第8章《整式乘法》知识拓展与归纳导学案2024-2025学年苏科版数学七年级下册

苏科版初中数学七年级下册第8章《整式乘法》知识拓展与归纳 01因式分解、公因式、提公因式法、公式法 把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（factorization），也叫做把这个多项式分解因式． 公因式： 一个多项式中的每一项都含有的相同的因式，称之为公因式（common factor）． 提公因式法： 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法，如 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)． 公式法： 将乘法公式反过来应用，就可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法，叫做公式法．   例如1，乘法公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，反过来就是 平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)， 用文字语言来表达就是：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积． 例如2，乘法公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2，反过来就是 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2， 用文字语言来表达就是：两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方． 02关于因式分解的结果，在表述上有什么要求？ 主要是两条： 1．分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止； 2．相同的、不能再分解的多项式因式的积，要写成幂的形式； 3．至于数字系数，不要求进行因数分解．高等代数可以证明，在这样的规定下，在同样的数的范围内，因式分解的结果是唯一的． 03有趣的“自守数” 　 1776年，美国第一任总统华盛顿宣布建立美利坚合众国．1976年，美国举行了建国200周年纪念活动．在某中学的黑板报《一日一题》栏中有一道有趣的题目：1776200的最后两位数字是什么？学生马克看完题不假思索地说：“很简单，是76．” 如果不用计算器，你知道马克是用什么办法很快“算”出来的吗？ 事实上，“76”是一个很特殊的数．任何两个自然数，只要它们的最后两位数是76的话，那么其乘积的最后两位数字也必然是76．例如276×476＝131376；576×676＝389376等等．人们称这样的数为“自守数”．这有什么道理吗？ 设两个数分别为1OOa＋76与100b＋76．这里a、b是任意自然数，则 (100a＋76)(100b＋76)＝10000ab＋7600a＋7600b＋5776＝10000ab＋7600a＋7600b＋5700＋76＝100(100ab＋76a＋76b＋57)＋76． 由于a、b是自然数，显然最后两位数字一定是76． 自然数中这样的自守数还很多，比如5、6、376、625等等． 04关于“因式分解”教学中的几个问题 一、什么叫做因式 　　如果多项式f(x)能够被非零多项式g(x)整除，即可以找出一个多项式q(x)，使得f(x)＝q(x)·g(x)，那么g(x)就叫做f(x)的一个因式．当然，这时q(x)也是f(x)的一个因式，并且q(x)、g(x)的次数都不会大于f(x)的次数． 　　注意：g(x)≠0，但q(x)可以等于0（当f(x)＝0时）． 　　例如，因为(x＋1)(x－1)＝x2－1，把左边、右边交换，得到x2－1＝(x＋1)(x－1)，所以x＋1，x－1都是x2－1的因式． 由于任何一个多项式f(x)都可以写成一个非零数a及多项式f(x)的积，即 f(x)＝a·f(x)，所以任何一个非零数a及多项式f(x)也都可以看成f(x)的因式．