精品解析：上海市杨浦高级中学2024-2025学年高一下学期开学摸底（3月）数学试卷

杨浦高级中学2024-2025学年高一摸底数学试卷 出卷人：朱佳威 审卷人：陆勋卿 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）. 1. 集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，则. 故答案为：. 2. 函数的定义域为________________. 【答案】且 【解析】 【分析】利用对数函数的真数大于，底数大于且不为，即可求解. 【详解】由题知且，解得且， 所以函数的定义域为且， 故答案为：且. 3. 已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，可得答案. 【详解】由题意可知，扇形的面积为. 故答案为：. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求解. 【详解】, 故答案为：. 5. 代数式可化为的形式，此时______________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式来求得正确答案. 【详解】 ， 所以. 故答案为： 6. 已知函数是偶函数，则_______． 【答案】5 【解析】 【分析】 利用偶函数的定义及图象关于轴对称的特点，可以建立及，解得，，即可得到. 【详解】解：函数是偶函数， 或 偶函数的图象关于轴对称， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查偶函数的定义和性质，结合二次函数的图象的对称轴，建立关于，的方程．注意奇偶函数的定义域关于原点对称的特点．属于基础题． 7. 已知，则______．（用a和b表示） 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，利用换底公式结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 8. 关于的不等式的解集为，则实数______. 【答案】1 【解析】 【分析】由题意知，根的判别式，建立关于k的等量关系式，求出k的值后，由于，即可求得结果. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，所以， 所以， 故答案是1. 【点睛】该题考查的是有关根据一元二次不等式的解集的形式，得到其对应的判别式的符号，从而得到相应的等量关系式，求得结果，属于简单题目. 9. 已知函数的最小值为，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数两段函数的单调性和最值，即可列式求解. 【详解】由题意可知，若，则时，单调递减，此时，函数无最小值； 故需满足，得， 若函数的最小值为， 对于，，其最小值为，当且仅当对称轴， 对于，恒成立， 又知，故时，， 所以需，解得， 由和可得， 综上可知，. 故答案为： 10. 定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则______． 【答案】或. 【解析】 【分析】设出两个不等式相对应的一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系、可以得到一个三角方程，根据同角三角函数的关系和特殊角的正切值求出的值. 【详解】不等式与不等式为对偶不等式， 设不等式的对应方程两个根为、， 则不等式对应方程两个根为：、 所以 即：因为，所以或 故答案为：或 【点睛】本题考查了新定义题，考查了一元二次方程根与系数关系，考查了同角的三角函数的商关系，考查了特殊角的正切值，考查了数学运算能力. 11. 以下四个命题中真命题的序号是_______________. ①若角，满足，，则角，终边关于原点对称； ②在三角形中，若，则三角形是等边三角形； ③“”是“为第三、四象限角”的必要不充分条件； ④已知，则. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据三角函数的定义结合象限角、终边相同的角的概念可判断出①错误③正确，利用三角形内角范围结合余弦函数的性质可判断出②正确，利用三角恒等变换和正弦函数的性质可判断出④错误. 【详解】对于①，当为偶数时，角终边重合，故①错误； 对于②，因为 所以 则 当且仅当时， ， 即当时，有. 即三角形是等边三角形，故②正确； 对于③，当时，， 角终边在第三、四象限或在轴负半轴上，故③正确； 对于④，因，且， 则， 则， 故，故④错误. 故答案为：②③. 12. 设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_______. 【答案】4 【解析】 【分析】分类讨论和两种情况，每种情况再利用诱导公式求解即可. 【详解】当时，， ，又， ，注意到，所以只有2组： ,满足题意； 当时，同理可得出满足题意的也有2组： ,，故共有4组. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）. 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断. 【详解】若，则成立； 若，则或，故不一定成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 若，且，则幂函数与角的终边（ ） A. 不可能有交点 B. 可能有交点 C. 有且只有1个交点 D. 至少有2个交点 【答案】A 【解析】 【分析】由题意判断角所在象限，结合幂函数的性质，即可判断出答案. 【详解】因为，故在第三象限或第四象限， 由，可知在第一象限或第四象限， 故在第四象限，又幂函数的图象不经过第四象限， 故幂函数与角的终边（不包含原点）不可能有交点， 故选：A 15. 设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式恒成立的条件，由于给出的是不完全题干，必须结合选择项，才能得出正确的结论．可运用排除法． 【详解】解：，故恒成立； ：由于由于函数在，单调递减，在，单调递增 当时，，即， 当，，即， 当，． 故恒成立； ：由于．故恒成立； ：若，则该不等式不成立，故不恒成立 故选：． 【点睛】本题主要考查了不等式比较大小，基本不等式的应用放缩法证明不等式等．要灵活运用公式，牢记公式成立的条件，属于中档题． 16. 假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据： （单位：km/h） … （单位：m） … 对于以下两个结论： ①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为； ②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶． 其中正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意建立方程求出函数的解析式，再利用函数的单调性验证临界值，即可分别求解． 【详解】由题意可得，则， 即，对称轴在轴左侧，知该函数在上单调递增， 又，，， 若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为， ①不成立； 又的最小正整数的值为， 可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶，②成立． 故选：C． 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知，，，求： （1）和的值； （2）的值. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可求得的值，利用诱导公式可求得的值； （2）利用两角差的正切公式可求得的值，进而再利用两角差的正切公式可求得的值. 