2025年九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》常考题型分类专题训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》 常考题型分类专题训练（附答案） 一、二次函数与直角三角形综合 1．如图，已知抛物线经过两点 (1)求、的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为10时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 2．如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．直线经过，两点，点是抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点在下方运动时，求面积的最大值； (3)若点为直线上一点，作点关于轴的对称点连接当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 3．综合与探究 已知抛物线与直线交于，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式． (2)若为抛物线顶点，则线段的长为_____． (3)如图1，点是直线上方抛物线的一动点，过点作轴，交于点．连接，求的面积的最大值． (4)如图2，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为．点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数及直线的表达式； (2)过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)点为抛物线对称轴上的点，问在抛物线对称轴右侧的图象上是否存在点，使为等腰直角三角形，且为直角，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴上，．抛物线与轴交于，两点． (1)如图1，若抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，为线段上一点，连接，若，请判断和是否相等，并说明理由； (3)若抛物线的顶点为，取的中点，则以，，为顶点的三角形能否为直角三角形？若能，请直接写出的值；若不能，请说明理由． 二、二次函数与等腰三角形综合 6．如图，抛物线与x 轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为，点B 的坐标为． (1)求此抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作x 轴的垂线交直线于点D， 过点P作y 轴的垂线，垂足为点E． ①请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由； ②连接，当为等腰三角形时，求点D的坐标． 7．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点． (1)求此抛物线的表达式． (2)是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点的坐标及的面积． (3)抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求、、三点的坐标； (2)如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状，并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，若点是线段上的一动点，作轴，交抛物线于点，当最大时，在抛物线对称轴上找一点，使的值最小，求出此时点的坐标； (3)若点在直线上的运动过程中，是否存在点，使为等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．综合与探究 如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式并直接写出点的坐标； (2)求的面积，并在该二次函数图象上确定一点，使与的面积相等，请求出所有满足条件的点的坐标． (3)该二次函数对称轴上是否存在一点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 三、二次函数与平行四边形综合 11．如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，,，，抛物线的图象经过C点． (1)求抛物线的解析式； (2)平移该抛物线的对称轴所在直线L．当L移动到何处时，恰好将的面积分为相等的两部分？ (3)点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点且与轴的负半轴交于点，为抛物线上的一个动点，连接，，． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点在直线上方时，求面积的最大值； (3)当点在轴右侧时： ①连接，当的面积是面积的一半时，直接写出点的坐标______； ②设是抛物线对称轴上一动点，当、、、为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的的值． 13．如图：抛物线与直线交于点A，B．其中点B的横坐标为2．点是线段上的动点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求：线段长的最大值 (3)在平角直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的四边形为整点四边形，在（2）的情况下，在平面内找出所有符合要求的整点R，使P、Q、B、R为整点平行四边形，请直接写出整点R的坐标 14．已知：抛物线分别交轴于、两点，交轴于点． (1)若顶点的横坐标为． ①求抛物线的解析式； ②如图①，直线分别与轴，轴交于、两点，将直线沿轴正方向平移个单位得直线，直线和抛物线相交于点、，是否存在，使四边形为平行四边形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． (2)如图②，若直线平行于交抛物线于点、，直线与直线交于点，若点在定直线上运动，求的值． 15．