解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义-2025届高三数学二轮复习
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内容正文：
解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义
解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题
考点一 定点问题
【知识点解析】
1.直线过定点问题
思路一：设所求直线的一般方程：，利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点.
思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点.
思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解.
2.圆过定点问题
思路一：整理出圆的方程，分离参数，令参数相乘的因式为0，得定点.
思路二：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.
【例题分析】
1．（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）双曲线的一条渐近线方程为，
因为双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，
所以双曲线的一条渐近线方程为，即，
则，
，由对称性可知，到的一条渐近线的距离为，
所以，解得，
所以，
故的标准方程为.
（2）证明：由（1）可知，，
①当直线的斜率存在时，设方程为，，
由，整理得，
则，
得，
由得，，即，
由，则，
所以，
则
即，
所以，
整理得，
所以，
解得或，
若时，直线的方程为，
即，则直线过定点，不合题意，舍去；
若时，直线的方程为，即，则直线过定点.
当直线过定点，
②当斜率不存在时，，
得，故直线，满足题意.
综上可知，直线恒过定点.
2．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）椭圆的标准方程为，若将其绕原点逆时针旋转，得到的曲线方程为，如图所示．设椭圆的右焦点，则
(1)求椭圆的标准方程．
(2)点分别为椭圆的左、右顶点，直线上有一动点（不落在轴上），连接分别与椭圆交于两点、，
①问直线是否恒过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．
②将椭圆关于直线对称得到椭圆，直线与椭圆交于、两点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）联立得，即，
联立得，即，
所以椭圆；
（2）①设，，
，
联立得，
则,
联立，得，
，则，
代入式，
，
令代入上式得，
直线恒过定点；
②只需将直线关于对称，得，
与椭圆联立求弦长即可，，，
，
同理，将换成得 ，
因为，所以，
所以.
3．（2025·辽宁·一模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量.
(1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标；
(2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点.
（i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值.
【答案】(1)
(2)（i）存在，，理由见解析；（ii）.
【详解】（1）因为，即，
绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点，
则，所以；
（2）（i）将曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，
设为曲线上点旋转后的对应点，
设，
则，
又因为，
所以，
整理得，
点到点和点的距离之和为，
旋转时，曲线形状不变，所以为定值，
定点的坐标分别为；
（ii）由（i）知曲线绕着原点沿顺时针方向旋转得到曲线，
定点为曲线的两个焦点，在曲线对应点和点，
在旋转过程中图形不变，问题可转化为：直线过定点与曲线交于，直线过定点与曲线交于，且，求四点构成四边形面积的最小值.
与交点满足，且在椭圆内部，
当与重合时，；
当与不重合时，设直线，
联立，整理得，
则，
所以，
同理可得，
，
当且仅当，即时取等号，
因为，
所以四点构成四边形面积的最小值为，
即四点构成的四边形面积的最小值为.
4．（2025·河南·模拟预测）（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为；
（2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析；
【详解】（1）若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为，联立，
所以，则，
所以，
整理得，
因为点在双曲线上，所以，
所以，则，
所以，则，
由，则，即，
所以，显然切线的斜率不存在时，即切线过双曲线顶点也满足，得证；
（2）由题意，设，其焦点坐标为，
设与双曲线的切点为，则切线方程为，
联立，可得，即，同理，
所以，，则，
而，故，即所求等轴双曲线的方程；
（3）由（2）双曲线为，若，则，
所以过点作直线的垂线为，即，
令，则，即，令，则，即，
联立，可得，同理，
综上，、的中点坐标均为，即是点，所以四点共圆，
易知圆的方程为，显然原点恒在圆上，得证.
5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点．
(1)求点到的焦点之间的距离；
(2)证明：直线过定点．
【答案】(1)2
(2)证明见详解
【详解】（1）因为为抛物线：上一点，
则，即，
可知抛物线：的焦点为，准线为，
所以点到的焦点之间的距离.
（2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0，
设直线，，
联立方程，消去x可得，
则，可得，
由题意可知：，则，
则，整理可得，
则，即，
所以直线过定点.
6．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若为双曲线的右顶点，四边形为矩形，其中点，在双曲线上，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意得，，所以.
