第10章 二元一次方程组 知识拓展与归纳2024-2025学年苏科版 数学七年级下册

苏科版初中数学七年级下册第10章 《二元一次方程组》知识拓展与归纳 01学习二元一次方程组的解时，应注意什么？ 　　一、二元一次方程组的解有以下三种情况： （1）有一个解．例如方程组有一个解这个方程组只有这一个解．初级阶段的教学课只研究方程组有一个解的情况． （2）有无数个解．例如方程组有无数个解，这是因为方程组中的两个方程实际上是同一个方程（请想想为什么），两个方程只能算一个． （3）无解．例如方程组无解，这是因为将第一个方程的任何一个解代入第二个方程，左边应当是22，它不等于20，这两个方程是互相矛盾的． 二、运用代入法、加减法解二元一次方程组要注意的问题： （1）当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，用代入法比较简单； （2）若方程组中一个未知数的系数为1（或－1）时，选择这个方程进行变形，用代入法比较简便； （3）当方程组中的两个方程有某个未知数的系数相同或相反时，进行加减消元比较方便； （4）若两个方程中，同一个未知数的系数成倍数关系，利用等式性质，可以转化成（3）的类型，选择加减消元法比较简便； （5）若两个方程中，同一个未知数的系数的绝对值都不相等，那么，应选出一组系数（选最小公倍数较小的一组系数），求出它们的最小公倍数，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等（都等于原系数的最小公倍数），再加减消元； （6）对于比较复杂的二元一次方程组，应先化简（去分母、去括号、合并同类项等）．通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程的右边的形式，再作加减消元的考虑． 02康熙创造的数学术语 解方程时，大家总会碰到“元”“次”“根（解）”．不过，你知道题目中的数学术语“元”“次”“根（解）”（当然只是指汉语译名）是谁创造的？说来你也许不信，是清朝的康熙皇帝． 康熙皇帝是一个抱负远大、好学上进的君主，他曾拜比利时的南怀仁等传教士为师，学习天文、数学、地理，还学拉丁文．康熙虽然聪颖过人，但是听外籍教师讲课并不轻松，因为南怀仁等人的汉语和满语水平有限，日常会话还能够勉强对付着，而要将严谨而高深的科学知识表达出来就显得力不从心了，而当时课本多是外文，即使中译本也是半通不通的．这样，学习中就必然有许多精力被消耗在语言沟通上，进度不快． 不过，康熙学习很刻苦，也很有耐心，一遍听不懂，就请老师再讲一遍，直至真正弄懂为止．南怀仁在讲方程时句子冗长，吐音又很不清楚，康熙的脑子常常被搞得晕晕乎乎的，怎样才能让老师讲得好懂呢？一阵苦思冥想后，一个妙法突然冒出来．他向南怀仁建议，将未知数翻译为“元”，最高次数翻译为“次”（限整式方程），使方程左右两边相等的未知数的值翻译为“根”或“解”……南怀仁用笔认真地记了下来，随即用这些新创术语换下自己原先使用的烦琐词语：“求二‘元’一‘次’方程的‘根（解）’……”果然扫除了很多障碍，提高教学效率．南怀仁惊疑地盯着康熙，愣怔了一会儿，突然按照西方最亲切的礼节一下子将康熙紧紧抱住：“我读书和教书几十年，无论是老师还是学生，还从来没见过一个像您这样肯动脑筋的人！” 康熙创造的这几个数学术语科学而简洁，十分便于理解和记忆，因此一直沿用到今天． 03谁善饮酒  在法国民间流传着这样一道算题：在一次消夏晚会上有四对夫妇一起饮酒，他们共饮了32瓶啤酒．太太们的记录是：露易丝1瓶，蕾蒂丝2瓶，约瑟芬3瓶，玛丽4瓶．先生们饮的更厉害，马尔勒和自己的妻子饮同样多，让·阿冉饮的是自己妻子的2倍，苏西克斯饮的是妻子的3倍，诺森伯兰饮的是妻子的4倍．猜一猜谁和谁是一家？并排出这四对夫妇饮酒量的名次．  我们用列方程组的方法来解这个问题．  设马尔勒、让·阿冉、苏西克斯和诺森伯兰的妻子各饮酒x，y，z，u瓶，则他们各饮酒x，2y，3z，4u瓶，所以 其中，x、y、z、u分别在1，2，3，4中取值． 由×4－消去u，得： 3x＋2y＋z＝18…… 由于2y、18为偶数，所以x、z或者同为偶数，或者同为奇数． 在中，由于y、z≤4，所以x＝1，2不可能． 若x＝4，则z＝2，代入求出y＝2，这也不合题意． 因此只能x＝3，z＝1，代入求出y＝4，再代入求出u＝2． 这样各家及饮酒情况是：  从上面的分析可以立即看出各对夫妇饮酒量排列次序． 04丰富多彩的消元技巧 解二元一次方程组的关键在于消元，化“二元”为“一元”，将“陌生”的二元一次方程组转化为熟悉的一元一次方程，从而求解．同学们在掌握用代入消元、加减消元法的同时，还要注意观察和分析方程组中各方程的结构特点，开拓新思路，采用一些特殊方法，简捷求解，从而提高和培养自己的创新能力，请看： 一、整体代入法 例1　解方程组 分析：此题常规解法是先化简再加减消元，虽能达到目的，但不是明智之举，观察发现方程（1）与方程（2）中有相同的代数式5x＋7y，所以把方程（2）代入方程（1）中，从而解出x的值进而求出y的值，则快人一步！ 