第十八章平行四边形中的最值问题2024-2025学年人教版八年级数学下册

平行四边形中的最值问题 一、单选题 1．如图，已知的顶点A，C分别在直线和上，O是坐标原点，则对角线长的最小值为（    ）    A．9 B．8 C．7 D．6 2．如图，菱形周长为16，，E是的中点，P是对角线上的一个动点，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D． 3．如图，在一个边长为2的正方形中，E为的中点，P为对角线上的一个动点，则最小值的是（　　） A．2 B． C．3 D． 4．如图，在矩形中，，，为中点，为上一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 6．如图，在直角三角形中，，，，点是边上一点（不与，重合），作于点，于点，若点是的中点，则的最小值是（    ） A．1 B． C． D．2 二、填空题 7．如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为 ． 8．如图，在平行四边形中，，，是边的中点，若线段绕点旋转得到线段，如图，连接，则长度的最小值是 ． 9．如图，在矩形中，，点为直线下方一点，且以为斜边在矩形的外部作直角三角形，点是的中点，则的最大值为 ． 10．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 ． 11．如图，在正方形中，，点，分别为边，上动点，且，连接，交于点，连接，则线段长度的最小值为 ． 12．如图，在边长为6的正方形中，为的中点，为上的一个动点．则的最小值为 ． 13．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别为边BC，CD上两点，，AE平分∠BAC，连接BF，分别交AE，AC于点G，M，点P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM，则的最小值为 ． 14．已知正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且满足，连接AE，AF，则的最小值为 ． 15．如图所示，四边形ABCD中，AC⊥BD于点O，AO＝CO＝4，BO＝DO＝3，点P为线段AC上的一个动点．过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N．连接PB，在点P运动过程中，PM+PN+PB的最小值等于 ．    三、解答题 16．如图，在正方形中，为边上一点，为边延长线上一点，且，连接，与对角线相交于点．    (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，点，，分别是三条边，，上的动点，若，，求的最小值（直接写出结果即可）． 17．如图，在四边形中，，，E为对角线的中点，F为边的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接交于点G，若，，求的长． 18．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段的最小值是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】作辅助线如解析图，由于四边形是平行四边形，所以，又由平行四边形的性质可推得，则可证明，进而可得的长固定不变，当最小时，取得最小值，从而可求． 【详解】过点B作直线，交直线于点D，过点B作轴，交x轴于点E，直线与交于点M，与x轴交于点F，直线与交于点N，如图：    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵直线与直线均垂直于x轴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， 由于的长不变，所以当最小时（即B点在x轴上），取得最小值，最小值为． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 2．D 【分析】连接交于点O，连接，，由四边形是菱形，可得，，可知垂直平分，所以，可得，即，由四边形是菱形，，可得，由四边形是菱形且周长为16，可得，结合，可得是等边三角形，由E是的中点，可得，所以，由，可得，在中，由直角三角形的性质，可求出，由勾股定理可得，可求出，所以的最小值为． 本题考查了轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟记性质与最短路线的确定方法找出点P的位置是解题的关键． 【详解】解：如图，连接交于点O，连接，， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵菱形周长为16， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴．的最小值为． 故选：D． 3．D 【分析】连接，利用正方形的性质可知，当点C、P、E三点共线时，最小为，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴所在直线是正方形的对称轴， ∴， ∴， ∴当点C、P、E三点共线时，最小为， ∵E为的中点， ∴ 在中，由勾股定理得， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理等知识，将的最小值转化为是解题的关键． 4．C 【分析】如图所示，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，根据矩形的性质可判定四边形是矩形，可求出的长，根据折叠的性质可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时的值最小，      ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，即， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴，则， ∵点是点关于的对称点， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查轴对称—最短路径，矩形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，将转换为，根据勾股定理求解线段长度是解题的关键． 5．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质；勾股定理求出，再证四边形是矩形，得，当时，最短，此时也最小，则最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： ，，， ， ，，， 四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 当时，最短， 此时也最小，则最小， ， ， ， 故选：B． 7． 【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解． 【详解】如图，过点作，交的延长线于，       四边形是平行四边形， ， ∴ ∵PH丄AD ∴ ∴，， ∴ 当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值， 此时 ，，， ∴ ， 则最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键． 