（2）①当直线的斜率不存在时，
由，设直线的方程为，
当时，则在双曲线，可得,所以，
当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍，
可得直线的方程为，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立得，
当时，，，
因为四边形为矩形，所以，
所以，
所以，
所以
所以，
所以，所以或，
当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去．
当时，直线的方程为，恒过定点．
综上①②，直线恒过定点．
7．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）已知复数，在复平面内满足的点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知为坐标原点，直线与曲线交于两点，的面积为，求的值；
(3)曲线的左、右顶点分别为，设动点，直线与曲线分别交于（异于）两点，求证：直线过定点．
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析.
【详解】（1）因为，所以，
即,
两边平方得
化简得，即.
（2）设，由题意得，由消去y得，
,
则，则，
从而有
点O到直线的距离，
则
，
整理得，即，
解得或，均满足，
所以或.
（3）(方法一)因为，
所以直线的方程为，直线的方程为.
由，消去y，得①，
设，则和是方程①的两个根，则，
即， .
由消去y，得②，
设，则2和是方程②的两个根，则，
即，.
由双曲线的对称性知，直线恒过的定点位于x轴上，不妨设点.
当时，解得，此时，
直线的方程为，直线过点，
当时，，即，
整理得，故.
综上，直线过定点.
8．（24-25高二上·河南周口·期末）已知双曲线，其左顶点，离心率.
(1)求双曲线方程；
(2)过右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，与渐近线分别交于点，，直线，分别与直线交于，.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析；，.
【详解】（1）由题意：，所以，
所以双曲线的标准方程为：.
（2）（i）如图：
显然过焦点的直线斜率不为0，故可设其方程为：（）.
由，
整理得：.
设，，则，
所以.
于是.
又由，即；
同理：，
所以.
所以，
因为，所以.
（ii）因为，则直线的方程为：，
令，得，即.
同理.
所以以为直径的圆为：.
令得：
因为，
所以，
所以或.
即以为直径的圆过定点和
考点二 定值问题
【知识点解析】
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
2.定值问题的解题思路是：
（1）设参数；
（2）用参数来表示要求定值的式子；
（3）消参数.
【例题分析】
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M．
(1)求点M的坐标．
(2)若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1），
解得，所以椭圆方程为，
又，所以右焦点，
当垂直x轴时，不妨设，根据对称性可知点在轴上，
且直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，
消去得：，
则，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
令，解得，故点的坐标为.
（2）如图，
由题意可得直线的方程为，即，
设，由题可知，
所以，故直线与垂直，
联立，消去得：，
则，，
所以，
同理，，
所以，
故为定值.
2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，点是上不与顶点重合的一动点，直线、分别交于另一点、.
(1)设，
①当时，求直线斜率的取值范围；
②求证：；
(2)为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由.
【答案】(1)①；②证明见解析；
(2)为定值.
【详解】（1）（1）①直线交双曲线于左右支上，
因为双曲线：的渐近线的斜率为，
所以直线斜率的取值范围为.
②设，，由双曲线方程知：，
，又
两式相减得：
∴
由同理
，又
两式相减得：
∴ .
可得：，所以.
（2）由（1）②知：且
可得
同理又因为 且
可得
所以直线的斜率
又直线的斜率，所以为定值.
3．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点.定义第次操作为：经过上点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
(1)求的方程；
(2)若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值；
(3)若是在第一象限与不重合的一点，证明：的面积为定值.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）由题设有，解得，所以椭圆的方程为.
（2）设，则直线的方程为，与的方程联立，
消去得.
因为，所以.
因为是它的一根，所以，
即.（*）
若，经过3次操作后停止，即为.
将代入（*）式得，，
因为关于原点对称，，所以与关于原点对称，
因为与关于轴对称，与关于轴对称，所以与关于原点对称，
所以，解得，
综上，当时，.
（3）当时，由（*）式得，同理，所以与关于原点对称.
如图，由椭圆的对称性可知，与关于原点对称，与重合，
所以是以4为周期的周期点列，所以的面积等于的面积.
因为直线的方程为，
点到直线的距离，
所以.
