江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025学年高三下学期数学周练5

江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学周练5 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则的子集的个数为 （ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有 （ ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 3．已知向量，且，则的面积为 （ ） A. B. C. D. 4．若，则 （ ） A. B. C. D. 5．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同两点，，，，．若，则过四点的球的表面积为 （ ） A. B. C. D. 6．已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，（且）.若，则 （ ） A. B. C. D. 7．已知 是项数为 的等差数列，其中 若 则k的最大值是 （ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 8．已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为 （ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．下列结论正确的是 （ ） A. 若随机变量，则 B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 10．已知函数，，则下列结论正确的是 （   ） A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，， D．若，，则 11．在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ） A. 平面平面 B. 对于任意， 三棱锥的体积为定值 C. 周长的最小值为 D. 当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 13．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_____ __． 14．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有人玩游戏.若3人玩一轮游戏，平局的概率= ；若求人玩一轮游戏，平局的概率= ．（结果用n表示） 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 16．在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17．如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 18．已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 19．已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省镇江市扬中市第二高级中学2024-2025第二学期高三数学周练5 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则的子集的个数为 （ D ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 16 2．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有 （ C ） A. 30种 B. 60种 C. 120种 D. 240种 【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成： 第一步，先从五人中任选三人，有种方法；第二步再选这三人所在的区域，有种方法； 第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法. 由分步乘法计数原理，共有种方法.故选:C. 3．已知向量，且，则的面积为 （ A ） A. B. C. D. 4．若，则 （ C ） A. B. C. D. 【详解】根据题意， ， .故选：C. 5．如图，已知二面角的平面角为，棱上有不同两点，，，，．若，则过四点的球的表面积为 （ B ） A. B. C. D. 【详解】因为二面角的大小为， 如图，所以平面与平面所成角的大小为， 取的中点，的中点，，为，的外心， 取的中点，连接，，则，， 所以是二面角的一个平面角，则， 过作平面的垂线和过作平面的垂线，交于点，即为外接球球心， 所以平面，平面，连接，， 所以易证得：△与△全等，所以， 所以在直角三角形， ， 则过、、、四点的球的表面积为，故B正确． 故选：B． 6．已知是定义在上的奇函数且满足为偶函数，当时，（且）.若，则 （ B ） A. B. C. D. 【详解】因为为奇函数，所以的图象关于点中心对称，因为为偶函数，所以的图象关于直线对称.根据条件可知，则， 即为的一个周期，则，又因为，，所以，解得或 （舍）， 所以当时，，所以，故选：B. 7．已知 是项数为 的等差数列，其中 若 则k的最大值是 （ C ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【详解】设的公差为，由 ，得 ， 得，当时，恒有，得， 所以，由得，所以， 因为，整理得，可得， 解得.则k最大值是17.故选：C. 8．已知点，是椭圆Ω的两个焦点，P是椭圆Ω上一点，的内切圆的圆心为Q．若，则椭圆Ω的离心率为 （ D ） A. B. C. D. 【详解】不妨设椭圆的方程为：，， 则有，， 所以，所以，所以的内切圆的半径为，由椭圆定义可得， 所以 .故选：D 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全 9．下列结论正确的是 （ AD ） A. 若随机变量，则 B. 将总体划分为2层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，若，则总体方差 C. 某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D. 已知某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为 【详解】解：对于A，由，得，则，故A正确;对于B，由题意，总体均值为，若两层样本容量依次为m，n， 则， 当且仅当时，故B错误; 对于C，越大，该物理量在一次测量中在的概率越小，故C错误； 对于D，加入数据5后，平均数为，则这5个数据的方差为，故D正确.故选：AD． 10．已知函数，，则下列结论正确的是 （ ABD ） A．当时，为奇函数 B．的图象关于直线对称 C．当时，， D．若，，则 【详解】对于A，当时，， ，函数是奇函数，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，，C正确； 对于D，由，得，令，， 而，，且均在时取等号，则，， 因此，D正确.故选：ACD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 11．在棱长为3的正方体中，点M是线段的中点，点F满足 ，其中，则 （ ACD ） A. 平面平面 B. 对于任意， 三棱锥的体积为定值 C. 周长的最小值为 D. 