第六章《计算原理》同步单元必刷卷（基础卷）-2024-2025学年高二数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章《计算原理》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（    ）种练习的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 【答案】B 【分析】根据练习唱歌的课间个数进行分类讨论，利用列举法来求得正确答案. 【详解】七个课间编号为， 如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案， 若有两个课间练习，选法有， 共种方案， 三个课间练习，选法为，共种， 故总数为种. 故选：B 2．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 【答案】A 【分析】由写出其通项公式，依题意对赋值即可求得. 【详解】因，其二项展开式的通项为： ， 而是的系数，故只需取，得， 即. 故选：A. 3．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解法一：画出树状图，结合古典概型概率公式即可求解. 解法二：分类讨论甲乙的位置，结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解. 【详解】解法一：画出树状图，如图， 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法， 其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种， 故所求概率. 解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种； 当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种； 于是甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，于是共种排法符合题意； 基本事件总数显然是， 根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为. 故选：B 4．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（    ） A．50 B．36 C．26 D．14 【答案】A 【分析】按照和分组讨论安排. 【详解】（1）按照分3组安装， ①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种， ②若志愿者甲和另一个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种， （2）按照分3组安装， ①若志愿者甲单独安装吉祥物“宸宸”，则共有种， ②若志愿者甲和另两个人合作安装吉祥物“宸宸”，则共有种， 故共有种， 故选：A. 5．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．20 D．30 【答案】A 【分析】利用二项式定理展开式的通项公式进行计算即可. 【详解】， 其展开式的通项公式为， 令，则， 而的展开式的通项公式为： ， 令，则的展开式中的系数为: , 故选：A. 6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【答案】C 【分析】本题只需考虑游泳场有2名志愿者和1名志愿者两种情况即可. 【详解】①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种， ②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种， 所以不同的安排方法有种. 故选：C 7．已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（    ） A．16 B．32 C．24 D．48 【答案】D 【分析】应用二项式定理确定展开式中含的项求出参数值，再应用赋值法求偶次方的系数和. 【详解】由展开式通项为，， 令，则；令，则； 所以的展开式中含的项为， 即，故， 设， 令，则， 令，则， 两式相加得. 故选：D 8．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先算出任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数的个数，再讨论个位是偶数并分2在或不在个位计数，以及个位是奇数并分1在或不在个位计数，最后求目标概率. 【详解】将3个偶数排成一排有种，再将3个奇数分两种情况插空有种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的6位数有种， 任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分两种情况讨论： 当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有种； 2不在个位：将4或6放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数，此时有种； 所以个位是偶数共有20种； 同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种， 所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是. 故选：C 【点睛】关键点点睛：对任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻做计数时，注意讨论特殊位置上放置偶数或奇数，进而分1、2是否在该位置的情况计数. 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 【答案】ABD 【分析】根据分类分步计数原理,平均分组及不平均分组,隔板法等分别判断各个选项即可. 【详解】对于A:,故A正确； 对于B:不同的分组，2组2个，3组1个或1组3个，4组1个， 即或所以有种，故B正确； 对于C:应用隔板法，C选项等价于8个相同的球,放入3个不同的盒子里，每个盒子至少放1个, 所以有种, 故C错误； 对于D:由于球和盒子相同，所以存放的区别在于盒子里球的个数， 存放1个盒子，将7个球放入1个盒子，有1种存放方式； 存放2个盒子，有3种； 存放3个盒子，有4种； 共有8种，故D正确. 故选：ABD. 10．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误. 【详解】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 11．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法 B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法 【答案】CD 【分析】利用平均分配和部分平均分配原则一一计算可判定选项. 【详解】对于A，根据平均分组可知有，故A错误； 对于B，先选一人得4本书，有种方法，余下2本书分给两人有2种分法， 所以共有90种方法，故B错误； 对于C，先分给甲乙两人有种方法，余下2本书分给两人有2种分法， 所以共有180种方法，故C正确； 对于D，按照分步乘法计数原理知，所以D正确. 故选：CD 【点睛】思路点睛：对于平均分组或局部平均分组问题需要注意重复的部分，仔细计算即可. 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 . 【答案】 【分析】求出展开式有几项，并写出的展开式的通项，即可得到展开式中的常数项. 【详解】由题意， 在中，展开式中第3项与第8项的二项式系数相等， ∴，解得：， 因此的展开式的通项为：， 故的展开式中的常数项为. 故答案为：. 13．一个劳动小组有名同学，其中名女生，名男生．从这个小组中任意选出名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 ． 【答案】 【分析】根据条件，求出基本事件的总数及既有男生又有女生的基本事件的个数，利用古典概率公式，即可求出结果. 【详解】一个劳动小组有3名同学，其中2名女生，1名男生， 所以从这个小组中任意选出2名同学基本事件总数为， 选出的同学中既有男生又有女生包含的基本事件个数为， 则所求事件的概率为， 故答案为：． 14．某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 【答案】16 【分析】根据题意，1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式，分为若第1，2个环节运输方式相同，和第1，2个环节运输方式不相同两类，分类分步研究可解. 