【详解】（1）由，，可得，， 又由，； （2）由两角差的正切公式得， 因此，. 【点睛】本题考查利用同角三角函数的基本关系、诱导公式以及两角差的正切公式求值，考查计算能力，属于基础题. 18. （1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值； （2）已知，且，求及. 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理可得，结合同角三角关系即可求解； （2）根据,之间的关系结合诱导公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：，解得：或， 且， 又因为，即， 整理得，解得或(舍去)， 所以. （2）因为，且， 即，可得， 由，可知，， 又因为，且， 可得， 所以 . 故，. 19. 如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，. （1）若，，求的值； （2）证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即. 【答案】（1） （2）因为，、在单位圆上， 则，，，所以，， 则， 即. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用平方关系得到，再通过构角，利用正弦的差角公式，即可求解； （2）根据条件得，再利用向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，则， 又，则，又， 所以. 【小问2详解】 略 20. 漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本) （1）写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式； （2）求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值. 【答案】（1） （2）2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元 【解析】 【分析】（1）由利润=收入固定成本其它成本，根据题意求解； （2）由（1）的结论，利用二次函数的性质和基本不等式求解. 【小问1详解】 解：由题意可知： 当时，， 当时， . 【小问2详解】 由， ①当时， 当时，取得大值，最大值为85， ②当时，， 当且仅当即时，取得最大值50， 由①②可得:当时，取得最大值150， 综上所述，2025年产量为40万斤时，该企业所获利润最大，利润最大值为150万元. 21. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围； （3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】(1)根据对数函数的单调性可解得， 注意真数大于零； (2) 化简得到的值域为，故能够取到一切大于0的实数，由于二次项系数含参，故需要分类讨论，当时，显然不符合题意；故只能，再结合即得答案. (3) 化简对数方程得到，在的条件下只有一个根，然后分类讨论即可得到答案. 【详解】(1) 时，不等式等价于， 所以，所以，所以， 所以不等式的解集为. (2) 因为函数的值域为，即的值域为，故能够取到一切大于0的实数， 当时，，不符合题意； 当时， ；不符合题意， 当时， 根据二次函数的图象和性质可得，解得； 综上所述： 的取值范围是. (3) 关于的方程的解集中恰好只有一个元素， 所以的解集中恰好只有一个元素， 即且的解集中恰好只有一个元素， 所以，即， ①当时，解得，此时 ，满足题意； ②当时， ，此时也满足题意； ③当且时，两根为，， 当时，由 得， 当时，由得， 因为和只能取一个值， 所以只能取，所以且， 解得. 综上所述：的取值范围是. 【点睛】考查了对数不等式，复合函数的值域问题和对数方程的问题.，分类讨论思想，本题为较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杨浦高级中学2024-2025学年高一摸底数学试卷 出卷人：朱佳威 审卷人：陆勋卿 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）. 1. 集合，则__________. 2. 函数的定义域为________________. 3. 已知扇形的弧长和半径都是4，则扇形的面积为__________． 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，其终边经过点.则角的余弦值为______. 5. 代数式可化为的形式，此时______________. 6. 已知函数是偶函数，则_______． 7. 已知，则______．（用a和b表示） 8. 关于的不等式的解集为，则实数______. 9. 已知函数的最小值为，则的取值范围为______． 10. 定义：关于的两个不等式和的解集分别为和，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式与不等式为对偶不等式，且，则______． 11. 以下四个命题中真命题的序号是_______________. ①若角，满足，，则角，终边关于原点对称； ②在三角形中，若，则三角形是等边三角形； ③“”是“为第三、四象限角”的必要不充分条件； ④已知，则. 12. 设.若对任意实数都有，则满足条件的有序实数组的组数为_______. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）. 13. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若，且，则幂函数与角的终边（ ） A. 不可能有交点 B. 可能有交点 C. 有且只有1个交点 D. 至少有2个交点 15. 设是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） A. B. C. D. 16. 假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于，肇事汽车在该路段的限速为．根据经验，在该路段的刹车距离（单位：）与刹车前的速度（单位：）之间的关系为，下面的表格记录了三次实验的数据： （单位：km/h） … （单位：m） … 对于以下两个结论： ①若该肇事汽车刹车前的速度为，则的最小正整数的值为； ②可以断定，该肇事汽车在刹车前是超速行驶． 其中正确的是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知，，，求： （1）和的值； （2）的值. 18. （1）已知，若、是关于的一元二次方程的两实数根，求的值； （2）已知，且，求及. 19. 如图，点、分别是角、的终边与单位圆的交点，. （1）若，，求的值； （2）证明角、在上述范围下的两角差的余弦公式，即. 20. 漳州市是中国重要的食用菌生产基地之一，食用菌产业得益于得天独厚的气候环境和土壤条件.某乡镇企业于2025年准备投资种植一批目前市场上较受欢迎的鸡枞菌.根据研究发现：种植鸡枞菌，一年需投入固定成本55万元，第一年最大产量50万斤，每生产万斤，需投入其他成本万元，，根据市场调查，鸡枞菌的市场售价每万斤20万元，且全年所有产量都能全部售出.（利润=收入固定成本其它成本) （1）写出2025年利润（万元）与产量x（万斤）的函数解析式； （2）求2025年鸡枞菌产量x为多少万斤时，该企业所获利润最大，求出利润最大值. 21. 已知，函数. （1）当时，解不等式； （2）若函数的值域为，求的取值范围； （3）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $