先设,则,进而得到方程,再解方程可得的值,即可算出,再根据对顶角相等可得答案. 详解:解:设,则, ∴, 解得:, ∴, ∴, 故答案为:. 10.如图,直线相交于点.若,,则的大小为 . 答案: 分析:本题考查了对顶角的性质,角的和差,由对顶角的性质得,再根据角的和差关系即可求解,掌握对顶角的性质是解题的关键. 详解:解:∵直线相交于点,, ∴, ∵, ∴, 故答案为:. 三、解答题 11.如图,直线相交于点平分,,,求和的度数. 答案:, 分析:本题考查了对顶角,角平分线,平角,熟练掌握对顶角,角平分线,平角的定义是解题的关键;根据角平分线的定义可得,根据对顶角相等可求,再根据平角的定义即可求出. 详解:解:平分,, , , . 12.如图,直线和直线相交于点为内部的射线,平分平分. (1)若,求和的度数; (2)若的度数为,求的度数. 答案:(1) (2) 分析:本题考查几何图形中的角度计算,角平分线的定义,理清图中相关角的和差关系是解题的关键. (1)由角平分线的定义可得,进而可得,由对顶角相等可得,则; (2)根据角平分线的定义及角的和差关系求解即可. 详解:(1)解:因为平分平分, 所以, 所以, 即. 因为, 所以. (2)解:因为平分, 所以. 因为, 所以, 所以. 因为平分, 所以. 13.如图,已知直线相交于点,且平分. (1)与_互为邻补角; (2)与互为补角的是哪些角?请说明理由; (3)若,求的度数. 答案:(1) (2)与互为补角的角是.理由见解析 (3) 分析:本题考查了对顶角,邻补角,角平分线的定义,根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键. (1)由邻补角的定义可直接得出; (2)由邻补角的定义和角平分线的定义可得出结论; (3)由的度数可得出的度数,再结合角平分线的性质可得出的度数. 详解:(1)由图形可知, ∴与和互为邻补角, 故答案为:和. (2)和,理由如下: 由图形可知,, ∵平分, , , ∴的补角有和. (3))∵, 平分, 14.如图,平面上有四个点. (1)根据下列语句画图: ①画射线; ②画直线与线段相交于点; (2)在图中以为顶点的角中. ①请写出的所有补角; ②若,直接写出它的余角的度数. 答案:(1)①见解析,②见解析 (2)①的补角为 ② 分析:本题考查的是画直线,射线,线段,邻补角的含义,余角的含义; (1)①根据射线的含义画图即可;②根据直线,线段的含义画图即可; (2)①根据邻补角的定义可得答案;②根据余角的含义可得答案. 详解:(1)解:①如图,射线即为所求, ②直线与线段相交于点如图所示: ; (2)解:①的补角为; ②∵, ∴的余角为:. 15.若直线和直线相交于点,为内部的射线,平分,平分. (1)若,求和的度数? (2)若是任意角,求的度数? (3)请猜想,度数会改变吗?若改变,请说明理由;若不改变,则度数是多少? 答案:(1); (2) (3)的度数不变,值为 分析:本题考查角的计算,角平分线的定义,对顶角,熟练计算角度是解题的关键. (1)由对顶角的性质,得到,再由角平分线的定义即可求解; (2)由角平分线的定义,对顶角的性质得到,,,从而求出的度数; (3)由角平分线的定义推出,即可得到答案. 详解:(1)解:平分,平分, ,, , , , , (2)解:平分, , , , , 平分, , ; (3)解:的度数不变, 平分,平分, ,, , . 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2024-2025学年度七年级数学下册学练手册 专题01 两条直线相交 （思维导图+知识点+常考易考点+巩固提升） 知识点一：邻补角的概念与性质 定义：两条直线相交形成的角中，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角（如∠1与∠2）。 性质：邻补角互补，即∠1 + ∠2 = 180°。 易错点：邻补角必须同时满足“共边” “反向延长线”和“互补”，缺一不可。 知识点二：对顶角的概念与性质 定义：两条直线相交形成的角中，有公共顶点，且两边分别互为反向延长线的两个角（如∠1与∠3）。 性质：对顶角相等，即∠1 = ∠3。 推导：利用邻补角互补（∠1 + ∠2 = 180°，∠3 + ∠2 = 180°），通过等量代换证明∠1 = ∠3。 易错点：对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角（如两平行线的同位角）。 知识点三：基本图形与数量关系 两条直线相交形成4个角，其中： 邻补角有4对（每角有2个邻补角）； 对顶角有2对（∠1与∠3，∠2与∠4）。 总结：相交线的核心是通过“位置关系”（邻补、对顶）推导“数量关系”（互补、相等）。 part1 基础考点题型 考点1：识别邻补角与对顶角 题型：选择题或填空题，给出图形判断哪组角是邻补角或对顶角。 解题关键： 邻补角：找“共边”+“反向延长线”； 对顶角：找“公共顶点”+“两边反向延长”。 【举一】： 如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    【反三】： 1．