10.1.4 概率的基本性质课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1.4 概率的基本性质 邯郸市荀子中学 郭素霞 必修二 第十章 概 率 学习目标 1. 理解互斥事件、对立事件的含义． 2. 理解概率的6条基本性质，重点掌握性质． 3. 掌握性质4、性质6及公式的应用条件． 4. 能灵活运用这几条重要性质解决相关的实际问题，培养数学建模和数学化 归能力． 新知引入 思考 我们在研究函数的时候，是沿着怎样的路径来研究的？类比函数的研究路径，想一想，可以从哪些角度研究概率的性质？ 函数 定义域 值域 单调性 特殊点的函数值 定义 对称性 周期性 概率 类 比 定义 概率的取值范围 特殊事件的概率 事件有某些特殊关系时，它们的概率之间的关系 …… 新知学习 探究 通过对概率的认识，你认为任意事件A的概率的取值范围是怎样的？必然事件和不可能事件的概率是多少？ 性质(1)(2) 一般地，概率有如下性质： 性质1 对任意的事件A，都有P(A)≥0 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0， 即P(Ω)=1，P(∅)=0 概率是[0,1]之间的一个常数，不随事件结果的改变而改变，它是频率的科学抽象. . 新知学习 探究 设事件A与事件B互斥，和事件A∪B的概率与事件A，B的概率之间具有怎样的关系？ 性质(3) 如果事件A与事件B互斥， 那么P(A∪B)=P(A)+P(B)(或P(A+B)=P(A)+P(B)) 推论： 如果事件A1, A2, …, Am两两互斥， 那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和， 即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am). 10.1.2节例6 性质3 新知学习 探究 设事件A和事件B互为对立事件，它们的概率有什么关系？ 性质(4) 事件A和事件B互为对立事件 1=P(A∪B)=P(A)+P(B) 性质3 如果事件A和事件B互为对立事件，那么 P(B)=1-P(A),P(A)=1- P(B). 性质4 性质4适用于一个事件的概率不容易求出，但其对立事件的概率易于求出的情况. 性质4的前提是“事件A和事件B为对立事件” A Ω 新知学习 练一练 1.一名射击运动员在一次射击中射中10环，9环，8环，7环，7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； （3）小于8环的概率 ． (3)事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件， 则P (D∪E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29. 解：设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E， 可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13. (1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52.所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则概率为1－P(E)＝1－0.13＝0.87. 所以至少 射中7环的概率为0.87. 新知学习 总结归纳 (1)运用互斥事件概率的加法公式解题的步骤： ①确定各事件彼此互斥； ②求各事件的概率并运用加法公式． (2)对于一个较复杂的事件，一般将其分解成几个简单的事件，当这些事件彼此互斥时，原事件的概率就是这些简单事件的概率的和． (3)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，借助对立事件求解． 互斥事件、对立事件概率的求解方法 新知学习 探究 若事件A与事件B有包含关系，那么这两个事件的概率有什么关系吗？ 性质(5) 性质5 如果AB， 那么P(A)≤P(B) 在古典概型中，对于事件A与事件B，如果A⊆B，那么n(A)≤n(B)，于是 一般地，对于事件A与事件B，如果A⊆B，即事件A 发生，则事件B一定发生， 那么事件A的概率不超过事件B的概率． (概率的单调性) 新知学习 探究 P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2). 性质(6) 事件A，B互斥 P(A∪B)=P(A)+P(B) 事件A，B不互斥 新知学习 探究 P(R1∪R2)=P(R1)+P(R2)相等吗？如果不相等，请你说明原因，并思考如何计算P(R1∪R2). 性质(6) 10.1.2节例6 因为n(Ω)=12，n(R1)= n(R2)=6，n(R1∪R2)=10， 因此，P(R1∪R2)≠P(R1)+ P(R2) 事件A，B不互斥 所以， 又因为， 所以， 包含两个 事件A，B不互斥 新知学习 探究 对于任意的事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立吗？ 性质(6) 事件A，B互斥 P(A∪B)=P(A)+P(B) 事件A，B不互斥 事件A，B 性质6 新知学习 练一练 1.一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为__________． 0.96 解:设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B． P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96． 2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是(　　　) A. B. C. D. 1 3.抛掷一枚骰子,记事件A=“出现的点数大于4”,事件B=“出现的点数为5”,则P(A)与P(B)的大小关系是　　　　　　.(用≥或≤填空)  P(A)≥P(B) C 新知学习 总结归纳 (1)交、并事件也是随机事件，利用交事件、并事件的含义列举对应的样本点，根据随机事件的概率公式计算; (2)并事件的概率可以根据概率的性质:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)计算，特别地，若事件A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B). 求交、并事件的概率的一般方法 新知学习 解：(1)因为C＝A∪B，且A与B不会同时发生，所以A与B是互斥事件． 根据互斥事件的概率加法公式，得 例1 典例解析 从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A＝“抽到红心”，事件B＝“抽到方片”，P（A）＝P（B）＝．那么 （1）C＝“抽到红花色”，求P（C）； （2）D＝“抽到黑花色”，求 P（D）． (2) 因为C与D互斥，又因为C∪D是必然事件，所以C与D互为对立事件． 因此. 