7.1.1数系的扩充和复数的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1.1 数系的扩充和复数的概念 第七章 复数 1.余弦定理: 2.余弦定理推论: 课前回顾 3.正弦定理及常见变形式: R是△ABC的外接圆的半径 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程； 2.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件 ； 3.理解复数的分类. 问题1：复数的概念及表示。 问题2：复数相等。 问题3：复数的分类。 自学指导 阅读课本68--69页，完成以下问题： 3-5=？ 3÷5=？ 边长为1的正方形的对角线长 ？ ？ 解方程x2+1=0 探究 我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 数系的扩充： 引入一个新的数集 依照数集扩充的这种思想，为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x=i 是方程x2+1=0的解，此时 i2=-1 . i是数学家欧拉最早引入的，它取自imaginary (想象的，假设的)一词的词头，i2=i·i. 教师点拨 复数的概念 我们把形如a+bi (a, b∈R)的数叫做复数，其中 i 叫做虚数单位. 全体复数所构成的集合C={a+bi |a, b∈R}叫做复数集. 复数通常用字母z表示，即z=a+bi (a, b∈R)，以后不作特殊说明时，复数z=a+bi 中都有a, b∈R，其中把实数a叫做复数z的实部，把实数b叫做复数z的虚部. 小组互助 C 在复数集C={a+bi |a, b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定： 复数相等 思考：由3>2能否推出3+i>2+i?两个复数能比较大小吗? 当两个复数都是实数时,可以比较大小: 当两个复数不全是实数时,不能比较大小. 若两个复数可以比较大小，则这两个复数必定都是实数 小组互助 练习 若x,y为实数,且满足(2x-y)i+(x-y)=3+2i, 则x=　　　, y=　　　　.  -1　 -4 教师点拨 复数的分类 对于复数a+bi (a, b∈R)， 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0； 当b≠0时，它叫做虚数(imaginary number)； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数. 小组互助 练习 若复数(a+1)+(a2-1)i(a∈R)是实数,则a等于(　　) A.-1 B.1 C.±1 D.不存在 C 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 思考 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 实数集R是复数集C的真子集，即R C. 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 例1:写出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数? 小组互助 小组互助 变式1 (多选题)下列说法正确的是(　　) A.若z∈C,则z2≥0 B.2i-1的虚部是2i C.2i的实部是0 D.实数集是复数集的真子集 CD 练习 － － － － － － － － － － － － － － 说出下列复数的实部和虚部： 2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数. 为什么？ 小组互助 例2： 当实数m取什么值时，复数 z=m+1+(m-1)i 是下列数？ （1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数. 小组互助 变式2 若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值是(　　) A.-1 B.1 C.±1 D.-1或-2 B 小组互助 例3 (1)已知z1=-3-4i, z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m=　　　　　,n=　　　　　;  (2)若(x-y)+(y-1)i=0,则实数x,y的值分别为　　　　　.  2　 ±2　 1,1 小组互助 C 3. 求满足下列条件的实数x，y的值. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 变式4 若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为　　　　　.  2 小组互助 1. 复数：z＝a＋bi(a，b∈R) 2. 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系： 复数集 虚数集 纯虚数集 实数集 课后反思 练习 (1+)i的实部与虚部分别是(　　) A.1, B.1+,0 C.0,1+ D.0,(1+)i ①2+3i;②-3+i;③+i;④π;⑤-i;⑥0. 变式3 若4-3a-a2i=a2+4ai,则实数a的值为(　　) A.1 B.1或-4 C.-4 D.0或-4 $$