我们把这种因式看作平凡因式，并规定在分解因式时都不予考虑． 例如，因为x2－1＝1·(x2－1)＝2(－)＝(2 x2－2)． 可知1，x2－1，2，－，，2x2－2 也都是x2－1 的因式，这种因式都看作平凡因式，在分解因式时不予考虑． 　　如果把x2－1因式分解，就只能得到唯一的结果x2－1＝(x＋1)(x－1)（因为有乘法交换律，所以x2－1＝(x－1)(x＋1)与x2－1＝(x＋1)(x－1)是同样的结果），其中x＋1，x－1都不是平凡因式． 　　在高等代数中可以证明，如果对平凡因式都不予以考虑，那么任何一个一元多项式在每个确定的数的范围内，其分解因式的结果是唯一的． 二、什么叫做多项式中各项的公因式 　　多项式的公因式是指这个多项式中各项都具有的公共因式．它可以是一个单项式，也可以是一个多项式，还可以是一个单项式与一个多项式的积（这里我们为了叙述上的方便，把单项式与多项式区别对待）． 　　如果公因式是单项式，那么公因式可能不止一个．当多项式中各项的系数是正整数时，在有理数范围内谈到它各项的公因式，是指寻找这样的公因式：它的系数必须是这个多项式中各项系数的最大公约数，它所具有的字母必须是这个多项式中各项都具有的公共字母，每个字母的指数必须是这个多项式中各项所含的同一字母的最低次幂的指数．一句话，就是各项系数的最大公约数与各项所含的相同字母的最低次幂的积． 　　如果公因式是多项式，那么这个多项式一定是原多项式中各项的一个公因式．这个多项式的项数、各项所含的字母及其指数、各项的系数等，在原多项式的各项中一定都是相同的，所以能够寻找出来． 　　三、在用提公因式法分解因式时，除了教科书上提到的以外，还要注意什么 当多项式中各项的系数不都是整数时，在有理数范围内提取各项的公因式，其系数也可以不是整数（这时当然不能说取“各项系数的最大公约数”）．例如a3＋2a2b＋2b2＝(a2＋4ab＋4b2)． 　　我们知道，这里把提出来，有一个好处，就是(a2＋4ab＋4b2)＝(a＋2b)2，所以原式＝a(a＋2b)2．如果不提出这个，那么因式a2＋2ab＋2b2在有理数范围内就不能用完全平方公式进行分解，而用十字相乘法将其分解为(a＋b)(a＋2b)却不是那么容易想得到的． 四、在运用乘法公式把多项式分解因式时，要注意些什么 1．必须让学生熟记教科书上给出的公式． 2．从所给多项式的项数入手，分辨运用哪一个乘法公式：如果原多项式是二项式，那么可考虑是否能运用平方差公式来分解；如果原多项式是三项式，那么可考虑是否能运用完全平方公式来分解． 3．学生初学时，在运用公式前，可以让他们先将要分解的多项式去“套”公式的原形．例如要把a2－ab＋b2分解因式，先将其写成：(a)2－2·a·b＋(b)2形式，这样就能比较清晰地看出，应该用完全平方公式把它分解成(a－b)2． 4．运用公式前，还要先将原多项式中各项的公因式提出，使各项不含公因式． 5．运用公式后，应注意将结果化简，并看看能否再分解下去，要一直分解到不能再分解为止．例如多项式(y2－1)2－16(y2－1)＋64用完全平方公式分解为[(y2－1)－8)2]后，必须继续将其分解下去，即原式＝(y2－1－8)2＝(y2－9)2＝(y＋3)2(y－3)2． 6．如果学生学有余力，可以让他们再做一些补充题，学习怎样通过运用公式法进行因式分解，来简化某些计算，从而加深对公式的理解． 　　7．为了解题迅速、正确，应要求学生熟记1～20这20个自然数的平方数，并能立即从这些平方数中说出它们是哪一个数的平方． 五、分组分解法的指导思想是什么 　　当一个多项式的各项没有公因式可提出，并且对它不能直接运用公式时，我们往往想到能否利用分组分解的办法．这里“分组”只是因式分解的一个步骤，它的目的在于分组后，或者在有的组的内部，或者在组与组之间，造成新的情况，例如，可以提公因式，可以运用公式等等，从而使原先不易解决的问题变成了比较容易解决的问题．可以利用分组分解法分解因式的情况大体分为三种：第一种是分组后能直接提公因式；第二种是分组后能直接运用公式．