简解：将方程（2）整体代入到方程（1），得2x＋3×2＝4，所以x＝—1，将x＝－1代入（2），得5×（－1）＋7y＝2，得y＝1，所以原方程组的解为 点评：解方程组时，有时可根据题目的特点整体代入，从而达到简化运算的目的，当然不是所有的题目都能像本题一样，直接整体代入，有时须通过仔细观察，抓住方程组的特点，先将它作一些处理，然后再整体代入． 二、整体加减法 例2　解方程组 分析：若先去分母，再化简求解，不胜烦冗，观察发现两个方程中都含有、，分别将其看作一个整体，将方程（1）与方程（2）进行整体加减消元，则简单明快． 简解：（1）＋（2）得：x＋y＝6，（1）－（2）得x－y＝20，原方程组转化为解之得 例3　解方程组 分析：对于这样系数较大的方程组，千万别硬做，烦琐难算且易错！观察发现方程组的左边未知数的系数为轮换对称式，分别将两个方程整体相加、减，可构造一个简单方程组，从而简化计算过程． 简解：（1）＋（2）得x＋y＝3；（1）－（2）得x－y＝－1，原方程组转化为解得所以原方程组的解为 三、消去常数法 例4　解方程 分析：按常规方法是寻找系数x或y的最小公倍数，再消元，运算量大，观察发现两个方程的常数项相同，所以两式相减消去常数项，再代入消元可获巧解． 简解：（1）－（2）得2x＝3y……（3），将（3）代入（1），解得57y＝1，解得y＝，再将y＝代入（3），得x＝． 所以原方程组的解为 四、整体构造法 例5　某人买13个鸡蛋、5个鸭蛋、9个鹅蛋共用12.7元；若买2个鸡蛋、4个鸭蛋、3个鹅蛋共用4.7元，求买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需多少元？ 分析：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格各为x、y、z元，根据题意只能布列2个方程，不能求出x、y、z的值，将x＋y＋z看作一个整体，将每一个方程都构造成含有x＋y＋z的式子，从而可整体求出． 简解：设每个鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋的价格分别为x、y、z元，则有： 将方程组变为 （3）＋（4）×4，即得x＋y＋z＝1.5，故买鸡蛋、鸭蛋、鹅蛋各一个需1.5 元． 五、增设辅元法 例6　解方程组 分析：所谓增设辅元法，就是在解题过程中，把含某个（或某些）字母的式子作为一个整体，用一新的字母表示，从而把一个较为复杂的式子化简，把原题归纳为较简单的基本问题，达到化难为易的目的，当方程组中出现“比”的形式或“连比”的形式，通常采用增设辅元法，以简化运算． 简解：设＝＝＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k，又2x＋y＋z＝22， 4k＋3k＋4k＝22，k＝2，所以原方程组的解为 总之，在解二元一次方程组时，一定要分析题目的特点，灵活运用技巧，才能简化解题过程，化繁为简，提高正确率． 05如何解三元一次方程组 一、什么叫做三元一次方程组 如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一次，并且方程组中一共有三个方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．如就是一个三元一次方程组． 提示：三元一次方程组中的每个方程不一定都含有三个未知数，但方程组中一定要有三个未知数． 二、解三元一次方程组基本思路 解三元一次方程组的基本思路是消元，其方法有代入消元法和加减消元法两种，通过消元将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程． 提示：三元一次方程组求解方法与二元一次方程组的求解方法类似，可通过对比来理解三元一次方程组的解题思想． 三、解三元一次方程组的一般步骤 1．观察方程组中每个方程的特点，确定消去的未知数； 2．利用加减消元法或代入消元法，消去一个未知数，得到二元一次方程组； 3．解二元一次方程组，求得两个未知数的值； 4．将所得的两个未知数的值代入原三元一次方程组中的某个方程，求到第三个未知数的值； 5．写出三元一次方程组的解． 例如：解方程组 分析：观察方程组中每个方程的特征可知，方程③不含有字母z，而①、②中的未知数z的系数成倍数关系，故可用加减消元法消去字母z，然后将所得的方程与③组合成二元一次方程组，求这个方程组的解，即可得到原方程组的解． 解：①×2＋②，得5x＋8y＝7④， 解③，④组成的方程组得 把x＝3，y＝－1代入①，得z＝1，所以原方程组的解为 学科网（北京）股份有限公司 $$