第六章《计算原理》同步单元必刷卷（培优卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章《计算原理》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 【答案】D 【分析】由分步乘法原理计算． 【详解】由题意，每个同学有2种选择，故不同报名方式为. 故选：D 2．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得， 故所求即为. 故选：A. 3．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（    ） A．248种 B．168种 C．360种 D．210种 【答案】D 【分析】根据分类加法原理，结合组合、排列的定义进行求解即可. 【详解】根据题意进行分类： 第一类：甲、乙、丙每人分得2本，（种）； 第二类：甲分得2本，乙、丙两人中一人分得1本另一人分得3本，（种）. 所以由分类加法计数原理可得共有种不同的分法． 故选：D. 4．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】分类讨论单调性，结合排列数、组合数运算求解. 【详解】若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若和在上单调递增，在上单调递减， 则有个； 若、和在上单调递增，则有个； 综上所述：共有个. 故选：B. 【点睛】方法点睛：两个计数原理的应用技巧 （1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理． （2）对于复杂的两个计数原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化． 5．设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 【答案】A 【分析】利用赋值法令可计算得出，再令求出，构造方程组计算可得. 【详解】因为， 令，即可得， 令，即可得，可得，所以； 令，即可得， 得，得， 所以. 故选：A. 6．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 【答案】B 【分析】将第一个和最后一个先安排为公益广告，然后由商业广告不能3个连续播放，将其排成一列，之间有两个空，将剩下的公益广告插进去即可. 【详解】先从3个不同的公益广告中选两个安排到第一个和最后一个播放有种方法， 然后将3个不同的商业广告排成一列有种方法， 3个不同的商业广告之间有两个空，选择一个将剩下的一个公益广告安排进去即可， 所以总共有：种方式. 故选:B 7．设，则（    ） A．10206 B．5103 C．729 D．728 【答案】A 【分析】首先两边同时取导数，再写出展开式的通项，最后利用赋值法计算可得； 【详解】解：因为， 两边同时取导数得， 其中展开式的通项为， 所以当为奇数时系数为负数，为偶数时系数为正数， 即，，，，，，， 令，则， 所以； 故选：A 8．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ） A．48 B．54 C．60 D．72 【答案】C 【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况. 【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人， 共有 种方法； 由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选， 所以由 种方法； 按照分步乘法原理，共有 种方法； 故选：C. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 【答案】AC 【分析】对于A，根据社区A必须有同学选择，由甲､乙､丙三名同学都有5种选择减去有4种选择求解；对于B，根据同学甲必须选择社区A，有乙丙都有5种选择求解；对于C，根据三名同学选择的社区各不相同求解；对于D，由甲､乙两名同学必须在同一个社区，捆绑再选择求解； 【详解】对于A，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有（种），故A正确； 对于B，如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有（种），故B错误； 对于C，如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有（种），故C正确； 对于D，甲､乙两名同学必须在同一个社区，第一步，将甲､乙视作一个整体，第二步，两个整体挑选社区，则不同的安排方法共有（种），故D错误. 故选：AC. 10．已知二项展开式，下列说法正确的有（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C．的展开式中的二项式系数最大值是 D．，其中为虚数单位 【答案】BC 【分析】结合二项式系数的性质、系数的性质及对数的运算计算即可得. 【详解】， 对A：令，即，则，故A错误； 对B：令，即，故各项系数之和为，故B正确； 对C：由，故二项式系数中的最大值为，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 11．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（   ） A．4个空位全都相邻的坐法有720种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C．4个空位均不相邻的坐法有1800种 D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种 【答案】AC 【分析】对于A，用捆绑法即可;对于B，先用捆绑法再用插空法即可；对于C，用插空法即可；对于D，用插空法的同时注意分类即可. 