第11章《一元一次不等式》知识拓展与归纳导学案2024-2025学年苏科版数学七年级下册

苏科版初中数学七年级下册第11章《一元一次不等式》知识拓展与归纳 01不等式的概念 现实世界中的同类量，如长度与长度，时间与时间之间，有相等关系，也有不等关系．我们知道，相等关系可以用“＝”表示，不等关系用什么符号来表示呢？——不等号． “≠”是表示“不相等”关系的符号，叫做不等号．“≠”和“＝”的意义相反，在数学里也是经常用到的，例如a＋1≠a＋5． 此外，“＞、＜”表示“大于”和“小于”，例如5＞3，－2＜0，a＞b，m＜n． 人们在表达不等量关系时，常把等式作为不等式的特殊情况来处理．在许多场合下，要用到一个数（或量）大于或等于另一个数（或量）的情况，可以把“＞”“＝”这两个符号有机地结合起来，得到符号“≥”，读作“大于或等于”，有时也称为“不小于”．同样，把符号“≤”读作“小于或等于”，有时也称为“不大于”．例如，某天最低气温－5℃，最高气温12℃．换句话说，这一天的气温不低于－5℃，不高于12℃．如果用t代表那天的气温，上面的关系可表示为：－5℃≤t≤12℃．表面看来，两个符号≥和＞好像差不多，其实是有区别的． 同样，“≤”也有类似的情况． 因此，有人把形如a＞b，b＜a这样的不等式叫做严格的不等式，把形如a≥b，b≤a这样的不等式叫做非严格不等式． 现代数学中又用符号“≮”表示“不小于”，用“≯”表示“不大于”．有了这些符号，在表示不等量关系时，就非常得心应手了． 02不等式的定义 用不等号（＜、＞、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫不等式，记作f(x)＞g(x)，f(x)≥g(x)等等． 用“＜”或“＞”号联结的不等式叫严格不等式；用“≤”或“≥”号联结的不等式叫非严格不等式． 03同向不等式、异向不等式 对于两个不等式，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式．如f(x)＞g(x)与S(x)＞T(x)是同向不等式，f(x)≤g(x)与S(x)≤T(x)也是同向不等式． 对于两个不等式，如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式．如f(x)＞g(x)与S(x)＜T(x)是异向不等式，f(x)≤g(x)与 S(x)≥T(x)也是异向不等式． 04绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式 绝对不等式：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能够成立，这样的不等式叫绝对不等式． 条件不等式：如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能够成立，这样的不等式叫条件不等式． 矛盾不等式：如果不论用什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不能成立，这样的不等式叫矛盾不等式． 如：a＋8＞a＋1，a2＞－1为绝对不等式；3x＋5＜2x＋6为条件不等式（只有当x＜1时不等式才能成立）；a2＜－6称为矛盾不等式． 05关于a≤b和a≥b的含义 不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”，其含义是指“或者a＜b，或者a＝b”，等价于“a不大于b”，即若a＜b或a＝b之中，有一个正确，则a≤b正确． 不等式a≥b应读作“a大于或者等于b”，其含义是指“或者a＞b，或者a＝b”，等价于“a不小于b”，即若a＞b或a＝b之中，有一个正确，则a≥b正确． 06不等式的三条基本性质 不等式基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）． 不等式基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小）． 不等式基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）． 07不等式的解集 观察x＝2和x＞2，容易看出，前者的解只有一个，即“2”，而后者的解是“大于2的一切数”，它有无限多个，事实上，随便说出一个比2大的数如3，4，5，6，10，100，1000等等，把它代入x＞2中，都能使这不等式成立．一般地说，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集． 为了直观地说明不等式的解是由无限多个数所组成的，可以利用数轴表示解集，如x＞2可以表示成下图的形式． ( －1 0 1 2 3 ) 即表示2的点的右边的部分，显然x＞2的解，已经不只是一个数，而是那些大于2的所有数的集合． 因此，方程的解与不等式的解是不同的，一般地说，方程的解是确定的一个（或几个）数值，而不等式的解集是一个数值范围，它的数值可以有无数多个． 不等式解集的表示方法：（1）用不等式表示；（2）用数轴表示． 