8． 【分析】当在上时，线段长度最小，作于点，首先在直角中利用三角函数求得和的长，然后在直角中利用勾股定理求得的长，然后减去的长即可求解． 【详解】解：作于点． 菱形中，， ， 在直角中，，， 则， 在直角中，， 当在上时最小，则长度的最小值是：． 故答案是：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，以及三角函数和勾股定理，正确理解最短的条件是关键． 9． 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点O，连接，根据矩形的性质可求的长，根据勾股定理可求的长，根据直角三角形的性质可求的长，根据三角形三边关系可求得当点O，点E，点F共线时，有最大值，即． 【详解】如图，取中点O，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点F是中点，点O是的中点， ∴， ∴， ∵点O是的斜边的中点， ∴， ∵根据三角形三边关系可得：， ∴当点O，点E，点F共线时，最大，最大值为． 故答案为：． 10．3 【详解】解：∵ED=EM，MF=FN， ∴EF=DN， ∴DN最大时，EF最大， ∵N与B重合时DN最大， 此时DN=DB==6， ∴EF的最大值为3． 故答案为：3. 11． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，进而得出，当点G是对角线的交点时，线段长度最小，进而即可求解． 【详解】解：在正方形中，，，则， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点G是对角线的交点时，线段长度最小， ∵， ∴对角线， 故线段长度的最小值为， 故答案为：， 12． 【分析】延长到使，连接，，推出的最小值为，再利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：延长到使，连接，， 四边形是边长为6的正方形，为的中点， 是的垂直平分线，， ， ， 的最小值为， 在中， ，， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，正方形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，能将两条线段长的最小值用一条线段的长表示是解题的关键． 13． 【分析】根据题意，进而证明，可得,勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，作，，连接MH． PN⊥AC，AE平分∠BAC， ， ， 即为所求， 四边形是正方形正方形， ， 又， ， ， ， ， ， ， AE平分∠BAC， ， 在与中， ， ， ， 是正方形的对角线， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，正方形的性质，垂线段最短，根据题意求得的最小值是的长是解题的关键． 14． 【分析】连接DE，根据正方形的性质，可得到△ADF≌△DCE，则AF=DE，将问题转化为“将军饮马”类型，作点A关于BC的对称点，连接，用勾股定理即可求解． 【详解】解：连接DE， ∵且四边形ABCD为正方形 ∴CD-CF=BC-BE，即DF=CE 在△ADF和△DCE中 ∴△ADF≌△DCE ∴AF=DE；= 以BC为对称轴，作A点关于BC的对应点连接，与BC交点即为点E ∵点A和点关于BC对称， ∴AE= == 由勾股定理可得：= ∴的最小值为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等，最短路径问题．熟练地掌握正方形的性质得出判定三角形全等的条件，将最短路径问题转化为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 15．7.8 【分析】证四边形ABCD是菱形，得CD=AD=5，连接PD，由三角形面积关系求出PM+PN=4.8，得当PB最短时，PM+PN+PB有最小值，则当BP⊥AC时，PB最短，即可得出答案． 【详解】解：∵AO＝CO＝4，BO＝DO＝3， ∴AC＝8，四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD于点O， ∴平行四边形ABCD是菱形，AD＝＝＝5， ∴CD＝AD＝5， 连接PD，如图所示：    ∵S△ADP+S△CDP＝S△ADC， ∴AD•PM+DC•PN＝AC•OD， 即×5×PM+×5×PN＝×8×3， ∴5×（PM+PN）＝8×3， ∴PM+PN＝4.8， ∴当PB最短时，PM+PN+PB有最小值， 由垂线段最短可知：当BP⊥AC时，PB最短， ∴当点P与点O重合时，PM+PN+PB有最小值，最小值＝4.8+3＝7.8， 故答案为：7.8． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、最小值问题以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 16．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）过点作，与相交于点，由正方形性质得，，再证明，由全等三角形的性质即可求证； （）取的中点，连接，由中位线性质得，，通过勾股定理即可求证； （）连接，根据四边形是正方形得，由勾股定理求出， 又得，当，时，最小，最后根据等面积法即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）如图，过点作，与相交于点，    ∵是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，取的中点，连接，    由（）得， ∴为中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，      由（）得为中点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， 则当，时，最小， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 17．(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理： （1）先由线段中点的定义和三角形中位线定理得到，，，进而根据推出，再证明四边形是平行四边形，即可证明四边形是菱形； （2）先由菱形的性质可得，，，利用勾股定求出，则，则可得到． 【详解】（1）证明：为的中点，F为的中点， ，，， ， ． 又∵， ，， 四边形是平行四边形， 是菱形． （2）解：四边形是菱形，且， ，，， ， ， ． 18． 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得到是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得时，最小，然后求出，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理得：， 要使最小，只要取最小值即可， 根据垂线段最短，时，最小， ∵正方形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出是等腰直角三角形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$