当时，平面BDF截该正方体的外接球所得截面的面积为 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 对于选项A：因为，，， 设平面法向量，则， 令，则，可得， 设平面法向量，则， 令，则，可得，因为，则， 所以平面平面，故A正确；对于选项B：因为，则， 可知与不垂直，则与平面不平行， 所以当在运动时，到平面的距离不是定值， 且底面的面积为定值，则三棱锥的体积不是定值，故B错误； 对于选项C：因为，将平面沿旋转至与平面共面， 则，可得， 所以周长的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为正方体的球心，球的半径， 当时，则，可得， ， 设平面法向量为，则， 令，则，可得， 则球心到平面的距离， 设平面截该正方体的外接球所得截面圆的半径为， 则， 所以平面截该正方体的外接球所得截面的面积为，故D正确.故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：判断D选项的关键是利用向量法求出球心到截面BDF的距离，由此即可顺利得解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．若为一组从小到大排列的数，1，3，5，7，9，11，13的第六十百分位数，则的展开式中的系数为__________. 【详解】由，得，于是展开式中含的项为，所以的展开式中的系数为.故答案为： 13．在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_____17．__． 【详解】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以.故答案为： 14．“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下： ①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头； ②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.现有人玩游戏.若3人玩一轮游戏，平局的概率= ；若求人玩一轮游戏，平局的概率= ．（结果用n表示） 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，. （1）求的外接圆半径； （2）若为锐角三角形，求周长的取值范围. 15．解：（1）由可得， 故，由于，故 由余弦定理得 由于，所以， ，根据解得， 所以的外接圆半径为. （2）由（1）知，，，， 由正弦定理有， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得 ， 所以，则， 所以，则. 所以周长的取值范围为. 16．在2024年“五四青年节”，某校举办了有关五四运动的知识竞赛活动，为了调查学生对本次活动的满意度，从该校学生中随机抽取一个容量为（）的样本进行调查，调查结果如下表： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 (1)完成上面的列联表，若有不少于的把握认为“性别与满意度有关系”，求样本容量的最小值； (2)本次知识竞赛的晋级环节设置3道必答题目，至少答对2道题目则晋级，否则被淘汰．某年级有20名同学进入晋级环节，根据统计，每人对这3道题目答对的概率分别为，且3道题目答对与否互不影响． ①设表示这20人中晋级的人数，求； ②记这20人中（）人晋级的概率为，求取得最大值时的取值． 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 16．解：（1）列联表如下： 满意 不满意 合计 男生 女生 合计 先提出统计假设为：性别与满意度没有关系， 根据上表可知，， 因为性别与满意度有关系，所以，解得， 由题意可知，为30的整数倍，故的最小值为90； （2）①设（，，）分别表示3道题目答对事件， 令该年级的20名同学中1人晋级的事件为， 则 ， 由题意可知，，则； ②，，，，，，， 最大，则 解得，， 所以， 即取最大值时的取值为12． 17．如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 17．解：（1）因为，为的中点， 所以，且． 连结．因为，所以为等腰直角三角形， 且 ，由知． 由知，平面． （2）［方法一］：【通性通法】向量法 如图，以为坐标原点，方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 由已知得 取平面的法向量． 设，则． 设平面的法向量为． 由得 ， 可取 所以 ．由已知得 ． 所以 ．解得(舍去)， ． 所以 ． 又 ，所以 ． 所以与平面所成角的正弦值为． ［方法二］：三垂线＋等积法 由（1）知平面，可得平面平面．如图5，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即． 设，则，在中，．在中，由，得，则．设点C到平面的距离为h，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为． ［方法三］：三垂线＋线面角定义法 由（1）知平面，可得平面平面．如图6，在平面内作，垂足为N，则平面．在平面内作，垂足为F，联结，则，故为二面角的平面角，即．同解法1可得． 在中，过N作，在中，过N作，垂足为G，联结．在中，．因为，所以． 由平面，可得平面平面，交线为．在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角． 设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为． ［方法四］：【最优解】定义法 如图7，取的中点H，联结，则．过C作平面的垂线，垂足记为T（垂足T在平面内）．联结，则即为二面角的平面角，即，得． 联结，则为直线与平面所成的角．在中，，所以． 【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法； 方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段； 方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦； 方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解． 18．已知数列满足，，，数列满足，，． （1）求数列和的通项公式； （2）设数列满足，数列的前n项和为，不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 18．（1）当时，，解得； 时，可得， 作差得，即； 且，满足， 所以为常数列，即，则，， 数列是以首项为2，公比为2的等比数列，则， （2）由（1）可知：数列满足， 数列的前n项和， 则， 两式相减得， 所以， 不等式化为， 可知数列为递增数列，则有： 若n为偶数，，取，可得； 若n奇数，，取，可得； 综上所述：实数的取值范围是． 19．已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 19．解：（1）由已知长轴为，短轴长为， 可得，， 则椭圆的标准方程为：； （2）①依题意，解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为：． ②证明：设， ， 联立，消去整理得： ， ， 又， 代入整理得：， ， ， 同理可得， ， 而 所以有， 整理得， ， ， 因此∥， 故三点共线. 8 学科网（北京）股份有限公司 $$