4．（24-25高三下·江西·开学考试）已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，．
(1)求的标准方程；
(2)延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上；
(3)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)是定值，定值为
【详解】（1）的短轴长为，又轴，
，
的标准方程为．
（2）设的中点为，直线的方程为，
联立方程组化简得，
可得，代入直线的方程得．
点的坐标为直线的方程为．
由题意直线的方程为．
联立解得即，
点在定直线上．
（3）①当直线的斜率不存在时，，
由对称性不妨令，则，
此时，
由题可得，
故；
②当直线的斜率为0时，，
由对称性不妨令，则，
此时，
由题可得，
故；
③当直线的斜率存在且不为0时，设．
联立，
得，①
，
，则直线的方程为，
，
由题可得，位于轴两侧，故．即，
设，将直线代入椭圆的方程，
可得，
则有，
所以，将①代入得，
由直线与轴交于，
则．
故．
综上，的面积为定值．
5．（24-25高二上·广西河池·期末）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、
（i）求证：为定值;
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，定点
【详解】（1）由题意可知，，
由椭圆定义可得，点N的轨迹是以E， F为焦点的椭圆，
且长轴长，焦距，
所以，
因此曲线C方程为
（2）证明：设，，，
由题可知，，如下图所示，
则，，
而，于是，
所以，
又，则，
因此为定值；
由题意可知，直线PQ不可能与轴平行，
设直线PQ的方程为，，，易知
由，得，
，得
所以
由可知，，
即，
将代入化简得，解得或舍去，
所以直线PQ的方程为，
因此直线PQ经过定点
6．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆，椭圆：是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设为上异于其左、右顶点，的一点，
①当时，过P分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于M，N两点，求的最小值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②
【详解】（1）对于椭圆，则：为，
故椭圆中，
则：，则椭圆的离心率.
（2）①由题解得，
所以椭圆，
设，则直线的方程为，即，记，则的方程为，
将其代入椭圆的方程，消去，得，
因为直线与椭圆有且只有一个公共点，
所以，即，
将代入上式，整理得，
同理可得，
所以，为关于的方程的两根，
所以.又点在椭圆上，所以，
所以，为定值.
②椭圆，
其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，设，易知直线、的斜率均存在且不为0，
所以，
因为在椭圆上，所以，即，
所以.
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以直线的方程为.
由，得，
设，，则，，
所以
，
同理可得，
所以.
而，
当且仅当时等号成立.
7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为、．
①当时，求的值；
②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①0；②为定值，定值为0．
【详解】（1）由题意，得，解得，故的方程为．
（2）①当时，由题意得直线的方程为，联立，得，
即， 所以
②当变化时，是为定值0．
证明：设，，联立，得，
所以，即，且，
则，
所以
即为定值，定值为0．
8．（24-25高二上·重庆北碚·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线分别交于两点．
(1)若点在第二象限，且，求和圆的方程；
(2)若直线的斜率存在，并分别记为，求证：为定值．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）过作于，于，连接．如图：
由圆的方程，知圆的半径．
由，知．
又因为和圆相切，所以四边形为正方形．
所以．
由，解得．
所以圆的方程为．
（2）设过点的圆的切线方程为：，即.
则．
两边同时平方，化简得.
则，为方程的两解.
由韦达定理：.
又因为，所以．
所以，为定值．
考点三 定直线问题
【知识点解析】
动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下：
（1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程；
（2）整理：整理得二次方程，写韦达定理；
（3）翻译：表示动直线与方程；
（4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标；
（5）消参：消参，得定直线.
【例题分析】
1．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为M）交直线于点Q，（O为坐标原点）．过右焦点的直线交双曲线的右支于C，D两点，记，的内切圆的圆心分别为，．
(1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围．
(2)（ⅰ）证明：，在一条定直线上．
（ⅱ）求，到右顶点B的距离之差的取值范围．
【答案】(1)，
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）焦点，到渐近线的距离均为b，故．
由角平分线的性质可知，在中，OM是中位线，则有．
又，即．又，，，所以，，所以双曲线的标准方程为．
知，渐近线的倾斜角分别为，，
当CD是通径时，其倾斜角；
当CD不是通径时，可设其方程为，代入双曲线方程，整理可得，．
由，可得，所以或，
综上所述，．
（2）（ⅰ）设C在第一象限内，内切圆与，，的切点分别为R，S，T，
则，，，
所以．
因此，切点T是右顶点B，所以圆心在直线上；
同理，圆心也在直线上，从而在直线上．
（ⅱ）解：连接，，，，由（1）知，都垂直于，
且，平分，．知，．
当时，到右顶点B的距离之差为0．
当时，在，中，因为，所以，，
则，，所以．
因为，所以．
又，且，即或，所以或．
综上所述，，到右顶点B的距离之差的取值范围是．
2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长的最大值；
(3)已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【详解】（1）由得，又，
由在椭圆上，得，
椭圆的方程为.
（2）设，
，其中，
当时，取得最大值，最大值为.
