第12章 定义 命题 证明 知识拓展与归纳2024-2025学年苏科版 数学七年级下册

苏科版初中数学七年级下册第12章《定义 命题 证明》知识拓展与归纳 01真命题与公理、定理 初学几何的同学，对真命题、公理、定理之间的区别与联系容易混淆，现作如下辨析，供同学们参考． 真命题就是正确的命题，即如果命题的题设成立，那么结论一定成立．如： ①两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． ②如果a＞b，b＞c那么a＞c． ③对顶角相等． 公理是人们在长期实践中总结出来的、正确的命题，它不需要用其他的方法来证明，初一几何我们学过的主要公理有： ①经过两点有一条直线，并且只有一条直线． ②经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． ③同位角相等，两直线平行． ④两直线平行，同位角相等． 公理的正确性是在实践中得以证实的，是被大家公认的，不再需要其他的证明，并且它可以作为证明其他真命题的依据．如应用公理③可以推导出“内错角相等，两直线平行”和“同旁内角互补，两直线平行”． 定理是根据公理或已知的定理推导出来的真命题，这些真命题都是最基本的和常用的，所以被人们选作定理．还有许多经过证明的真命题没有被选作定理．所以，定理都是真命题，而真命题不都是定理．例如：“若∠1＝∠2，∠2＝∠3，那么∠1＝∠3”，这就是一个真命题，但不能说是定理． 总之，公理和定理都是真命题，但有的真命题既不是公理，也不是定理．公理和定理的区别主要在于：公理的正确性不需要用推理来证明，而定理需要证明． 02证明的必要性 在几何中，除了公理以外，不管所论及的命题的结论是多么明显，都必须通过推理来证明． 这是因为： 第一，直观有时会造成错觉，直观并不永远可信． 如在图1中，线段AB好像小于线段AC；图2中，竖线好像比横线长；图3中，左图中心的圆好像比右图中心的圆小；图4中上面一根横线好像比下面的一根长，但是，所有这些都是观察中的错觉．如果用圆规、直尺认真地量一量，就会发现它们实际上是相等的，这些例子说明直观并不可靠． 图1 图2 　 图3 图4 第二，通过对少数具体例子的观察，测量得出的结论，并不能保证“永远正确”，不能保证在一般情况下都成立． 第三，有时，图形的性质并不能通过测量得出．例如：两条直线永不相交的性质就不可能通过实际测量来认定． 第四，通过推理的方法来研究图形，不仅可以使我们掌握许多无法通过观察、度量能得到的性质，而且可以揭示这些性质之间的内在联系，有利于对几何图形的研究． 因此，在几何中，除了公理以外，任何一个命题的正确性，只有在进行了推理论证以后，才会得到认可，而这种推理论证，就是借助于演绎推理来进行的. 03观察与推理 观察是就事物在自然条件下所发生的形态，通过感官认识对象的方法． 我们通过观察，可以得到许多知识．几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的． 不过，从观察得到的认识，是初步的，往往是不全面的，不深入的．例如，我们在小学数学里观察过一些三角形三个角的和，得到“三角形三个角的和等于180°”的结论．那么，是不是所有的三角形都是这样的呢？为什么每个三角形三个角的和必然是180°呢？只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，这就是推理． 在学习平行线的判定方法时，我们在观察和实验的基础上，得到了“同位角相等，两直线平行”．接着，根据同位角与内错角的关系，推出了“内错角相等，两直线平行”的结论．这说明，推理不仅可以使我们从观察实验得到的知识更全面、更深入，而且还可以进一步得到一些新知识． 学习几何离不开观察和实验，也需要掌握推理的方法. 04逻辑推理问题举例 数学中有一类问题，叫做逻辑推理问题，它往往从一些关联的条件出发，应用一定的知识，通过分析、推理，排除不可能情况，然后做出正确的判断，下面举例说明： A、B、C、D四人对王老师的藏书数目做出以下估计： A说：“王老师有五百本书．” B说：“王老师至少有一千本书．” C说：“王老师的书不到两千本．” D说：“王老师最少有一本书．” 这四个估计中只有一个是对的，问王老师究竟有多少本书？ 分析：首先，A说得不对，否则C、D说得也对了，与已知“只有一句正确”相矛盾，同理，B说的也不对，否则D也说对了． 请注意，B与C的估计至少有一个是正确的，因为只有一个对，故C说的对，再由已知，推出D说的不对，从而知：王老师一本书也没有． 你能对下面这个问题作出解答吗？ 练习：有三个箱子分别涂以红、黄、蓝三色，一个苹果放入其中之一，且 （1）红箱上写着：“苹果在这只箱子里”； （2）黄箱上写着：“苹果不在这只箱子里”； （3）蓝箱上写着：“苹果不在红箱子里”． 已知（1）（2）（3）中只有一句是真的，问苹果在哪只箱子里？ 05化圆为方问题 约公元前460年，古希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三等分角和倍立方．希腊人的兴趣在于从理论上去解决这些问题．正因为三大问题很难用标尺解出，往往使研究者闯入未知的领域中……这些问题困扰人类二千多年都不得其解． 对于化圆为方问题，19世纪，在人们揭示了数的本质后，才认识到问题的症结所在，原来的圆的面积为πR2（R为圆的半径），其中π是一个超越数，它是不能精确测得的，假设化圆为方的话，其边长为m，则问题就是要：πR2＝m2．这个问题由于π的缘故而受到了挫折，成为一个千古难题． 数学的研究，有一个根本的东西就是条件，化圆为方问题不能解的条件，就是几何中只允许使用圆规和无刻度的直尺，希望能通过有限次的作图，把圆的面积化为等积的正方形，如果我们取消了这个限制，就是改换条件，这个问题不仅可以解决，而且解决的方法还不止一种． 15世纪著名画家达·芬奇曾有一个很巧妙的办法，在不加圆规、直尺限制条件下实现了化圆为方．他的做法是：如图取半径为R的直圆柱，其高取为，将其沿侧棱剪开，得一个矩形，这个矩形的一条边长为，另一边长为2πR，它的面积恰好为2πR×＝πR2，这一步他实现了把圆化为矩形的目的．紧接着，再以和2πR为基础，作这两条线的比例中项，以此为边作正方形，其面积恰好为πR2，这一步，他实现了把圆化为矩形的目的． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$