2025年九年级数学中考二轮复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》专题提升训练

2025年春九年级数学中考二轮复习《二次函数与平行四边形综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 1．如图，已知直线分别交x轴、y轴于点B．抛物线过A，B两点． P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．    (1)若抛物线的顶点M的坐标为，其对称轴交于点N． ①求抛物线的解析式． ②在抛物线的对称轴上找一点Q，使的值最大，试求出点Q的坐标． ③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标． (2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 2．如下图，已知抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点，与轴交于两点（点在点的右侧），点是抛物线上的一动点，从点沿抛物线向点运动（点与不重合），过点作轴，交于点．    (1)求该抛物线的函数关系式及点的坐标； (2)求点在运动的过程中，线段的最大值； (3)若点与点重合，点在轴上，点在抛物线上，当以为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 3．如图，抛物线：与轴交于两点，与轴交于点．    (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图，有一宽度为的直尺平行于轴，直尺两长边被线段和抛物线截得两线段、．设点的横坐标为，且，当为何值时四边形为平行四边形； (3)在（2）的条件下连、，当直尺平行移动时，与能否相等，若能求出的值，若不能请说明理由． 4．抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点D，与抛物线交于点E和F，若，求点D的坐标；    (3)如图，抛物线的顶点为M，轴与直线交于点N，若点P在抛物线上，在直线上是否存在点Q，使得以M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．    5．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．该抛物线经过点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，作直线，点在轴上运动，连接得到，当时，求点的坐标； (3)点为抛物线上的点，点为直线上的点．若轴，则四边形是平行四边形，请借助图2探究，并直接写出点的坐标． 6．已知：二次函数（a为常数，且）的图像与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．    (1)分别求点A、B的坐标； (2)若是直角三角形，求该二次函数相应的表达式； (3)当时，一次函数的图像过B点，与二次函数的对称轴交于Q点，N为一次函数图像上一点，过N点作y轴的平行线交二次函数图像于M点，当D、M、N、Q四点组成的四边形是平行四边形时，求N点的坐标． 7．如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，P是第一象限内抛物线上的点，连接交于点M，连接．    (1)求抛物线的解析式 (2)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，抛物线的对称轴与交于点D，连接，点F在x轴上，抛物线上是否存在点E，使得以O，F，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．      (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴的正半轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且点A的坐标为．    (1)求点C的坐标； (2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线距离的最大值； (3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值； (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）的顶点坐标为，与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点C与点D关于x轴对称，连接，作直线．      (1)求点A和点B的坐标； (2)求证：； (3)点P在抛物线上，点Q在直线上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标． 12．如图，抛物线与轴交于点和点（点在点左侧），与轴交于点，过作轴，交直线于点．    (1)求点的坐标； (2)点是直线下方抛物线上一动点，连接，与直线交于点，求的最大值； (3)在（2）的条件下，若抛物线对称轴与轴交点为，连接，点是轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点，以为一边的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 13．如图，抛物线与轴分别相交于，两点（点在点的左侧），是的中点，平行四边形的顶点，均在抛物线上．    (1)直接写出点的坐标； (2)如图（1），若点的横坐标是，点在第二象限，平行四边形的面积是13， ①求直线的解析式； ②求点的坐标； (3)如图（2），若点在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 14．如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标； (3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 15．已知抛物线经过．    (1)求与的关系式； (2)若点在抛物线上，求的取值范围； (3)当时，如图，将抛物线平移，且平移后的抛物线的顶点与原点重合．若点是抛物线上分别位于轴两侧的两个点，直线交轴于点，过作轴的垂线，交轴于点，交的延长线于点．求证：四边形是平行四边形． 参考答案 1．解：（1）①将代入得，， 解得， ∴， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴设， 抛物线过点A，根据一次函数可得代入解析式得，， ∴抛物线解析式为； ②设抛物线与x轴左侧的交点为，则点A，R关于抛物线的对称轴对称，    ∵点A，R关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴垂直平分．所以． ∴， 连接并延长交抛物线的对称轴于点Q，连接， ∴当点R，B，Q三点共线时，的值最大，即， ∴设直线的解析式为， 将，代入得，， ∴解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴所以点Q的坐标为； ③存在． 理由：将代人，得， ∴点， 由点，得， 设点P的坐标为，则点D的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，四边形为平行四边形， 即．解得（舍去），， ∴点P的坐标为； （2）当点P的横坐标为1时，则其坐标为， 由题意，得轴， ∴， ①如图1，当时，以B，P，D为顶点的三角形与相似， ∴， ∴轴， ∴点B，D关于抛物线的对称轴对称， ∴点， ∴设抛物线解析式为， ∴将，，代入得，， ∴解得， ∴拋物线的解析式为； ②如图2，当时，以B，P，D为顶点的三角形与相似． 由点A， B的坐标可得，    ∴， 由点P的坐标可得， 同理可得， ∴， 由，得， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∴同理利用待定系数法可求得抛物线的解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的判定，会利用待定系数法求函数解析式，理解坐标与图形性质，灵活运用相似比表示线段之间的关系，会运用分类讨论的思想解决数学问题． 2．（1）解： 抛物线的顶点为， 抛物线的函数关系式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的函数关系式为，即． 当时，有，即， 解得：，， 又抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧）， 点的坐标为． （2）解：设直线的函数关系式为， 将，代入，得：， 解得：， 直线的函数关系式为． 设点的坐标为，，则点的坐标为， ， ， 当时，取得最大值，最大值为． （3）解：分两种情况考虑： ①以为边构造平行四边形，平移直线交轴于点，交抛物线于点，      点的坐标为， 设点的坐标为， ，解得：，， 点的坐标为或； ②以为对角线进行构造平行四边形， 点，的纵坐标为0， 点的纵坐标为，此时点，重合， 不存在这种情况，舍去． 综上所述，符合条件的点有两个，即或． 3．（1）解：由题意得：与x轴交于，， 把，代入得：， 解得： 抛物线的解析式为； （2）解：由题意得：点的横坐标为 ， 点的横坐标为，点的横坐标为，点的横坐标为， 且点、都在抛物线上，点、都在直线上， 由（）得：抛物线的解析式为， 把代入得：， 把代入得：， 点的坐标为，点的坐标为， 由（）得：抛物线的解析式为， 点的坐标为， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把点、代入得：，解得：， 直线的解析式为， 把代入得：，把代入得：， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 当时，即时，， 又∵， ∴时四边形为平行四边形； （3）解：如图所示，连接，    ∵， ∴四点共圆， 作的外接圆， ∵， ∴， ∵关于对称，则的直径在上， ∴关于对称， ∴, 由（2）可得点的坐标为， ∴， ∴当时，． 4．（1）解：把和代入，得 解得 ∴抛物线解析式为； （2）解：如图：过点E作轴，过点F作轴，与相交于点G，    ，， ， ∴当，， ，， ∴点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设点，则点， 把点代入得： ， 解得：， ， ∴点，点， 设直线的解析式为， ∴，解得： ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点D的坐标为； （3）解：存在； 顶点M的坐标为， 设直线的解析式为， 把点B、C的坐标分别代入解析式，得 ，解得， 直线的解析式为， 当时，， 点N的坐标为， ， 当是平行四边形的边时，则，， 设，， 则， 得或， 由解得，， 则点的坐标为或(舍去)， 由解得，， 则点的坐标为或； 当是平行四边形的对角线时，设，， 的中点坐标为， 的中点坐标为， 解得或， 则点Q的坐标为或(舍去)， 综上，点Q的坐标为或或或． 5．（1）解：把点和点分别代入，得 ，解得：， ∴； （2）解：令，则， 解得：，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，； 设点P的坐标为， 分两种情况： ①当点P在点A右边，即在线段上时，如图，连接，，    ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴； ②当点P在点A左边，即在线段延长线上时，如图，连接，，    ∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理，得 ，即， 化简整理，得， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∴， 综上，当时，点的坐标为或． （3）解：如图，    设的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ∴的解析式为， ∵， ∴，轴， 设，， ∴ 解得：， ∴ 解得：，， ∴或． 6．解：（1）令， ∵， ∴， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴． （2）∵， ∴令 ∴， ∵，∵， ∴， 连接， ∵，    ∴都不能是直角， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴抛物线的解析式为． （3）当时，抛物线解析式， ∴对称轴，， ∵一次函数的图像过， ∴， 解得 ∴直线解析式， ∴， ∴， 设 ∴， ∵， ∴时，四边形是平行四边形， ∴， ∴或， 解得， ∴或或或与点Q重合，舍去， 故点N的坐标为或或． 7．（1）解：把点代入，得 ，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，过点P作交x轴于点Q，    ∴， ∴， 设的边上的高为h， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点Q的坐标为， 由抛物线的解析式知， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 代入得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P在抛物线， ∴联立得，解得， 把代入，得， ∴点P的坐标为或； （3）解：存在，点E的坐标为或或或； 抛物线的对称为直线， ∵抛物线的对称轴与交于点D， ∴点E的坐标为， ①当以为平行四边形的一边时，此时即轴，    过点D作轴，交抛物线于点， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或； ②当以为平行四边形的对角线时，此时也为平行四边形的对角线，    设点E的坐标为，点F的坐标为， ∴， 解得或， ∴点E的坐标为或， 综上，点E的坐标为或或或． 