（3）由知三点共线，且直线斜率存在且不为0，所以设直线方程为，
，
恒成立，
，
直线，令得，同理，
，
，
，
点在定直线上.
3．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、.
(1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程；
(2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线；
(3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）因为极点对应的极线l为，即，所以，
因为右焦点是，所以，所以，
所以椭圆C的方程为；
（2）当斜率存在时，设切线方程为， 联立椭圆方程，设切点，
可得，化简可得：
，
由题可得：
化简可得：，该方程只有一个根，记作，
，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，
由于，则，
则切线方程为：，
化简得：．
当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，
综上上一点,的切线方程为；
同理上一点,的切线方程为；
设，点在两个切线上，所以，
所以的直线方程为，根据极线定义直线MN为极点Q的极线；
（3）由题意，设点的坐标为(,)，
因为点在直线上运动，所以，
联立，得，
，该方程无实数根，
所以直线与椭圆C相离，即点在椭圆C外，又都与椭圆C相切，
所以点和直线是椭圆C的一对极点和极线.
对于椭圆，与点对应的极线方程为，
将代入，整理得，
又因为定点T的坐标与的取值无关，
所以，解得，所以存在定点恒在直线上.
当时，T是线段的中点，
设，直线的斜率为，
则，两式相减，
整理得，即，
所以当时，直线的方程为，即.
4．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知椭圆的右焦点为抛物线的焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线不垂直于轴时，过分别作轴的垂线，垂足分别为，记直线与的交点为.
（i）证明：点在定直线上，并求出的方程；
（ii）若的面积为，设直线与抛物线交于两点，求.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析，；（ii）.
【详解】（1）设，依题意得，
当时，，
又，所以，
故椭圆的标准方程为：.
（2）（i）因为直线与坐标轴不垂直，设直线的方程为，
设，
由，得，
则，可得，
又由条件知直线的斜率均存在，
则直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线和的方程，消去，得交点的横坐标为
，
同理，消去，得交点的纵坐标为，
所以的坐标为.
所以点在定直线上，且定直线的方程为.
（ii）解法一：依题意不妨令在轴上方，
则
，
由，得，
解得（舍去），
所以，得直线的方程为，
同理当时，直线的方程为，
联立，消去得，设，
得，
根据对称性得，当直线的方程为时，也有.
综上所述.
解法二：，
又因为到的距离为，
所以，
得，解得（舍去），
所以，得直线的方程为或，
联立，消去得到，
设，则，
得，
根据对称性得，当直线的方程为时，也有.
综上所述.
5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
【答案】(1)
(2)① ；②证明见解析
【详解】（1）由题意可知，，所以．
又，
所以椭圆的方程为；
（2）①设过点的直线方程为，点，
联立，得，
则，
则．
又因为点到直线的距离．
令，解得，
所以直线的方程为．
②由①知，
则直线，直线，
由，整理得．
由①知，得，
所以，
即，解得，
所以点在直线上．
6．（24-25高二上·安徽·期末）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设点，点，求的最大值;
(3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析.
【详解】（1）设，则，，
由，得，整理得，
故点P的轨迹方程E为.
（2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，，
故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为，
因为，所以点N在椭圆内，
由椭圆的定义得，
当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号，
所以的最大值为；
（3）设直线l的方程为，、，
由，得，
所以，，所以①，
由，得或
易知直线AC的方程为②，直线BD的方程为③，
联立②③，消去y，得，④，
联立①④，消去，则，解得，
即点G在定直线上，得证.
7．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）因为椭圆两个焦点为，所以，则，
又点在椭圆上，所以.即，
两式联立，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率存在，且不为0，设直线的方程为，
联立，得，
则，得，
设，则，
设直线的斜率分别为.
所以，
因为，
所以恒成立，则直线的倾斜角互补，即的平分线总垂直于轴，
所以的内心在定直线上.
8．（24-25高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，，是椭圆的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，
（i）若是线段中点，且点在第二象限，，求直线的方程；
（ii）若在线段上取一点满足，证明：点必在某条定直线上.
【答案】(1)
(2)（i）；（ii）证明见解析
【详解】（1）因为在椭圆上，所以①
因为的坐标是，的坐标是，所以的方程为，
由点到直线的距离为可得②
由①②联立可得的方程为.
