广东省中山市华辰实验中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

2023—2024学年度高一下学期期中考试数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题答案唯一. 1．已知向量，，且，则（     ） A．9 B．3 C．6 D．5 2．设复数满足，则它的虚部为（     ） A． B． C． D． 3．（     ） A． B． C． D． 4．向量在向量上的投影向量是（     ） A． B． C． D． 5．1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用（角）表示，则（     ） A． B． C．4 D．8 6．在边长为1的正六边形中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．如图，为测量山高，选择水平地面上一点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得．已知山高，则山高（     ）    A． B． C． D． 8．十七世纪法国数学家､被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点被称为费马点.已知分别是的内角的对边，且，若为的费马点，则（     ） A．-1 B．-2 C．-3 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，有两个选项的选对一个得3分，有三个选项的，选对一个得2分，选对两个4分，有选错的得0分. 9．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的取值可能是（     ） A． B． C．2 D． 10．设复数对应的向量分别为（为坐标原点），则（     ） A． B．若，则 C．若且，则 D．若，则的最大值为 11．如图，已知直线，点是，之间的一个定点，点到，的距离分别为1和2，点是直线上的点，点是直线上的点，且，平面内一点满足：，则（     ）    A．为直角三角形 B． C．面积的最小值是 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．在中，若，则 . 13．如图，在△ABC中，，，，M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足，则 . 14．设和是关于x的方程的两个虚数根，若、、在复平面上对应的点构成直角三角形，则实数 . 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，16至17小题每题15分，18至19小题每题17分，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)先将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位后得到函数的图象，求的单调减区间以及在区间上的最值. 16．如图，在中，，，，且，，与交于点. (1)用，表示，； (2)求的值； (3)求的值. 17．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10 nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜. （1）求线段BC的长度； （2）求∠ACB的大小； （3）问缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船? 参考数值： 18．已知向量，，函数． (1)若，且，求的值； (2)已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象．在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 19．已知中，的对边分别为且. （1）判断的形状，并求的取值范围； （2）如图，三角形的顶点分别在上运动，，，若直线直线 ，且相交于点，求，间距离的取值范围. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 高一数学参考答案： 1．C【详解】因为，，且， 所以，解得.故选：C 2．B【详解】，复数的虚部为．故选：B． 3．B【详解】.故选：B. 4．A【详解】因为，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为.故选：A 5．C【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角， 由锐角三角函数定义及已知得， 所以.故选：C 6．B 当点与点重合时,取得最大值为； 当点与点重合时， 取得最小值为， 的取值范围是．故选：B 7．D【详解】由题意可知，，又因为，则为等腰直角三角形， 故，在中，，，则， 由正弦定理，可得， 由题意可知，，因为， 则.故选：D. 8．D【详解】因为， ， 所以， 即.因为，所以. 因为，所以. 由三角形内角和性质可知，的三个内角均小于，结合题设易知点一定在的内部. 由余弦定理可得3， 解得， 所以， 所以.故选：D. 9．BC 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为， 所以， 即， 所以，所以或． 当时，，因为，所以， 所以，，则， 当时，， 综上：的值为或2.故选：BC 10．ACD【详解】对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，因为，可得，所以B错误； 对于C中，由，因为，可得，即 又因为，可得， 联立方程组，可得，解得，所以C正确； 对于D中，由，可得， 因为，可得，即， 表示以为圆心，半径为的圆， 可得，则原点到圆上点的最大距离为，即的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 11．ABD【详解】 对于A，因为， 所以，即， 所以，即，则， 所以为直角三角形，故A正确； 对于B，取中点，连接，如图，    由，得，因此点是的重心， 则，故B正确； 对于C，过点作，则共线，， 设，而，则， 所以，又点为的重心， 所以的面积， 当且仅当，即时取等号，故C错误； 对于D，与选项B同理可得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，则，故D正确； 故选：ABD 12．【详解】，， ，又，，， ，，解得：.故答案为：. 13．【详解】由图可得三点共线，又，则.注意到， 则 .故答案为： 14．13【详解】设，由实系数一元二次方程虚根成对定理可得， 由根与系数的关系可得，整理得， 设、、在复平面上对应的点分别为、、， 则，可知A，B关于x轴对称， 若复平面上、、对应点构成直角三角形，则， 即，解得，所以.故答案为：13. 15．【详解】（1） ， 则函数的最小正周期为. （2）根据图象变换可得：. 令， 解得：， 则的单调减区间为. 令，则. 因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递减； 且当时，；当时，；当时，. 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 16．【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，； （2）因为，，， 所以， 所以 . （3）依题意为向量与的夹角， 又， ， 所以. 17．【详解】（1）在△ABC中，∠CAB＝45°+75°＝120°， 由余弦定理，得BC2＝AB2+AC2﹣2AB ACcos∠CAB 22﹣2×（1）×2×（）＝6， 所以，BC. （2）在△ABC中，由正弦定理，得， 所以，sin∠ACB. 又∵0°＜∠ACB＜60°，∴∠ACB＝15°. （3）设缉私船用th在D处追上走私船，如图， 则有CD＝10t，BD＝10t. 在△ABC中，又∠CBD＝90°+30°＝120°， 在△BCD中，由正弦定理，得 sin∠BCD . ∴∠BCD＝30°，又因为∠ACB＝15° 所以1800﹣（∠BCD+∠ACB+75°）＝180°﹣（30°+15°+75°）＝60° 即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船. 18．【详解】（1）， ，因为，所以， 而，所以， 所以， 所以； （2）由题意得， 假设的图象上存在点使得， 因为，， 因为，所以， 令， 因为，所以， 当且仅当时取等， 所以存唯一解，此时，点， 综上，符合条件的点坐标为． 19．【详解】（1）由可得， 则，所以，则，所以， 因此，即，则为直角三角形，； 所以，所以，则， 因此， 因为，所以，则； （2）不妨记，其中，则， 由余弦定理可得，， 因为，所以，则，所以，则. 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$