08不等式ax＞b的解集的情况 （1）若a＞0，则x＞． （2）若a＜0，则x＜． （3）若a＝0，则 　　（i）b≥0时，0·x＞b≥0，不等式无解． 　　（ii）b＜0时，0·x＞b，不等式的解x为任意实数． 09跷跷板与不等式 游乐场里的跷跷板，大个儿总是沉沉地压向一端，而小个儿总是被抬到高处，这与数学里的不等式是多么相像！ 游泳班的8个孩子，这时也在游乐场里玩跷跷板．他们之中，有5个女孩子，3个男孩子．女孩子的体重都是25 kg，男孩子的体重都是30kg． 他们要在跷跷板上比个高低，女孩子坐左边，男孩子坐右边．只见女孩子坐上去一个，那边男孩子上去一个又给压了下来．连续3个女孩子坐在左边板上，3个男孩子那边又沉沉地压下来．这时第4个女孩子再坐上去，左边胜利了，还剩一个女孩子没有机会再上去了． 正在这时，从别处跑来一个男孩子，他向着那3个男孩子，说：“我来帮你们．”于是，第5个女孩子又上了左边，新来的男孩子上了右边，果然，男孩子这边反败为胜． 女孩子们不高兴了，说：“你太偏向了．”于是，他们之间达成了一个协议：女孩子们下去3个，然后，这个男孩子坐在左边，与女孩子们在一道．这样一变换阵式，却并没有改变女孩子们的境遇，那3个男孩子还是赢了．试问：这个新来的男孩子的体重大概是多少？ 解答：假设：女孩子用y表示（体重为ykg）；男孩子用x表示（体重为xkg）；新来的男孩子用w表示（体重为wkg）． 那么，新男孩子来了以后，两次竞赛的结果可用两个不等式表示： 5y＜w＋3x （1） w＋2y＜3x （2） 由（1）式，得到： w＞5y－3x （3） 由（2）式，得到： w＜3x－2y （4） 由（3）式和（4）式，得到： 5y－3x＜w＜3x－2y 因为，x＝30kg，y＝25kg；所以，35kg＜w＜40kg． 新来的男孩子，他的体重在35kg到40kg之间． 10巧解一元一次不等式 怎样才能正确而迅速地解一元一次不等式？现结合实例介绍一些技巧，供参考． 1．巧用乘法． 例1　解不等式0.25x＞10.5． 分析：因为0.25×4＝1，所以两边同乘4要比两边同除以0.25来得简便． 解：两边同乘4，得x＞42． 2．巧用对消法． 例2　解不等式　－＞16＋． 分析：因为＝－，所以两边对消这一项可获得简解． 解：原不等式变为－＞16－，即＞16，故x＞24． 3．巧用分数加减法法则． 例3　解不等式y＋＜y－． 分析：注意到－＝1可巧解本题． 解：移项，得y－y＜－－，故 y＜－1． 4．逆用分数加减法法则． 例4　解不等式－＜1． 解：原不等式化为（＋）－（－）＜1， 整理，得－＜0， 即－＜0，故x＞0． 5．巧用分数基本性质． 例5　解不等式－6.5＞－7.5． 分析：直接去分母较繁，观察发现本题有两个特点：① 的分子、分母约去公因数2后，两边的分母相同；②两个常数移项合并得整数． 解：原不等式为＞－1，去分母，得4－6x＞0.01－x－0.01，即－5x＞－4，得x＜0.8． 例6　解不等式－＜． 分析：由分数基本性质，将分母化为整数和去分母一次到位可避免烦琐的运算． 解：原不等式为 －＜ 整理，得8x－30－25x＋4＜120－10x， 即－7x＜146，故x＞－． 思考：例5可这样解吗？请不妨试一试． 6．巧去括号． 去括号一般是内到外，即按小、中、大括号的顺序进行，但有时反其道而行之，即由外到内去括号往往能另辟捷径． 例7　解不等式[(－1)－2]－x＞2． 分析：注意到×＝1，先去中括号可明显地简化解题过程． 解：去括号得：－1－3－x＞2， 即－x＞6，故x＜－8． 7．逆用乘法分配律． 例8　解不等式 278(x－3)＋351(6－2x)－463(3－x)＞0． 分析：直接去括号较繁，注意到左边各项均含有因式x－3，而逆用分配律可速解此题． 解：原不等式化为 (x－3)(278－351×2＋463)＞0， 即 39(x－3)＞0，故x＞3． 8．巧用整体合并． 例9　解不等式 3{2x－1－[3(2x－1)＋3]}＞5． 解：视2x－1为一整体，去大、中括号，得3(2x－1)－9(2x－1)－9＞5，整体合并，得－6(2x－1)＞14， 即6x＜－4，故 x＜－． 9．巧拆项． 例10　解不等式＋＋－3≥0． 分析：将－3拆为3个－1，再分别与另三项结合可巧解本题． 解：原不等式变形为 (－1)＋(－1)＋(－1)≥0， 即有：（x－1）(＋＋)≥0， 得x－1≥0，故x≥1． 11用口诀确定一元一次不等式组的解集 口诀 不等式组（a＞b） 解集 同大取大 x＞a 同小取小 x＜b 大小取中 b＜x＜a 两背为空 空集 用口诀确定一元一次不等式组的解集时，应当注意： 1．如果不等式组中有一个不等式的解集是空集，那么这个不等式组的解集也是空集； 2．“同大取大”是指x同时大于a和b，则取x大于a、b中较大的那一个数为解集．“同小取小”的含义类似．“大小取中”是指若x小于a、b中较大的，又大于a、b中较小的，这时，x取a、b之间的数为解集．“两背为空”的含义是x大于a、b中较大的，同时x又小于a、b中较小的，这样的x是不存在，因此说此不等式组的解集是空集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$