精品解析：福建省宁德市博雅培文学校2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题卷

宁德市博雅培文学校2024-2025学年第二学期高一数学试题卷 考试范围：第五章 三角函数5.4—5.6；考试时间：120分钟；命题人：高一数学组 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 在中，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 4. 函数大致图象为　　 A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 6. ，则（ ） A. B. C. D. 7. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 8. 已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. 3 B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每一题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中，值为是（ ） A. B. C. D. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴是直线 C. 图象的一个对称中心是点 D. 函数是偶函数 11. 已知函数满足：，都有成立，则下列结论正确是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数是周期函数 D. ，若，则 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的周期为___________. 13. 已知函数图象关于直线对称，则的值为______． 14. 已知函数，则______；若在上恒成立，则整数的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求证： 16. 已知 （1）说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到. （2）填写下表并用五点法画出在上简图； 17. 在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求； （2）求的值. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 19. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”. （1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”； （2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论； （3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁德市博雅培文学校2024-2025学年第二学期高一数学试题卷 考试范围：第五章 三角函数5.4—5.6；考试时间：120分钟；命题人：高一数学组 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据各个函数的奇偶性逐个判断即可. 【详解】均是奇函数，是偶函数． 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】时，成立，是充分的，但时，，不满足，必要性不满足，因此是充分不必要条件． 故选：A． 3. 在中，，则为（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式以及诱导公式可得出，结合角的取值范围可得出结论. 【详解】因为，则， 所以，，因为，故为钝角， 故为钝角三角形. 故选：C. 4. 函数的大致图象为　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性和图象的对称性，利用特殊值进行排除即可． 【详解】函数， 则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D， ，排除B， 故选A． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系以及特殊值，结合排除法是解决本题的关键． 5. 已知函数的定义域为，且，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到的周期为1，从而，代入求解即可. 【详解】因为，所以，函数的周期为1， 所以． 故选：B． 6. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性可得的大小，根据对数的性质可得的大小. 【详解】因，且在区间上为增函数， 所以，即； 又，故． 故选：C. 7. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2sin 18°，若m2＋n＝4，则＝（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式可求n＝4cos218°，利用降幂公式，诱导公式和二倍角的正弦函数公式化简求解即可． 【详解】因为m＝2sin 18°，m2＋n＝4，所以n＝4－m2＝4－4sin218°＝4cos218°. 所以 故选：C. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式应用问题，是基础题． 8. 已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段写出函数的解析式，并确定其单调减区间，再结合集合的包含关系求解作答即可. 【详解】由题意知， 函数的单调递减区间为， 则或， 由，解得， 而，故需满足，即，此时不存在； 由，解得， 则需满足，即，即， 故，即， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解的含义，结合其解析式，求出函数的单调区间，进而转化为集合间的包含关系，列不等式求解即可. 二、多选题（本题共3小题，每一题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列选项中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断. 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项C符合题意. 故选：BCD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 图象的一条对称轴是直线 C. 图象的一个对称中心是点 D. 函数是偶函数 【答案】BD 【解析】 【分析】根据周期可得根据最低点可求解，即可判断A，代入即可求解BC，化简，即可求解D. 【详解】由函数的部分图象知，，即，解得 过点，解得， ，选项A错误； 当时，的一条对称轴是直线，选项B正确； 令，解得的对称中心是，选项C错误； ，是定义域上的偶函数，选项D正确. 故选:BD. 11. 已知函数满足：，都有成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 函数是偶函数 C. 函数是周期函数 D. ，若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法及函数奇偶性、周期性定义、单调性一一判断选项即可． 【详解】令，则，所以，故A正确； 令，则， 所以，故是奇函数，故B错误； 令，则， 所以， 由B知是奇函数，所以， 所以是周期函数，故C正确； 当时，得， 则， 所以， 即，即，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数的周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由公式直接计算即可. 【详解】函数周期为. 故答案为： 13. 已知函数图象关于直线对称，则的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据函数图象对称得，代入解析式得，即可计算的值. 【详解】∵函数的图象关于直线对称， ∴对任意的，有，则，即， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：0． 14. 已知函数，则______；若在上恒成立，则整数的最小值为______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用分段函数性质计算即可得空一；由题意画出函数图象，并可得函数满足，可得当时，有或，使得，即可得时，恒成立，从而可得空二. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 图象如图： 则， 当时，； 当时，或， 当时，， 所以时，恒成立，整数的最小值为． 故答案为：；. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知函数． （1）求的定义域； （2）求证： 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接根据正切函数的性质求定义域； （2）利用三角函数公式变形证明即可. 【小问1详解】 令，得， 即的定义域为； 【小问2详解】 因为左边， 且， ，且， 所以. 16. 已知 （1）说明该函数图象可由的图象经过怎样平移和伸缩变换得到. （2）填写下表并用五点法画出在上简图； 【答案】（1）答案见解析； （2）作图见解析. 【解析】 【分析】（1）方法一：直接利用函数图象变换：先平移变换，后伸缩变换即可；方法二：根据函数图象变换先伸缩变换，后平移变换即可； （2）令，利用的五点法即可求出，即可完成表，在直角坐标系中画图即可. 【小问1详解】 法一：①向右平移个单位，②所得各点的横坐标缩短到原来的，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍； 法二：①各点的横坐标缩短到原来的，②向右平移个单位，③所得各点的纵坐标伸长为原来的2倍. 【小问2详解】 令，利用的图象取点法画图； 列表如下    作在上的图如下： 17. 在平面直角坐标系中，以轴为始边的锐角和钝角的终边分别交单位圆于，两点.已知点的横坐标为，点的纵坐标为. （1）求； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求得，，再根据同角三角函数基本关系式，以及两角和的正弦公式，即可求解； （2）首先利用角的变换求，即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， 所以，， ； 【小问2详解】 ， ， ， 由，得，，则， 所以. 18. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，求函数的值域； （3）若方程在上有两个不相等的实数根，，求的值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期，利用正弦函数的单调区间，求出函数的单调增区间； （2）根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； （3）根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，借助正弦函数的对称性，求得，的关系，代入求解. 【小问1详解】 ， 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，得，则， 所以在区间上的值域为. 【小问3详解】 由，得， 又， 即的两个解为，且， 则，即，即， 则， 所以 19. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零和函数”. （1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”； （2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论； （3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，. 【答案】（1）不是，是； （2）充分不必要条件，证明见解析； （3）是，不是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用恒等式判断，取计算，结合定义判断. （2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得. （3）取计算，结合定义判断；利用反证法推理导出矛盾判断. 【小问1详解】 函数，不满足对一切实数成立， 所以函数不是“2阶零和函数”； 取，，， 所以是“2阶零和函数”. 【小问2详解】 “为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件.证明如下： 若为2阶零和函数，则存在常数，使得，， 即，因此，即函数为周期函数； 反之函数为周期函数， 如，对，，为周期函数， 对任意正常数，， 因此函数不是2阶零和函数， 所以“为2阶零和函数”是“为周期函数”的充分不必要条件. 【小问3详解】 函数是“3阶零和函数”，取，， ， 所以函数是“3阶零和函数”； 函数不是“3阶零和函数”， 假定函数是“3阶零和函数”， 则存在常数，，， 即 对成立， 则恒成立， 由，得， 因此，平方相加整理得， 则或， 由，同理得， 于是或， 则，或或或， 即，或或或，显然不成立， 因此不存在常数，使得，， 所以函数不是“3阶零和函数”. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $