四川省资阳天立学校（天立集团）2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

天立集团高二年级数学联测试卷 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D A C B A ACD ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】依次分析各项，寻找规律，求出结果. 【详解】数列1，，4，，中， ， ， ， ， ， ……， 故选：. 2．D 【分析】利用递推关系式逐个求解可得答案. 【详解】由题意可得，，， 故选：D. 3．B 【分析】由结合等差中项的性质可得，结合已知求出公差，进而求得的值. 【详解】等差数列中，，则， 因此公差，所以. 故选：B 4．D 【分析】先求出数列的通项公式，再由分组求和法求解即可. 【详解】数列是首项为，公比为2的等比数列， 所以，所以， 所以数列的前5项之和为 . 故选：D. 5．A 【分析】应用等差数列的项的性质及通项公式基本量运算即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，且，得， 所以，所以. 故选：A. 6．C 【分析】利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为、，且， 因为. 故选：C. 7．B 【分析】根据已知及等差数列的通项公式、前n项和公式求基本量，结合及数列单调性确定取最小值时的值. 【详解】由，， 所以，数列的公差，且， 所以，且数列单调递增， 故取最小值时，的值为15或16. 故选：B 8．A 【详解】令得到，故数列是等比数列， ， 故答案为：A． 9．ACD 【分析】设等差数列公差为d，由题可得，据此结合等差数列性质可判断各选项正误. 【详解】对于D，设等差数列公差为d，由题意，知，则，即，故D正确； 对于A，，故A正确； 对于B ，因，则， 故， 当，又离最近整数为4或5，则或最大，由题无法确定符号，故B错误； 对于C，由D分析，，则由等差数列性质可得， 则，故C正确. 故选：ACD 10．ACD 【分析】确定数列的所有正数项判断A；举例说明判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用等差数列前n项和公式及性质推理判断D. 【详解】对于A，由，令，解得，令，解得， 又，则，，数列单调递减，数列前项的和最大，A正确； 对于B，当，时，等比数列也是递减数列，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，若为等差数列，则，则， （为常数），因此数列是等差数列，D正确． 故选：ACD 11．BCD 【解析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确. 【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误； 若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确； 若，，数列是等差比数列，所以C选项正确； 若等比数列是等差比数列，则， ，所以D选项正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意： （1）常数列作为特殊的等差数列公差为0； （2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1. 12．/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 13． 【分析】设等差数列的公差为，则，由等比数列的性质列式求得 ．然后再由等差数列与等比数列的通项公式列式求得． 【详解】解：设等差数列的公差为，则， 由已知， 即，得， 于是，在等比数列中， 公比． 由为数列的第项，知； 由为数列的第项，知， ， 故. 故答案为． 【点睛】该题考查的是有关等差数列与等比数列的综合问题，属于中档题目，在解题的过程中，需要对等差数列的通项公式与等比数列的通项公式熟练掌握，并且要注意三项成等差数列的条件，得出等差数列的首项与公差的条件，从而确定出所得的等比数列的项的特点，进一步求得结果，从而求得等比数列的项的特点，得到的关系，从而求得结果，在做题的过程中，如果分析不到位，很容易出错. 14．1078 【分析】由递推公式得到数列的通项公式，由此计算出数列的. 【详解】∴当为奇数时，，当为偶数时，， ∴数列的奇数项是等比数列，偶数项是等差数列， ∴， ∴ . 故答案为：1078. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列基本量计算求通项公式； （2）方法一：根据数列单调递减结合通项公式计算即可得出的最大值；方法二：应用指数运算计算结合二次函数得出最值即可. 【详解】（1）因为数列为等比数列，，， 所以，， 所以，， 所以 （2）方法一：因为，且，数列为单调递减数列， 当时，最大， 即，解得：， 此时，的最大值为. 方法二：因为， 所以 由二次函数的知识以及，在或者时，同时取得最大值， 此时，的最大值为. 16．(1) (2)682 【分析】（1）运用等比数列公式性质计算即可；（2）根据通项公式找到公共项，求和即可. 【详解】（1）因为，， 所以，解得（负值舍去）， 所以． （2）设的第项与的第项相等， 则，即，． 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则， 当时，，当时，，则． 故． 17．(1) (2)7． 【分析】（1）根据，求出； （2）不合要求，当时，由等比数列求和公式及分组求和得到，得到不等式，结合指数函数单调性得到答案. 【详解】（1）因为，① 所以，② ①②两式相减，得， 所以．③ 又当时，得，不满足上式． 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，，所以不成立， 当时， ， 由，得． 令，则为增函数， 又． 因此要使成立，只需， 故使成立的正整数的最小值为7． 18．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系退相减，消去得，变形得，然后利用等比数列的定义证明即可. （2）根据等比数列的通项公式求出，则，然后利用等比数列求和公式得，即可判断. 【详解】（1）由得，故， 当时，， 所以， 从而，故①， 在式①两端加1得：②， 又，结合式②知数列所有项均不为0，所以， 故是首项为9，公比为3的等比数列. （2）由（1）得，故， 所以. 19．(1) (2)这个人第三年的收入最少，为元 (3)当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入 【分析】（1）根据题意得到时，，进而得到数列的通项公式； （2）由时，，结合基本不等式，即可求解； （3）由时，，结合基本不等式的等号成立的条件，即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意得，当时，， 当时，， 所以 （2）解：由，当时，， 当且仅当，上式的等号成立，即，解得， 所以这个人第三年的收入最少，最小值为元． （3）解：当时， ， 当且仅当且，上式等号成立， 因此，等号不能取到， 当时，这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$天之骄子 立己达人 天立集团高二年级数学联测试卷 一、单选题(每题5分，共40分） 1．数列1，，4，，的一个通项公式（   ） A． B． C． D． 2．首项为1的数列满足，则（   ） A．2 B．5 C．21 D．26 3．记为等差数列的前n项和，已知，则（    ） A．0 B．2 C． D． 4．已知数列是等比数列，且，公比为2，则数列的前5项之和为（   ） A．62 B．66 C．56 D．46 5．在等差数列中，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 7．设等差数列的前项和为，且，，则取最小值时，的值为（    ） A．13或14 B．15或16 C．16或17 D．14或15 8．已知数列的首项，对任意，都有，则当时， (　　) A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分，少选得相应分，多选不得分） 9．已知数列是等差数列，且满足，则下列结论中正确的是（    ） A． B．最小 C． D． 10．数列的前n项和为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则数列的前6项和最大 B．若等比数列是递减数列，则公比q满足 C．已知等差数列的前n项和为，若，则 D．已知为等差数列，则数列也是等差数列 11．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（    ） A．等差数列一定是等差比数列 B．等差比数列的公差比一定不为0 C．若，则数列是等差比数列 D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比 三、填空题（每题5分，共15分） 12．等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 13．已知公差不为0的等差数列的部分项，，，……构成等比数列，且，，，则 . 14．已知数列满足，且，该数列前20项和 ． 四、解答题（共5个大题，合计77分，解答题要有相应的演算过程） 15．（13分）已知数列为等比数列，，. (1)求数列的通项公式； (2)若是数列的前项积，求的最大值. 16．（15分）已知数列的通项公式为，是公比为的等比数列，且，． (1)求的通项公式； (2)设与的公共项由小到大排列构成新数列，求的前5项和． 17．（15分）已知数列对任意满足． (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值． 18．（17分）数列的前项和为，且， (1)求证：数列是等比数列； (2)若，数列的前项和为，求证：． 19．（17分）某工厂在2020年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年工资的领取工资．该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资收入为每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为元． (1)求的通项公式． (2)当时，这个人哪一年的收入最少？最少为多少？ (3)当时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$