如图，抛物线与轴交于点，点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，点在直线上方抛物线上运动，过点作于点，轴于点，交于点，求的最大值，以及此时点的坐标． (3)将原抛物线沿轴向右平移1个单位长度后，得到新抛物线与轴交于点，点的对应点为，点是第一象限内新抛物线上的点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半，，请求出点的坐标． (4)在（3）的条件下，点是新抛物线的对称轴上一点，在轴上是否存在一点，使得以点，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 四、二次函数与矩形综合 16．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线对称轴上一点，点是平面内任意一点，当以、、、为顶点的四边形是矩形时，求点的坐标； (3)过点的直线交直线于点，连接，当直线与直线的夹角等于的2倍时，请直接写出点的坐标． 17．在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， (1)求抛物线的解析式； (2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围． 19．如图，在平面直角坐标系中，经过点，的抛物线（a，b为常数）与y轴交于点C，顶点为点D．点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； (3)若点M坐标为，连结，取线段的中点Q，将点Q绕点A顺时针方向旋转得到点N，连结，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线相交，其中一个交点为A，点A的横坐标为8．点P为抛物线上动点，其横坐标为m． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式及顶点坐标； (2)这条抛物线在点P右侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为，求m的值； (3)过点P作y轴的平行线交直线于点Q，以PQ为边作矩形，使与y轴垂直． ①当，点N的横坐标为时，求矩形面积的最大值； ②当点N的横坐标为，抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 参考答案 1．（1）解：把代入中得： ， 解得，； （2）解：由（1）知，， 设点， ， ， 的面积为10， ， 当时，，即 ∵，此方程无实数根． ∴ 当时，， 解得，， 或 （3）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴, 设， ， ， ， 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为或； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或． 2．解：（1）对于直线，令则， ， 令则， ， ， 将点，坐标代入抛物线，得 ， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：过点P作轴交于点G， 设，则)， ， ， 当时，的值最大，最大值为； （3）解：对应， 当时，，解得： ∴， ∵是关于轴的对称点 ∴， 如图所示， 设， ∵，， ∴，， 当时， ∴ 解得：（舍去）或，则 当时， ∴ 解得：，则 综上所述，当是直角三角形时，或． 3．（1）解：将，代入，得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， ， ， 故答案为：； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得， 直线的解析式为； 由（1）知抛物线的解析式为，直线的解析式为， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为8； （4）解：存在，点的坐标为，，理由如下： 设点的坐标为， ，， ，，， 当中，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 同理，当时，， ， 化简得， 解得或， 当时，点与点重合，不合题意，舍去， 当时，， 点的坐标为； 综上可知，点的坐标为，． 4．（1）解：抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为， 设直线的表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：设， ∵轴交直线于点， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为； （3）解：存在． ①当点在轴上方，点在对称轴右侧时，如图， 设对称轴与轴交于点，过点作于点， ∵为等腰直角三角形，且为直角， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 设点坐标为，则， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， 整理得，， 解得或（不合，舍去）， 点坐标为； ②当点在轴下方，点在对称轴右侧时，如图， 同理可得，点坐标为； 综上，点的坐标为或． 5．（1）解：∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，， ∴， ∵抛物线与轴交于，， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，连接， ∵矩形的顶点，分别在轴，轴上，， ∴，， ∴， ∵，，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴和相等； （3）解：∵抛物线与轴交于， ∴， ∴， ∴抛物线为， ∴顶点为， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ， ， 如图，当时，则为直角三角形； ∴， 解得：或； 当时，则为直角三角形；如图， ∴， 解得：； 当时，则为直角三角形； ∴， 整理得：， ∴， ∴该方程无解； 综上：为直角三角形，则或或或． 6．（1）解：将A，B的坐标代入 得 ， 解得，， （2）解：①由（1）可得C的坐标为，则直线的解析式可设为．     将B的坐标代入可得， 即直线的解析式可设为 设，则 于是 ∴当时，取得最大值此时点的坐标为 ②由已知及勾股定理可求得    为等腰三角形时有三种情况，即： 当时，即，解得或（舍去） 此时符合条件的D点坐标为； 当时，即，解得，或（舍去） 此时符合条件的D点坐标为 当时，即，解得， 此时符合条件的D点坐标为， 综上，当D点坐标为或或时，为等腰三角形 7．