如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 2．如图，给出以下结论：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同位角；④与是内错角．其中正确的是 ．（填序号）    3．如图，直线L截直线a，b所得的同位角有 对；内错角有 对，它们是 ；同旁内角有 对，它们是 ；对顶角 对，它们是 ． 考点2：角度计算（基础型） 题型：已知一角求其他角，直接利用邻补角互补或对顶角相等。 【举一】： 如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【反三】： 1．如图，直线交于点O，平分，，． (1)的余角等于______°； (2)求的度数． 2．如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求的度数． 3．如图，点，，在同一条直线上，，平分．从点出发画射线，使得． (1)求的度数； (2)直接写出图中哪些角互为余角． Part2 综合考点题型 考点3：角度计算（方程思想） 题型：给出角度比例（如∠1:∠2 = 2:3）或差值（如∠2 - ∠1 = 40°），列方程求解。 解题步骤： ① 设未知数（如设∠1 = 2x，∠2 = 3x）； ② 利用邻补角互补列方程（2x + 3x = 180°）； ③ 求解并计算其他角。 【举一】： 如图，已知直线与相交于点，分别是的平分线． (1)的补角是 ； (2)若，求和的度数． 【反三】： 1．如图，直线与直线相交于点．若，是的平分线，求的度数． 2．如图所示，直线，相交于点，射线、在内，且平分，，已知，求的度数． 3．如图，直线相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，，求的度数． 考点4：复杂图形中的角度推理 题型：多条直线相交（如三线共点），结合对顶角、邻补角综合求解。 易错点强化 误区1：认为“邻补角一定相邻”→ 邻补角是位置关系，与是否“相邻”无关，关键在“共边”和“反向延长”。 误区2：“对顶角相等”逆命题成立→ 相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角）。 应对：多画图辨析，强调“位置+数量”双重条件。 【举一】： 如四，直线相交于点是直角． (1)若，则______． (2)若，求的度数． (3)若，求和的度数． 【反三】： 1．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 2．如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 3．已知：直线l1∥l2，A为l1线上的一个定点，D，E为直线l2上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD，AB，满足∠AED＝∠DAE．过点A的直线交l2于点B，点C在线段BA的延长线上．点M在l2上，且在点B的左侧． (1)如图1，若∠AED＝52°，∠ABM＝130°，则∠BAD的度数为_______； (2)射线AF为∠CAD的角平分线． ①如图2，当点B在点D左侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明； ②当点B与点D不重合，∠ABM+∠EAF＝144°，且接写出∠EAF的度数． 一、单选题 1．下列说法中，正确的是（   ） A．有公共顶点的角是对顶角 B．相等的角是对顶角 C．对顶角相等 D．不是对顶角的角不相等 2．如图，直线，相交于点，射线平分．若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线、相交于点O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．下列图形和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，已知点是直线上一点，射线分别是的平分线，若，则 ， ． 7．如图，O是直线上一点，，则 ． 8．如图，直线，相交于点，平分．若，则 ． 9．如图，三条直线相交于同一点．如果，那么的度数为 ． 10．如图，直线相交于点．若，，则的大小为 ． 三、解答题 11．如图，直线相交于点平分，，，求和的度数． 12．如图，直线和直线相交于点为内部的射线，平分平分． (1)若，求和的度数； (2)若的度数为，求的度数． 13．如图，已知直线相交于点，且平分． (1)与______互为邻补角； (2)与互为补角的是哪些角？请说明理由； (3)若，求的度数． 14．如图，平面上有四个点． (1)根据下列语句画图： ①画射线； ②画直线与线段相交于点； (2)在图中以为顶点的角中． ①请写出的所有补角； ②若，直接写出它的余角的度数． 15．若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$