新知学习 典例解析 练习1 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%， 则甲、乙两人下成和棋的概率是(　　) A.60% B.30% C.10% D.50% 解:“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件. “甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”, 故P(甲不输)=P(甲胜)+P(甲、乙和棋), 所以P(甲、乙和棋)=P(甲不输)-P(甲胜)=90%-40%=50%.故选D. D 新知学习 例2 典例解析 为了推广一种新饮料，某饮料生产企业开展了有奖促销活动：将6罐这种饮料装一箱，每箱中都放置2罐能够中奖的饮料．若从一箱中随机抽出2罐，能中奖的概率为多少？ 思路点拨 “中奖”包括第一罐中奖但第二罐不中奖、第一罐不中奖但第二罐中奖、两罐都中奖三种情况．如果设A＝“中奖”，A1＝“第一罐中奖”，A2＝“第二罐中奖”，那么就可以通过事件的运算构建相应事件，并利用概率的性质解决问题． 新知学习 解：设事件A＝“中奖”，事件A1＝“第一罐中奖”，事件A2＝“第二罐中奖”， 我们借助树状图来求相应事件的样本点数． 那么事件A1A2＝“两罐都中奖”，=“第一罐中奖，第二罐不中奖”， “第一罐不中奖，第二罐中奖”，且 因为A1A2，，两两互斥，所以根据互斥事件的概率加法公式，可得， ) 不中奖 中奖 中奖 不中奖 中奖 不中奖 可能结果数 第二罐 第一罐 法1 可以得到，样本空间包含的样本点个数为 n（Ω）＝6×5＝30，且每个样本点都是等可能的． 所以= 新知学习 因此)=, 解：事件的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”， 由于=“两罐都不中奖”，而)=12, 所以)=, 法2 新知学习 典例解析 练习1 某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、6环及以下的概率分别是0.24，0.28，0.19，0.16，0.13. 计算这个射手在一次射击中: (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率; (3)射中环数小于8环的概率. 新知学习 (1)P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.24+0.28=0.52. 所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)“至少射中7环”与“射中6环及以下”互为对立事件,而“射中6环及以下”的概率为P(E)=0.13, 所以至少射中7环的概率为1-P(E)=0.87. (3)P(D∪E)=P(D)+P(E)=0.16+0.13=0.29. 所以射中环数小于8环的概率为0.29. 解:设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中 7环”“射中6环及以下”分别为事件A,B,C,D,E, 则 新知学习 典例解析 练习2 假如某人有5把钥匙，但忘了开门的是哪一把，只好逐把试开，现在我们来研究一下: (1)此人恰好在第三次打开房门的概率有多大? (2)此人三次内打开房门的概率是多少? 解:设事件A=“第三次打开房门”，事件Ai=“第i次打开房门”, i=1,2,3,4,5. (1).，我们借助树状图来求相应事件的样本点数. 可以得到，样本空间包含的样本点个数n(Ω)=5×4×3=60, 且每个样本点都是等可能的. 所以 新知学习 (2)设事件B=“此人三次内打开房门”，则事件B包括三种情况: 第一次打开房门，第二次打开房门，第三次打开房门， 即，且这三个事件彼此互斥， 又因为， 所以， 新知学习 例3 典例解析 (多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见右表：已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血.下列结论正确的是 A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64 B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29 C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1 D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1 AD 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 新知学习 由任何人的血都可以输给AB型血的人，知D正确.故选A，D. 解：任找一个人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥. 由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35. 因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A正确； B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误； 由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误； 新知学习 练习1 典例解析 有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上，现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座时， (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率． 思路点拨 新知学习 解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用下面图形表示出来： (1)设事件A为“这四人恰好都坐在自己的席位上”， 则事件A只包含1个样本点，所以P(A)＝ (2)设事件B为“这四个人恰好都没有坐在自己席位上”， 则事件B包含9个样本点，所以P(B)＝ 如图所示，本题中的样本点的总数为24. 新知学习 典例解析 例4 从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160)，第二组[160,165),…，第八组[190,195]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同. (1)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图. (2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名,记他们的身高分别为x,y,求|x-y|≤5的概率. 新知学习 解：(1)由频率分布直方图知，前五组的频率为(0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)×5=0.82， 所以后三组的频率为1-0.82=0.18，人数为0.18×50=9, 由频率分布直方图得第八组的频率为0.008×5=0.04，人数为0.04×50=2,设第六组人数为m,则第七组人数为m-1，又m+m-1+2=9，所以m=4，即第六组人数为4，第七组人数为3,频率分别为0.08,0.06,频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示: (2)由(1)知身高在[180,185)内的男生有四名，设为a,b,c,d,身高在[190,195]内的男生有两名，设为A,B.若x,y∈[180,185),有ab,ac,ad,bc,bd,cd共6种情况; 若x,y∈[190,195],只有AB这1种情况; 若x,y分别在[180,185),[190,195]内,有aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB共8种情况, 所以基本事件的总数为6+8+1=15, 事件|x-y|≤5包含的基本事件的个数为6+1=7, 故所求概率为 . 新知学习 练习1 典例解析 在数学考试中,小明的成绩(取整数)不低于90分的概率是0.18,在80～89分(包括89分)的概率是0.51,在70～79分(包括79分)的概率是0.15,在60～69分(包括69分)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算: (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率. (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率. 新知学习 解：小明的成绩不低于70分可以看作互斥事件“70～79分”“80～89分”“不低于90分”的并事件,小明数学考试及格可以看作互斥事件“60～69分”“70～79分”“80～89分”“不低于90分”的并事件,又可以看作“不及格(在60分以下)”这一事件的对立事件. 于是分别记小明的成绩“不低于90分”“80～89分”“70～79分”“60～69分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥. (2)方法一:小明数学考试及格的概率是 P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93. (1)小明的成绩不低于70分的概率是P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.18+0.51+0.15=0.84. 方法二:小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是 1-0.07=0.93. 随堂练习 1.判断正误 (1)任一事件的概率总在(0，1)内．(　　) (2)不可能事件的概率不一定为0 .(　　) (3)某地区明天下雨的概率为0.4，明天不下雨的概率为0.5 .(　　) (4)如果事件A与事件B互斥，那么P(A)＋P(B)≤1.(　　) × × × √ 2.已知P(A)=0.5，P(B)=0.3. (1) 如果B⊆A，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=______ ; (2) 如果A, B互斥，那么P(A∪B)=_____ ，P(AB)=_____. 0.5 0.3 0.8 0 3.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.52,摸出白球 的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是(　　) A.0.2 B.0.28 C.0.52 D.0.8 解:设事件M=“摸出红球”,事件N=“摸出白球”,事件E=“摸出黑球”,则P(M)+P(N)+P(E)=1, 所以P(E)=1-P(M)-P(N)=1-0.52-0.28=0.2,故选A. A 随堂练习 4．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会女子乒乓球单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得乒乓球女子单打冠军的概率为________． 解：由于事件“中国队夺得单打冠军”包括事件“只有甲夺得冠军”、“只有乙夺得冠军”和“甲乙均夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为+ = . 5．在数学考试中，小王的成绩在90分以上(含90分)的概率是0.18，在80～89分的概率是0.51，在70～79分的概率是0.15，在60～69分的概率是0.09，在60分以下(不含60分)的概率是0.07.求： (1)小王在数学考试中取得80分以上(含80分)成绩的概率； (2)小王数学考试及格的概率．(60分以上为合格，包含60分)． 总结归纳 知识梳理 性质1　对任意的事件A，都有P(A) 0. 性质2　必然事件的概率为 ，不可能事件的概率为 ， 即P(Ω)＝ ，P(∅)＝ . 性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝ . 性质4　如果事件A与事件B互为对立事件， 那么P(B)＝ ，P(A)＝ . 性质5　如果A⊆B，那么 . 性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝ _________________________. ≥ 1 0 1 0 P(A)＋P(B) 1－P(A) 1－P(B) P(A)≤P(B) P(A)＋P(B)－P(A∩B) 随堂练习 随堂练习 总结归纳 求较复杂事件的概率： （1）将所求事件转化为彼此互斥事件的并事件； （2）先求对立事件的概率，再求符合条件的事件的概率. 利用加法公式求事件的概率时，首先要判断是否为互斥事件. 方法总结 易错提醒 课时作业 作业 1.《选择性必修第三册》P245“练习” 3； 2.《选择性必修第三册》P246“复习巩固” 6，7； *3.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率. (2)该队员最多属于两支球队的概率. 随堂练习 *3.某学校的篮球队、羽毛球队、乒乓球队各有10名队员,某些队员不止参加了一支球队,具体情况如图所示,现从中随机抽取一名队员,求: (1)该队员只属于一支球队的概率. (2)该队员最多属于两支球队的概率. 【解析】分别令“抽取一名队员只属于篮球队、羽毛球队、乒乓球队”为事件A,B,C.由图知3支球队共有球员20名. 则P(A)= ,P(B)= ,P(C)= . (1)令“抽取一名队员,该队员只属于一支球队”为事件D. 则D=A+B+C,因为事件A,B,C两两互斥, 所以P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = . (2)令“抽取一名队员,该队员最多属于两支球队”为事件E,则 为“抽取一名队员,该队员属于3支球队”,所以P(E)=1-P()=1= . ，即 . 　eq \x(利用树状图法列举事件)→ eq \x(计算样本点个数)→eq \x(利用古典概型概率公式计算概率) 解：设小王的成绩在90分以上(含90分)、在80～89分、在60分以下(不含60分)分别为事件A，B，C，且A，B，C两两互斥． (1)设小王的成绩在80分以上(含80分)为事件D，则D＝A＋B，所以P(D)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋0.51＝0.69. (2)设小王数学考试及格为事件E，由于事件E与事件C为对立事件，所以P(E)＝1－P(C)＝1－0.07＝0.93. $$