（1）解：把点代入抛物线中， 得：， 解得： 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点Q作x轴的垂线，交于点M， 抛物线中，令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， 此时，的面积为； （3）解：∵抛物线的对称轴为， 设， ∴， ①当时， 则， 解得：， 此时，； ②当时， 则， 解得：， ∴点的坐标为或； ③当时， 则，即， 解得：， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或或． 8．（1）解：在中，令，则， 解得：，， 点，点， 令，则， 点； （2）四边形为平行四边形，理由如下： ，， 设直线的表达式为， 则， 解得：， 故直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为， ，， 四边形为平行四边形； （3）是的中点，点， 点， 由（2）知，当时，的最大值为， 当时，， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 过点作轴于点，设直线与轴交于点， 则，，故， 而， ， 则直线和直线关于直线对称， ， ，， ，， ， ， 设直线的表达式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 联立， 解得：或（不合题意，舍去）， 点， 设点， ，， ，，， 当时，， 解得：； 当时，即，方程无解； 当时，即， 解得； 综上所述，点的坐标为或或． 9．（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为，把、代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， ∴， 连接，与对称轴相交于点，则此时的值最小， ∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得，， ∴； （3）解：存在． 设， 当时，， 解得或， ∴或； 当时，， 解得或（不合舍去）， ∴； 当时，， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或或． 10．（1）解：把代入得， ， 解得， ∴二次函数的表达式为， ∵当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴， 设点的纵坐标为， ∵与的面积相等， ∴， ∴， ∴， 当时，由，解得，， ∴或； 当时，由，解得，， ∴或； 综上，点的坐标为或或或； （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得， ∴或； 当点为等腰的顶点时，， 则， 解得或， ∴或； 综上，对称轴上存在一点，使是以为腰的等腰三角形，点的坐标为或或或． 11．（1）解：过C作轴于K，如图： ， ， ， ， ，， ，， ，， ， ， 把代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设抛物线的对称轴所在直线L交于，交于Q，此时直线L恰好将的面积分为相等的两部分，如图： 设直线L为， 由，可得， ， 设直线为， 将，代入， 得， 解得， 直线解析式为， ， 设直线为， 将，代入， 得, 解得， 直线解析式为， ， ， ， ， 解得（此时直线L在C右侧，舍去）或， ∴当L移动到处时，恰好将的面积分为相等的两部分； （3）解：存在点P，使四边形为平行四边形， 理由如下： 设P的横坐标为t， ∵四边形为平行四边形， 的中点即为的中点， ，，， ， 解得， 此时， ， 经检验，符合题意； ∴P点坐标为． 12．解：（1）对于直线，当时，，解得， ； 当时，， ， 把得： ， 将代入， 得，解得， 抛物线解析式为； （2）过点作轴交于点，设点的横坐标为，把代入得， ． 点的坐标为， ． 将代入， ， 面积的最大值最大值是4； （3）①抛物线，令，即， 解得， ． ， 的面积是面积的一半， ， 过点作轴交x轴于点H，设H点的横坐标为n， H点坐标为，， 代入化简解得， 代入抛物线得， ； ②由题意， 当是对角线时，如图，， 由及平移得， 代入，解得； 当是平行四边形的边时，如图，， 由及平移得， 代入，解得； 解得 的值是或． 13．（1）解：由得， ∴； ∵点B的横坐标为2． ∴； ∴； 将、代入得：， 解得：， ∴抛物线的表达式： （2）解：∵点是线段上的动点． ∴，； 由题意得： ∴； ∵， ∴当时，线段有最大值，且最大值为； （3）解：由（2）可知：； ∵ 轴，且两点均为整点， ∴线段的长为整数； ∴或； 若，则，解得（不符合题意）； 若，则，解得； 故或 当为边时，有且； 则， ∵， ∴点的横坐标为， ∵， ∴点的纵坐标为或； 即：整点R的坐标为或； 当为对角线时，设， 则，解得：； 或，解得：； 即：整点R的坐标为或； 综上所述：整点R的坐标或或或； 14．（1）解：①∵抛物线的解析式为顶点D的横坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； ②存在，使四边形为平行四边形，理由如下： 当时，，当时，， ，， 将直线沿轴正方向平移个单位得直线， 直线的解析式为， 联立，整理得：，其两根为，， 由根与系数关系得：，， 四边形为平行四边形， 、为平行四边形的对角线， ，即， ， 解得； （2）解：设点、的横坐标为、， ， 令，则， 解得或， ，， 设直线的解析式为， ，解得， ， ， 设的解析式为，联立抛物线， 由根与系数的关系得①， 设直线的解析式为，代入、两点坐标得， 设直线的解析式为，代入、两点坐标得， 联立方程组，整理得， 即 因为点在定直线上运动， ② 联立①②，得． 15．（1）解：∵抛物线过点，点， 代入可得，， 解得，， ∴抛物线解析式为：； （2）解：当时，，即， ∵，， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 设直线的解析式为：， ∵点，点． ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 如图所示， ∵轴， ∴，且， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，，且， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴， ∴； （3）解：存在点，点的横坐标为，理由如下， ∵抛物线， ∴将原抛物线沿轴向右平移个单位长度，新抛物线的解析式为：， 令，则， 令，则， 解得， ∴，， ∵点是第一象限中新抛物线上一点，且点到轴的距离等于点到轴的距离的一半， ∴，且， 把代入得，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 新抛物线图像如图所示， 过点作，交抛物线与点，则， ∴设直线的解析式为，把点代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立新抛物线与直线为方程组得，， 解得，（与点重合，不符合题意，舍去）或， ∴； （4）解：新抛物线的解析式为：， 对称轴为直线， ，，点在轴上，以点为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如下图： ，则， 点M向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 点向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到， 同理，得，则； 当为以点，为顶点的四边形为平行四边形的对角线时， 则， ，则， ， ； 综上所述，存在点Q，点的坐标或或． 16．（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：根据题意可得抛物线的对称轴为直线， 设，则， 当为矩形边时，可得或， 当时，则，即， 解得：， 则； 当时，则，即， 解得：， 则； 如图，当为矩形对角线时， ，四边形是矩形， ， 则，即， 解得：或， 则或； 综上：或或或． （3）解：设直线的解析式为，则，解得：， 故直线的解析式为， 设， 作的垂直平分线，垂足为，交于点，如图所示． 根据题意可得， 当时，，，故符合条件． 此时，， 解得：， ∴点的坐标为． 作于点，作点关于点的对称点．如图所示． 此时，则，故点符合条件． 根据题意， ∴， ∵， ∴， 过点作于H， 则， ∴， ∵点关于点N对称， 即点为线段的中点， ∴点的坐标为． ∴点的坐标为或． 17．（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在轴上，且位于第一象限， ∴， ∵抛物线的顶点在线段上， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， ∴设抛物线， 把点代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①由题意可得，抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵矩形与矩形关于原点对称， ∴，如图所示， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， 线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴当抛物线向左平移个单位得到，再向下平移个单位得到， 抛物线向下平移个单位得到，使得平移后抛物线经过点， 设抛物线，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为，顶点坐标， ∴向下平移的范围是之间， ∴若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间； ②存在，理由如下， ∵， ∴， 当抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴得到解析式为：， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点为， 令 则平移后的抛物线的顶点在抛物线上， 令，解得，， ∴，， 则，是靠近其端点的两个四等分点， 因此，只需将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积， 如图所示， ∵，，原抛物线的顶点是 ∴当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； 当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； ∴或 ∴存在或使得直线平分矩形面积． 18．（1）解：当时，， 当时，， ∴，， ∵B、C在上， ∴， 解得， ∴， 当时， 解得，， ∴． （2）解：过点P作轴交直线于点D， 设点，则， 则， ∴， ∵， ∴开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． （3）解：当点P、M重合时，则， ∴， ①当点M在点P的下方时，即， 由题意得：， 当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象， 当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即． ②当点M在点P的上方时，即或， 当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大， 当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小， 即， 综上，或． 19．（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为． （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴A、B两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 20．（1）解：把代入中，得， 故点， 再把代入抛物线中， 得， ∴抛物线表达式为， 对称轴为直线， 当时，， 故顶点坐标为； （2）解：当时， P点右侧部分最低点为顶点，即，则； 当时， P点右侧部分最低点为点P， 设， 即， 解得：（负值舍去）， 故， 综上，m的值为或； （3）解：①∵，， ∴， ∴， 则当时，，即矩形面积的最大值为8； ②Ⅰ：当时，即时，即P点在N点左边， 又当时，矩形内部无抛物线经过， 则当时， ∵，， 点N的横坐标为， 故点M的坐标为， 如图1所示，当抛物线过点M时，满足物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小， 则， 整理可得：， 从而可得：（正根舍去）， 故，即； Ⅱ：当时，即时，即P点在N点右边， 抛物线在矩形内部的函数值y随x的增大而减小，如图2所示， 当时，无法构成矩形； 当时，在矩形内部包含了y随x的增大而增大的图象，故不符合题意， ∴， 综上所述，m的取值范围为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$