教科书上没有专门对这两种情况做介绍，至于第三种情况，可以叫做“拆项后能够分组分解”，如，要把x2－11x＋24的一次项“－11x”拆成两项“－3x”和“－8x”，再用分组分解法；既要“添项”（这里是添“0”），又要“拆项”（即把“0”拆成两个系数互为相反数的二次项，目标是分组后运用公式），然后再用分组分解法． 　　正如我们在运用“拆项”“添项”方法的题目中所指出的，“拆项”具有“一分为二”的思想，它正好与“合并同类项”相反，显示出“有分必有合，有合必有分”的互逆过程．至于“添项”，则具有“添加辅助元素”的思想，与学生学习几何时在图形上“添加辅助线”一样，都是架设一座桥，从而实现未知到已知的“化归”．“拆项”“添项”的方法，在代数中经常用到，要尽可能让学有余力的学生了解一些基本的应用． 05因式分解中的数学思想 一、整体思想　 所谓用整体思想来分解因式，就是将要分解的多项式中的某些项看成一个整体而加以分解． 例1　把多项式（x2－1）2＋6（1－x2）＋9分解因式． 分析：把（x2－1）看成一个整体利用完全平方公式进行分解，最后再利用平方差公式达到分解彻底的目的． 解：（x2－1）2＋6（1－x2）＋9 ＝（x2－1）2－6（x2－1）＋9 ＝[（x2－1）－3]2 ＝（x2－4）2 ＝[（x＋2）（x－2）]2 ＝（x＋2）2（x－2）2． 例2　把多项式（a＋b）2－4（a＋b－1）分解因式． 分析　原式两项既无公因式可提，又无公式可套用，但由此结构特点可采取视a＋b为一个整体，局部展开后或许能运用完全平方公式． 解：（a＋b）2－4（a＋b－1）＝（a＋b）2－4（a＋b）＋4＝（a＋b－2）2． 二、类比思想 类比思想在因式分解中的运用很广泛，具体地表现在：一是因式分解与整式乘法的对比；二是因式分解与乘法的分配律的对比；三是因式分解与乘法公式的对比． 例3　把多项式6x3y 2＋12x2y3－6x2y2分解因式． 分析：对比整式的乘法和乘法的分配律可知，6、12、6的最大公约数是6，字母x、y的最低指数均为2，所以多项式6x3y2＋12x2y3－6x2y2的公因式是6x2y2． 解　6x3y2＋12x2y3－6x2y2＝6x2y2（x＋y－1）． 例4　分解因式：（1）x3y－xy3；（2）abx2－2abxy＋aby 2． 分析：（1）对比平方差公式可先提取xy．（2）对比完全平方公式可先提取ab． 解：（1）x 3y－xy3＝xy（x 2－y 2）＝x y（x＋y）（x－y）； （2）abx 2－2abxy＋aby2＝ab（x2－2xy＋y2）＝ab（x－y）2． 三、转化思想 转化思想就是对于某些多项式从表面是无法利用因式分解的一般步骤进行的，必须通过适当的转化，如经过添项、拆项等变形，才能利用因式分解的有关方法进行． 例5　把多项式6x（x－y）2＋3（y－x）3分解因式． 分析　考虑到（y－x）3＝－（x－y）3，则多项式转化为6x（x－y）2－3（x－y）3，因此公因式是3（x－y）2． 解：6x（x－y）2＋3（y－x）3 ＝6 x（x－y）2－3（x－y）3 　　　＝3（x－y）2[2 x－（x－y）] ＝3（x－y）2（x＋y）． 例6　把多项式x4＋x2y2＋y4分解因式． 分析：从表面上看此题不能直接分解因式，但仔细观察发现若x2y2转化成2x2y2，即可先运用完全平方公式，再利用平方差公式． 解：x4＋x2y2＋y4 ＝x4＋2x2y2＋y4－x2y2 ＝（x2＋y2）2－x2y2 ＝（x2＋y2＋xy）（ x2＋y2－xy） ＝（x2＋xy＋y2）（ x2－xy＋y2）． 四、换元思想 所谓的换元就是将多项式的某些项用另一个新的字母去代换，通过换元可以将复杂的多项式转变成简单的，将陌生的转换成熟悉的，使之得以顺利地分解因式． 例7　把多项式（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1）分解因式． 分析：这个多项式形式上比较复杂，但考虑x＋y与xy重复出现，利用这一特点，可以将这两个因式通过换元后再分解因式． 解：设x＋y＝a，xy＝b，则（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）（xy－1） ＝a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1） ＝（a2＋2ab＋b2）－1 ＝（a＋b）2－1 ＝（a＋b＋1）（a＋b－1） ＝（x＋y＋xy＋1）（x＋y＋xy－1） ＝（x＋1）（ y＋1）（x＋y＋xy－1）． 06关于(a＋b)2的推广 　　对于公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，可以从两方面推广：一是从指数推广；一是从项数推广． 　　我们知道， 　　(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2． ① 　　由多项式的乘法，可以得到 　　(a＋b)3＝(a＋b)2(a＋b) 　　　　　 ＝(a2＋2ab＋b2)(a＋b) 　　　　　 ＝a3＋2a2b＋ab2＋a2b＋2ab2＋b3 　　　　　 ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3． ② 　　从展开式①，②中，可以看出如下规律： 　　项数与次数： 　　项数比次数多1； 　　展开式中的字母a按降幂排列，第一项的字母a的指数就是二项式的次数；而字母b则按升幂排列，末项b的指数也是二项式的次数； 　　各项中a、b指数的和都等于二项式的次数． 　　系数： 　　首末两项的系数都是1； 　　②式中第二项的系数是①式中第一、二项系数的和； 　　②式中第三项的系数是①式中第二、三项系数的和． 上述规律，从下面的表中可以很清楚地展示出来． ( 1 ( a ＋ b ) 1 1 　 　 a ＋ b ( a ＋ b ) 2 1 2 1 a 2 ＋ 2 ab ＋ b 2 ( a ＋ b ) 3 1 3 3 1 a 3 ＋ 3 a 2 b ＋ 3 ab 2 ＋ b 3 ) 　　按上述规律， (a＋b)4展开式各项的系数为1、4、6、4、1． 　　再结合项数与次数的规律，可得 　　(a＋b4)＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4． ③ 　　由多项式的乘法验证，③的结果是对的． 　　事实上，由③可以推出(a＋b)5展开式各项的系数，等等．当二项式的次数不大时，我们利用项数与次数以及系数的规律可以将展开式写出来．例如 　　(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5． 　　如果你有兴趣，不妨按照上述规律写出(a＋b)6的展开式． 　　上述二项式展开式的系数表在我国宋朝数学家杨辉著《详解九章算法》（1261年）一书时用过．杨辉在注释中提到，贾宪也用过上述办法．因此，我们称上述系数表为杨辉三角或贾宪三角． 　　下面看一看(a＋b)2项数推广的情形． 我们用语言表述公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 ①为： 两数和的平方，等于这两个数的平方和，加上这两个数积的2倍． 　　我们曾用多项式的乘法计算，得 　　(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac． ② 　　上式同样可用语言表述为：三数和的平方，等于这三个数的平方和，加上这三个数中每两个数的积的2倍．下面，我们用多项式的乘法计算4个数和的平方． 　　 (a＋b＋c＋d)2＝[(a＋b)＋(c＋d)]2 　　＝(a＋b)2＋2(a＋b)(c＋d)＋(c＋d)2 　　＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋c2＋2cd＋d2 　　＝a2＋b2＋c2＋d2＋2ab＋2ac＋2ad＋2bc＋2bd＋2cd． ③ 　　同样，上式用语言表述为：4个数和的平方，等于这4个数的平方和，加上这4个数中每两个数的积的2倍． 　　同学们如有兴趣，可利用公式②、③计算下列各题： 　　1．(a＋2b－c)2； 　　2．(2x－y＋3z)2； 　　3．(a＋b－c－d)2； 4．(x－2y－z＋2w)2． 学科网（北京）股份有限公司 $$