【详解】对于A,将四个空位当成一个整体，全部的坐法：，故A对； 对于B，先排5个学生，然后将三个相邻的空位当成一个整体，和另一个空位插入5个学生中有中方法，所以一共有种，故B错； 对于C，先排5个学生，4个空位是一样的，然后将4个空位插入5个学生中有种， 所以一共有，故C对； 对于D，至多有2个相邻即都不相邻或者有两个相邻，由C可知都不相邻的有1800种， 空位两个两个相邻的有： ，空位只有两个相邻的有，所以一共有种，故D错； 故选：AC 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个. 【答案】 【分析】能被整除的三位数末位数字是或，分成末位数字是5和末位数字是0两种情况讨论. 【详解】能被整除的三位数说明末尾数字是或 当末尾数字是时，百位数字除了有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法； 当末尾数字是时，百位数字有种不同的选法，十位有种不同的选法，根据分步乘法原理一共有种方法； 则一共有种 故答案为： 13．已知，则 ． 【答案】80． 【分析】根据二项式定理写出通项，由通项可得所求项的系数和. 【详解】通项， 依题意，，，， 所以． 故答案为: 80． 14．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 【答案】 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种， 设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则， 故，故， 故， 若，则，则为：，故有2种， 若，则，则为：， ，故有10种， 当，则，则为： ， ， 故有16种， 当，则，同理有16种， 当，则，同理有10种， 当，则，同理有2种， 共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为， 故所求概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．若，其中． (1)求m的值； (2)求； (3)求． 【答案】(1)1 (2)255 (3)0 【分析】（1）写出展开式的通项，然后由条件可得答案； （2）分别令、可得答案； （3）令可得，然后利用平方差公式可得答案. 【详解】（1）的展开式的通项为， 所以，所以，解得； （2）由（1）知，令，可得， 令，可得，所以； （3）令，可得， 由（2）知， 所以． 16．从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 【答案】(1)120 (2)360 【分析】（1）利用组合计数，求选择的方法数； （2）利用分步计数原理，结合组合数和排列数的计算，求选派的方法数. 【详解】（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动， 选择方法数为种. （2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有种， 故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为种. 17．为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可； （2）首先讨论有限制的、、有哪些人上场，其次若、同时上场，则利用捆绑法，求解即可. 【详解】（1）队伍分配方案可分为：①两组都是3女2男；②一组是1男4女，另一组是3男2女， ①若两组都是3女2男， 则先将6女平均分成两组共种方式， 再将4男平均分成两组共种方式， 所以两组都是3女2男的情况有种； ②一组是1男4女，另一组是3男2女的情况有种， 所以总情况数为种. 故一共有种不同的分组方案； （2）总共可分为三种情况，如下： ①若上场且不上场： 先将全排列，共有种方式， 再把捆绑后和全排列共有种方式， 所以上场且不上场共有种不同的排列方式； ②若上场且也上场： （i）若在1号位，先将全排列，共有种方式， 再从中选两人，有种方式， 则捆绑后和中的两人全排列，有种方式， 所以在1号位共有种不同的方式； （ii）若在2号位， 再将全排列，且可位于3，4号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iii）若在3号位， 再将全排列，且可位于1，2号位或4，5号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在2号位或3号位共有种不同的方式； （iiii）若在4号位， 将全排列，且可位于1，2号位或2，3号位，共有种方式， 再从中选两人进行排列，有种方式， 所以在4号位共有种不同的方式. 所以上场且也上场共有种不同的方式； ③若中有一人上场且上场： 上场且不在5号位，则可位于1，2，3，4号位，有种方式， 再从中选一人，有种方式， 中的一人和共4人全排列，共种方式， 所以中有一人上场且上场共有种不同的排列方式. 综上所述，共有种排列方式. 18．设.已知. （1）求n的值； （2）设，其中，求的值. 【答案】（1）； （2）-32. 【分析】(1)首先由二项式展开式的通项公式确定的值，然后求解关于的方程可得的值； (2)解法一：利用(1)中求得的n的值确定有理项和无理项从而可得a,b的值，然后计算的值即可； 解法二：利用(1)中求得的n的值，由题意得到的展开式，最后结合平方差公式即可确定的值. 【详解】（1）因为， 所以， ． 因为， 所以， 解得． （2）由（1）知，． ． 解法一： 因为，所以， 从而． 解法二： ． 因为，所以． 因此． 【点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力. 19．数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 【答案】(1)（ⅰ），，；（ⅱ）证明见解析 (2)当时，为整数. 【分析】（1）（ⅰ）根据的定义，结合通项公式求解即可；（ⅱ）根据递推公式构造即可证明； （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为，可得，结合进而可得，从而分析为整数当且仅当为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可. 