【详解】快递从甲送到乙有4种运输方式，且第5个环节从d，e两种运输方式中选一种， 1，2，3，4个环节必须包含三种不同的运输方式， 若第1，2个环节运输方式相同，则只能都选，则3，4个环节一个选，一个选， 则有种， 若第1，2个环节运输方式不相同，则已经包含两种运输方式， 则3，4个环节一个选，一个选，或者都选， 则由种， 快递从甲送到乙有4种运输方式的运输顺序共有种. 故答案为：16． 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）求值:； （2） 解不等式:. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据组合数性质进行计算，然后可求结果； （2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算求解出不等式解集. 【详解】（1）因为，所以， 原式 ； （2）因为， 所以， 化简可得，解得， 所以不等式解集为. 16．现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 【答案】(1)945 (2)84 【分析】（1）根据平均分组的分配规律，结合组合数的计算，即可得答案； （2）结合题意，利用隔板法即可求得答案. 【详解】（1）根据平均分配规律，则平均分配5个组共有种方案. （2）10名运动员排成一排，中间形成9个空隙，选6个位置插入隔板， 则分成7组，故分配方案共有种. 17．设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)-2； (2)-2； (3)128. 【分析】（1）根据二项式定理得到方程，求出； （2）赋值得到，，计算出答案； （3）令得到答案. 【详解】（1）根据二项式定理可得， ，解得； （2）由（1）知，，令得 再令得 所以； （3）在式子中， 令可得 18．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2187 【分析】（1）求即求的系数，利用通项公式求解； （2）采用赋值法，令和，可解. 【详解】（1）求即求的系数． ． 当，即项时，． （2）由展开式可知均为正值，均为负值， 故 当时，， 当时，， 所以， ， 故． 19．卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 (1)证明是卡特兰数； (2)求的通项公式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）若先走到，则合法路径，一直累积计算到合法路径总数为，则其为卡特兰数； （2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点，记第一个交点为，通过对称得到总路线和不合法路线，两者相减即可. 【详解】（1）若先走到则合法路径， 若先走到且不走到， 相当于走到后向右走到再走到， 合法路径 若先走到且不走到， 相当于走到后再从走到， 合法路径， 于是，即为卡特兰数. （2）记直线，则所有不合法路线都会与直线有交点， 记第一个交点为， 将之后的路径都沿着对称， 那么这条不合法路径的终点成为了， 于是总路线为，不合法路线为， 合法路径为， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章《计算原理》同步单元必刷卷（基础卷） 一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1．小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间不唱歌让他休息，则小明一共有（    ）种练习的方案. A．31 B．18 C．21 D．33 2．若，则（    ） A．180 B． C． D．90 3．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 4．2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（    ） A．50 B．36 C．26 D．14 5．的展开式中的系数为（    ） A． B． C．20 D．30 6．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲､乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳､射击､体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（    ） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 7．已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（    ） A．16 B．32 C．24 D．48 8．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（    ） A． B． C． D． 二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列选项正确的是（    ） A．有7个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有2520种 B．有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种 C．有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种 D．有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种 10．若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 11．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（    ） A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法 B．分给甲、乙、丙三人，一人4本，另两人各1本，有180种分法 C．分给甲、乙每人各2本，分给丙、丁每人各1本，有180种分法 D．分给甲、乙、丙、丁四人，两人各2本，另两人各1本，有1080种分法 三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的常数项为 . 13．一个劳动小组有名同学，其中名女生，名男生．从这个小组中任意选出名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为 ． 14．某快递公司将一个快件从寄件人甲处揽收开始直至送达收件人乙，需要经过5个转运环节，其中第1，2两个环节各有两种运输方式，第3，4两个环节各有两种运输方式，第5个环节有两种运输方式.则快件从甲送到乙恰用到4种运输方式的不同送达方式有 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1）求值:； （2） 解不等式:. 16．现有10个运动员名额，作如下分配方案. (1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？ (2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？ 17．设，，已知 (1)求实数的值； (2)求的值； (3)求的值. 18．已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 19．卡特兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列．以比利时的数学家欧仁·查理·卡特兰（1814-1894）命名．历史上，清代数学家明安图（1692年-1763年）在其《割圜密率捷法》最早用到“卡特兰数”，远远早于卡塔兰．有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡特兰数”．卡特兰数是符合以下公式的一个数列：且．如果能把公式化成上面这种形式的数，就是卡特兰数．卡特兰数是一个十分常见的数学规律，于是我们常常用各种例子来理解卡特兰数．比如：在一个无穷网格上，你最开始在上，你每个单位时间可以向上走一格，或者向右走一格，在任意一个时刻，你往右走的次数都不能少于往上走的次数，问走到，0≤n有多少种不同的合法路径．记合法路径的总数为 (1)证明是卡特兰数； (2)求的通项公式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$