2.2一元二次方程的解法课件 2024-2025学年浙教版数学八年级下册

一元二次方程的解法 学习内容 一、知识梳理 知识梳理 1、根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式：Δ=b2-4ac Δ＞0 方程有两个不相等的实数根 Δ＝0 方程有两个相等的实数根 Δ＜0 方程没有实数根 2、求根公式 知识梳理 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 可化为x2=p或（mx+n）2=p（p≥0） 配方法 二次项系数为1，一次项系数为偶数 公式法 所有方程 因式分解 右化零后左边可因式分解的方程 知识梳理 3、各种一元二次方程的解法及使用类型 学习内容 二、例题与巩固练习 例1. 用直接开平方法解下列方程: (1) 5x2-2=18; (2) (x+)(x-)=1; (3) (4x+1)2=16; (4) (2x+3)2-225=0; (5) y2-10y+25=4. (1) x1=2,x2=-2　 (2) x1=,x2=-　 (3) x1=,x2=-　 (4) x1=6,x2=-9　 (5) y1=3,y2=7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 练1.1. 用直接开平方法解下列方程: (1) 8x2-71=129; (2) 2(x-1)2-36=0; (3) x2+12x+36=121. (1) x1=5,x2=-5　 (2) x1=1+3,x2=1-3　 (3) x1=5,x2=-17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 例2.用配方法解下列方程: (1) x2-2x-5=0; (2) x2+3x=-1; (3) 2y2=5y+3; (4) 4y2-8y+3=0. (1) x1=1+,x2=1-　 (2) x1=-+,x2=--　 (3) y1=-,y2=3　 (4) y1=,y2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 练2.1 用配方法解下列方程: (1) x2-8x+3=0; (2) 3(x-1)(x+2)=9x-4; (3) x(x+9)=4x-1. (1) x1=4+,x2=4-　 (2) x1=1+,x2=1-　 (3) x1=-+,x2=-- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例3.利用根的判别式判断下列方程的根的情况: (1) 2x2+3x-4=0; (2) x2-6x+18=0; (3) 5(x2+1)-7x=0. (1) ∵ Δ=32-4×2×(-4)=41>0,∴ 方程有两个不等的实数根　 (2) ∵ Δ=(-6)2-4×18=0,∴ 方程有两个相等的实数根　 (3) ∵ 原方程化为一般式为5x2-7x+5=0,∴ Δ=(-7)2-4×5×5=-51<0.∴ 方程无实数根 练3.1一元二次方程x2-5x+2=0的根的判别式的值是 (　　) A. 33 B. 23 C. 17 D. 练3.2. 下列一元二次方程无实数根的是 (　　) A. x2+x-2=0 B. x2-2x=0 C. x2+x+5=0 D. x2-2x+1=0 C C 例4. 已知关于x的一元二次方程2x2-(4k+1)x+2k2-1=0. (1) 若方程有两个不等的实数根,求k的取值范围. (2) 当k取何值时,方程有两个相等的实数根?并求出此时方程的实数根. (3) 若方程无实数根,求k的取值范围. Δ=[-(4k+1)]2-4×2(2k2-1)=8k+9. (1) 由题意,得8k+9>0,解得k>- 　 (2) 由题意,得8k+9=0,解得k=-.此时方程为2x2+x+=0,解得x1=x2=-　 (3) 由题意,得8k+9<0,解得k<- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 练4.1若一元二次方程mx2+2x+1=0有实数解,则m的取值范围是 (　　) A. m≥-1 B. m≤1 C. m≥-1且m≠0 D. m≤1且m≠0 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例5. 已知关于x的方程x2-(m+2)x+2m-1=0. (1) 若此方程的一个根为x=-1,求m的值; (2) 求证:该方程恒有两个不等的实数根. (1) 根据题意,得12+1×(m+2)+2m-1=0,解得m=- (2) ∵ Δ=(m+2)2-4(2m-1)=(m-2)2+4,(m-2)2≥0,∴ Δ=(m-2)2+4>0.∴ 该方程恒有两个不等的实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 练5.1. 已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4=0. 求证:这个方程总有两个实数根; ∵ Δ=[-(2k+1)]2-4×1×4(k-)=4k2-12k+9=(2k-3)2≥0,∴ 这个方程总有两个实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例6.用公式法解方程: (1) x2-2x-1=0; (2) 2x2+x=2; (3) x(x-2)=4; (4) (2x+1)2=2(x+1). (1) x1=2+,x2=-2+　 (2) x1=,x2=　 (3) x1=3+,x2=-3+　 (4) x1=,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 练6.1. 用公式法解方程x(2-7x)=5时,求根公式中的a,b,c的值分别是 (　　) A. -7,2,5 B. 7,2,-5 C. 7,-2,5 D. 7,-2,-5 练6.2 用公式法解方程x2-6x+1=0时,所得的解是 (　　) A. x=-3± B. x=3± C. x=-3±2 D. x=3±2 练6.3一元二次方程x2+4x-8=0的解是 (　　) A. x1=2+2,x2=2-2 B. x1=2+2,x2=2-2 C. x1=-2+2,x2=-2-2 D. x1=-2+2,x2=-2-2 C D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 D 例7. 用公式法解方程: (1) (x+1)(x-2)=1; (2) 3x2+5(2x+3)=0. (1) x1=,x2=　 (2) 无实数根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 练7.1用因式分解法解下列方程: (1) (2023·齐齐哈尔)x2-3x+2=0; (2) 2(x-4)2=x2-16; (3) 5x(3x+2)=6x+4. (1) x1=1,x2=2　 (2) x1=4,x2=12　 (3) x1=-,x2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 练7.2 用适当的方法解下面的方程: (1) x2-3x-1=0; (2) 4x(x-1)=6-6x. (1) x1=,x2=　 (2) x1=-,x2=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 学习内容 三、课堂检测 1. 解下列方程:① 2x2-18=0;② x2-9x-1=0;③ x2-11x+10=0;④ 2(5x-1)2= 3(5x-1).其中,较简便的方法是 (　　) A. 依次用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 B. 依次用因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法 C. ①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法 D. ①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 若关于x的方程(x-9)2=m+4可以用直接开平方法求解,则m的取值范围是 (　　) A. m>3 B. m≥3 C. m>-4 D. m≥-4 3. 关于x的一元二次方程4x2-9=0的根为 (　　) A. x1=x2= B. x1=x2= C. x1=,x2=- D. x1=,x2=- D C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. 下列一元二次方程中,最适合用因式分解法来解的是 (　　) A. (x-2)(x+5)=2 B. 2x2-x=0 C. x2+5x-2=0 D. 12(2-x)2=3 5.方程x2+4x+3=0的两个根为 (　　) A. x1=1,x2=3 B. x1=-1,x2=3 C. x1=1,x2=-3 D. x1=-1,x2=-3 B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$