8．解：（1）将，两点坐标分别代入抛物线解析式中，得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）将点代入抛物线解析式中，得， ， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和点的坐标分别代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，点E的坐标为且， ∴， ， ， ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴当时，PE有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）存在， 设点D的坐标为，点F的坐标为， 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解②，得，， 将代入①，解得：； 将代入①，解得：； ∴此时点D的坐标为或； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 将代入①，解得：； ∴此时点D的坐标为； 若和为平行四边形的对角线时， ∴的中点即为的中点， ∴， 解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去）， 将代入①，解得：， ∵点在轴的正半轴上，故舍去； 综上：存在，此时点D的坐标为或或．      9．（1）解：点在抛物线的图象上， ， ， ∴，当时，， 点的坐标为； （2）过作于点，过点作轴交于点，如图    ，， ， 是等腰直角三角形， ， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， 当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， ， 直线解析式为， 设，，则， ， ， 当时，最大为， 此时最大为，即点到直线的距离值最大； （3）存在，或或 解析：理由如下：， 抛物线的对称轴为直线， 设点的坐标为，点的坐标为， 分三种情况：①当为平行四边形对角线时， ，解得， 点的坐标为； ②当为平行四边形对角线时， ，解得， 点的坐标为； ③当为平行四边形对角线时， ，解得， 点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 10．（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴， 设直线， 则：，解得：， ∴， 当时，， ∴； 作点关于轴的对称点，连接， 则：，， ∴当三点共线时，有最小值为的长，      ∵，， ∴， 即：的最小值为：； （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：，      ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 11．（1）解：由题意得， 由，得， 点A的坐标为，点B的坐标为； （2）证明：由抛物线的表达式知：点，则点， ， ， ． ； （3）设点，点，； 当为平行四边形的对角线时，由中点坐标公式得：， 整理得: ， 解得： （舍去）或2， 则， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得：， 解得：， 即点； 当是平行四边形的对角线时，可得， 解得：， 即点Q的坐标为或 综上，点Q的坐标为：或或或． 12．（1）解：∵抛物线的解析式为：， 当时，， 当时，，得，， ∴，， 设直线：，则 ， 解得， ∴， 当时，， ∴； （2）解：如答题图1，过点作轴，垂足为，交直线交于点, 设点的横坐标为，则，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，值最大，最大值是；    答题图1 （3）解：存在符合条件的点，如答题图2， ①当在轴下方的时候， ∵抛物线对称轴与轴交点为， ∴， ∴， ∴， ∴设，， ∵中点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴当横坐标为时，纵坐标为， ∴， ②当在轴上方的时候， 根据平行四边形的性质可得： 到轴的距离等于到的距离， ∴的纵坐标为， ∴ 解得：，， ∴；， ；；；    答题图2 13．（1）解：当时，则， 解得：，， ，， 是的中点， ； （2）解：①点在抛物线上， ， 点， 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为， ②如图（1），过点作轴交直线于点，连接，    设点，则点， ， 平行四边形的面积是13， ， ， ， 解得：或（舍去）， 点， 点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点， 点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位到达点； （3）解：设直线的解析式为， 联立得：， 整理得：， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， 点在抛物线上， ， 解得：， 直线的解析式为， 直线过定点．    14．（1）解：抛物线与x轴交于两点， ，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：，， ； ②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于， 四边形是平行四边形， ， 在和中， ， ()， ， ， ， 解得：，， ； 如上图，根据对称性：， ③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为； 综上所述：的坐标为或或． （3）解：是定值， 理由：如图，直线经过， 可设直线的解析式为， 、在抛物线上， 可设，， ， 整理得：， ，， ， 当时，， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得：， ， ， 同理可求：， ； 当与对调位置后，同理可求； 故的定值为． 15．（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴顶点为. ∵点在抛物线上， ∴当时，有， 解得：； 当时，有， 解得：. 综上所述，的取值范围是或； （3）证明：如下图所示，过点A作轴于点，    ∵将抛物线平移后顶点与原点重合， ∴平移后的抛物为， 设直线的解析式为， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 又轴，即， ∴四边形是平行四边形． 学科网（北京）股份有限公司 $$