（2）
由题知直线的斜率存在，设直线的斜率为，则直线方程为，
设，
（i）设，由题可知，，
设倾斜角为，易知的倾斜角为，，
所以，则直线方程为；
（ii）解法一：，，因为，，，四点共线，即有，
即得
不妨设在的右侧，，，，上式可化简为，
联立消去化简可得，
则，，
，代入直线方程，即，解得
由消去可得，则点必在定直线；
解法二：，，因为，，，四点共线，即有，
，
设，则，设，，，
由可得，由，可得，
、在椭圆上，，化简可得
，
两式相减得到，
点必在定直线上.
2
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$$解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题复习讲义
解析几何：定点问题、定值问题、定直线问题
考点一 定点问题
【知识点解析】
1.直线过定点问题
思路一：设所求直线的一般方程：，利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点.
思路二：设与所求直线相关的直线方程，翻译题目条件，整理出所求直线上两点的坐标，用两点式方程整理出直线方程，则该直线过定点.
思路三：过圆外一点作的两条切线，切点为、，求直线所过定点，求出以为圆心，为半径的的方程，再根据线段为和的公共弦，将两圆的方程相减可得直线的方程，令直线方程中参数项的自变量为得解.
2.圆过定点问题
思路一：整理出圆的方程，分离参数，令参数相乘的因式为0，得定点.
思路二：圆过定点问题的常见类型是以为直径的圆过定点P，求解思路是把问题转化为，也可以转化为.
【例题分析】
1．（2025·河北保定·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的一条渐近线垂直，分别为的左、右顶点，且到的两条渐近线的距离之和为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设为上异于的不同的两点，且直线的斜率与直线的斜率满足，证明：直线恒过定点.
2．（24-25高三下·河北邢台·阶段练习）椭圆的标准方程为，若将其绕原点逆时针旋转，得到的曲线方程为，如图所示．设椭圆的右焦点，则
(1)求椭圆的标准方程．
(2)点分别为椭圆的左、右顶点，直线上有一动点（不落在轴上），连接分别与椭圆交于两点、，
①问直线是否恒过定点？如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由．
②将椭圆关于直线对称得到椭圆，直线与椭圆交于、两点，求的取值范围．
3．（2025·辽宁·一模）已知向量绕着原点沿逆时针方向旋转角可得到向量.
(1)求点绕着原点沿逆时针方向旋转得到的点的坐标；
(2)已知曲线的方程为，点是曲线上任意一点.
（i）是否存在定点，使得为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由；
（ii）设直线过定点与曲线交于点，直线过定点与曲线交于点，，且，求四点构成的四边形面积的最小值.
4．（2025·河南·模拟预测）（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为；
（2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点．
5．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点．
(1)求点到的焦点之间的距离；
(2)证明：直线过定点．
6．（24-25高二下·四川达州·开学考试）已知点，分别为双曲线的左、右焦点，，实轴长为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若为双曲线的右顶点，四边形为矩形，其中点，在双曲线上，求证：直线过定点.
7．（24-25高三下·河北邯郸·开学考试）已知复数，在复平面内满足的点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)已知为坐标原点，直线与曲线交于两点，的面积为，求的值；
(3)曲线的左、右顶点分别为，设动点，直线与曲线分别交于（异于）两点，求证：直线过定点．
8．（24-25高二上·河南周口·期末）已知双曲线，其左顶点，离心率.
(1)求双曲线方程；
(2)过右焦点的直线与双曲线右支交于，两点，与渐近线分别交于点，，直线，分别与直线交于，.
（i）求的取值范围；
（ii）求证：以为直径的圆过定点，并求出该定点.
考点二 定值问题
【知识点解析】
1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
2.定值问题的解题思路是：
（1）设参数；
（2）用参数来表示要求定值的式子；
（3）消参数.
【例题分析】
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的动弦过椭圆C的右焦点F，当垂直x轴时，椭圆C在A，B处的两条切线的交点为M．
(1)求点M的坐标．
(2)若直线的斜率为，过点M作x轴的垂线l，点N为l上一点，且点N的纵坐标为，直线与椭圆C交于P，Q两点，证明：为定值．
2．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知双曲线：的左、右焦点分别为，点是上不与顶点重合的一动点，直线、分别交于另一点、.
(1)设，
①当时，求直线斜率的取值范围；
②求证：；
(2)为坐标原点，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由.
3．（24-25高三上·江苏南通·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点.定义第次操作为：经过上点作斜率为的直线与交于另一点，记关于轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.