【详解】（1）（ⅰ）由，易得，…… 由一阶等差数列的定义得： ，，. （ⅱ）因为，所以当时有， 所以，即， 即，又因为，故是以1为首项，2为公比的等比数列， 即是一阶等比数列. （2）由题意的二阶等差数列为等比数列，设公比为， 则，，所以. 由题意，所以， 所以， 即. 所以为整数当且仅当为整数. 由已知时符合题意，时不合题意， 当时，， 所以原题等价于为整数， 因为①， 显然含质因子3，所以必为9的倍数， 设，则，将代入①式， 当为奇数时，为偶数，①式为2的倍数； 当为偶数时，为奇数，为偶数，①式为2的倍数， 又因为2与9互质，所以①为整数. 综上，当时，为整数. 【点睛】方法点睛： （1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解； （2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《计算原理》同步单元必刷卷（培优卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（    ） A．10种 B．20种 C．25种 D．32种 2．在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 3．老师有6本不同的课外书要分给甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至少分得一本，则不同的分法有（    ） A．248种 B．168种 C．360种 D．210种 4．已知集合，若且互不相等，则使得指数函数，对数函数，幂函数中至少有两个函数在上单调递增的有序数对的个数是（    ） A．16 B．24 C．32 D．48 5．设满足，则（   ） A．120 B． C．40 D． 6．某电视台计划在春节期间某段时间连续播放6个广告，其中3个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求第一个和最后一个播放的必须是公益广告，且商业广告不能3个连续播放，则不同的播放方式有（    ） A．144种 B．72种 C．36种 D．24种 7．设，则（    ） A．10206 B．5103 C．729 D．728 8．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（    ） A．48 B．54 C．60 D．72 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某校高二年级安排甲､乙､丙三名同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每名同学只能选择一个社区进行实践活动，且多名同学可以选择同一个社区进行实践活动，则下列说法正确的有（    ） A．如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 B．如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有50种 C．如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有60种 D．如果甲､乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 10．已知二项展开式，下列说法正确的有（    ） A．的展开式中的常数项是 B．的展开式中的各项系数之和为 C．的展开式中的二项式系数最大值是 D．，其中为虚数单位 11．现将9把椅子排成一排，5位同学随机就座，则下列说法中正确的是（   ） A．4个空位全都相邻的坐法有720种 B．4个空位中只有3个相邻的坐法有1800种 C．4个空位均不相邻的坐法有1800种 D．4个空位中至多有2个相邻的坐法有9000种 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．由数字组成没有重复数字的三位数，则能被5整除的三位数共有 个. 13．已知，则 ． 14．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中无放回地随机取3次，每次取1个球.记为前两次取出的球上数字的平均值，为取出的三个球上数字的平均值，则与之差的绝对值不大于的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．若，其中． (1)求m的值； (2)求； (3)求． 16．从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动. (1)共有多少种不同的选择方法？ (2)若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？ 17．为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛. (1)一共有多少不同的分组方案？ (2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了、、、、、六名女老师进行训练，经训练发现不能站在5号位，若、同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？ 18．设.已知. （1）求n的值； （2）设，其中，求的值. 19．数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，…．如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列． (1)已知数列满足，． （ⅰ）求，，； （ⅱ）证明：是一阶等比数列； (2)已知数列为二阶等比数列，其前5项分别为，求及满足为整数的所有n值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$