山东省菏泽第一中学2024-2025学年高一下学期数学强基竞赛训练（7）

高一数学强基竞赛训练（7）参考答案 1.  2.  3.  4.  5.  6.  7.  8.  9.  10.   11. 解：证明：在平行四边形中，， ， 又且，，面， 面， 面， 平面平面； ，， ， ， 由得， 又，，，面， 面， 三棱锥的体积 ．  12. 解：因为 ， ， 所以 ， 即B. 因为，所以． 因为，故B． 由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在 的内部． 由余弦定理可得 ， 解得． ， 所以， 所以 ． 由已知中， ， 即， 故，由正弦定理可得， 故为直角三角形，且， 由于点为的费马点， 则， 设，，，，，， 则由得 由余弦定理得 ， ， ， 故由得： ， 即，而，， 故， 当且仅当，结合， 解得时，等号成立， 又，即有， 解得或负值舍去， 故实数的最小值为．  13. 解：由题意作图如下， ， 当时，， 在中，由余弦定理得； 由图可知：， 当时，， 在中，由余弦定理得，  ，； 由知， ，， 当时，， 当时， ， 因为，所以， 所以，， 所以， 当时， ， 因为，所以， 所以， 所以．   14. 解：因为是的“向量”，所以 因为， 所以，即，解得 或 ， 因此实数 的取值范围是 因为，所以 ． 因为 ， 所以 中的向量依次以为周期． 若存在“向量”，只需 因为， 所以 ， 因此由得， 即， 即， 即， 所以当，，，，，，时，符合要求， 因此存在“向量”，且“向量”为，，，，，， 因为 为 的“向量”，所以， 即，即， 同理可得：，， 以上三式相加，整理得：， 即，即， 因此． 因为，， 所以． 设 因为与关于点对称，与关于点对称， 所以 因此，， 所以，， ，， 因此． 因为，所以， 当且仅当时，； 时，，因此． 因为， 所以， 即的取值范围是．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学强基竞赛训练（7） 一、填空题：本题共10小题，每小题6分，共60分。 1.如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有个不同的点，，，，记，若，则等边三角形的边长为          ． 2.定义：已知一个点集及一点，任取点集中一点，线段长度的最小值称为点到点集的距离，记作现已知空间中一点，平面上一个长为、宽为的矩形及其内部的所有点构成点集，则点的集合所表示几何体的体积为          ． 3.的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最大值为          ． 4.在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，且平面，均与底面垂直点在侧面上运动，若，则点的轨迹长为          ． 5.在锐角中，，它的面积为，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则           ． 6.如图，在中，为斜边的中点，点分别在边上不包括端点，，若，则           ． 7.已知菱形的边长为，将沿着对角线折起至，连接设二面角的大小为，当时，则四面体的外接球的表面积为          ． 8.在矩形中，，，现将沿对角线翻折，得到四面体，记二面角为，当在内变化时，的取值范围是          ． 9.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，           10.在锐角中，，它的面积为，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则           ． 二、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且． 证明：平面平面； 为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积． 12.本小题分 “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点． 若，， 求角；求． 若，，求实数的最小值． 13.本小题分 某时钟的秒针端点到中心点的距离为分米，秒针均匀地绕点旋转，当时间秒时，点与钟面上的点重合．将的长度用分米表示． 当秒时，求的值； 当时，将表示成的函数，求的解析式； 设，，求时，的取值范围． 14.本小题分 对于平面向量且，记，，若存在，使得，，则称是的“向量”． 设，，若是的“向量”，求实数的取值范围 若，，则是否存在“向量”若存在，求出“向量”若不存在，请说明理由 已知，，均为的“向量”，其中，设平面直角坐标系中的点列，，，满足与原点重合，且与关于点对称，与关于点对称求的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$