(1)求的方程；
(2)若为的左顶点，经过3次操作后停止，求的值；
(3)若是在第一象限与不重合的一点，证明：的面积为定值.
4．（24-25高三下·江西·开学考试）已知为坐标原点，椭圆的短轴长为2，左，右焦点分别为，为上一动点，且当轴时，．
(1)求的标准方程；
(2)延长交于点，若直线的斜率为，线段的中点为，过作的垂线，直线与相交于点．证明：点在定直线上；
(3)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交于点，探究的面积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
5．（24-25高二上·广西河池·期末）如图，圆E的圆心为，半径为4，是圆E内一个定点，M是圆E上任意一点.线段FM的垂直平分线L和半径EM相交于点N，当点M在圆上运动时，记动点N的轨迹为曲线
(1)求曲线C的方程;
(2)设曲线C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为曲线C上异于A，B的动点，设PB交直线于点T，连结AT交曲线C于点直线AP、AQ的斜率分别为、
（i）求证：为定值;
（ii）证明直线PQ经过x轴上的定点，并求出该定点的坐标.
6．（24-25高二上·辽宁大连·期末）在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆，椭圆：是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设为上异于其左、右顶点，的一点，
①当时，过P分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于M，N两点，求的最小值.
7．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上一点，且点到点，的距离之和为．
(1)求的方程；
(2)直线与交于，两点，记直线，的斜率分别为、．
①当时，求的值；
②当变化时，试探究是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
8．（24-25高二上·重庆北碚·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知是椭圆上的一点，从原点向圆作两条切线分别交于两点．
(1)若点在第二象限，且，求和圆的方程；
(2)若直线的斜率存在，并分别记为，求证：为定值．
考点三 定直线问题
【知识点解析】
动直线与圆锥曲线相交于、两点，、为圆锥曲线上两定点，求动直线与得交点所在定直线.求解思路如下：
（1）联立：联立直线与圆锥曲线的方程；
（2）整理：整理得二次方程，写韦达定理；
（3）翻译：表示动直线与方程；
（4）二次联立：联立动直线与方程，求交点坐标；
（5）消参：消参，得定直线.
【例题分析】
1．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为M）交直线于点Q，（O为坐标原点）．过右焦点的直线交双曲线的右支于C，D两点，记，的内切圆的圆心分别为，．
(1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围．
(2)（ⅰ）证明：，在一条定直线上．
（ⅱ）求，到右顶点B的距离之差的取值范围．
2．（24-25高三上·河北保定·期末）已知椭圆过点，其离心率，点为椭圆的上顶点，过点的两条直线与椭圆分别交于两点，与直线分别交于两点，的重心为点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求弦长的最大值；
(3)已知点，若，其中且，证明：当在变化时，重心在一条定直线上，并求出这条定直线方程.
3．（2025·陕西西安·一模）已知圆锥曲线G：，称点和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线，其中极线方程是将圆锥曲线以替换，以替换x（另一变量y也是如此）.特别地，对于椭圆，点对应的极线方程为.已知椭圆C：，椭圆C的左、右焦点分别为、.
(1)若极点对应的极线l为，求椭圆C的方程；
(2)当极点Q在曲线外时，过点Q向椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，证明：直线MN为极点Q的极线；
(3)已知P是直线上的一个动点，过点P向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由.
4．（24-25高三下·福建龙岩·阶段练习）已知椭圆的右焦点为抛物线的焦点，过点的直线交椭圆于两点，当直线垂直于轴时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)当直线不垂直于轴时，过分别作轴的垂线，垂足分别为，记直线与的交点为.
（i）证明：点在定直线上，并求出的方程；
（ii）若的面积为，设直线与抛物线交于两点，求.
5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）．
①若的面积为，求直线的方程；
②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上．
6．（24-25高二上·安徽·期末）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线
(1)求点P的轨迹E的方程;
(2)设点，点，求的最大值;
(3)过点作直线l交曲线E于C、D两点，连接AC、BD交于点证明：点G在定直线上.
7．（24-25高二上·山西阳泉·期末）已知椭圆的两个焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点的直线与椭圆交于两点，求证：的内心在一条定直线上.
8．（24-25高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点在椭圆：上，，是椭圆的右顶点和上顶点，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆外一点任作一条直线与椭圆交于不同的两点，
（i）若是线段中点，且点在第二象限，，求直线的方程；
（ii）若在线段上取一点满足，证明：点必在某条定直线上.
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