江西省赣州市文清香江高级中学2025届高三数学模拟试卷五

赣州市2025届高三数学模拟试卷五 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题共58分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．若集合，则( ) A． B． C． D． 2．已知纯虚数满足，则实数的值为( ) A．2 B．1 C． D． 3．已知等差数列前项和为，若，则( ) A． B． C． D． 4．已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72，则该展开式中的常数项为( ) A． B． C． D． 5．某届全国青少年人工智能创新挑战赛，甲、乙、丙、丁、戊5名学生进入决赛，现采用抽签法决定决赛出场顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，“学生丙第一个出场”的概率为( ) A． B． C． D． 6．若，对恒成立，则( ) A． B． C． D． 7．已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为( ) A． B．3 C． D． 8．近年来，贵州乡村篮球赛(村“BA”)以其独特的魅力迅速走红，不仅吸引了全国的目光，更赢得了全世界的关注．这一成功的背后，得益于篮球作为世界第二大运动的广泛影响力．已知某“篮球”的表面上有四个点，连接这四点构成三棱锥如图所示，顶点A在底面的射影落在内，它的体积为，其中和都是边长为的正三角形，则该“篮球”的表面积为( ) A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的是( ) A．若一组样本数据(，2，，n)的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为 B．若样本数据，，…，的方差为5，则数据，，，的方差是20 C．已知随机变量，若，，则 D．按从小到大排序的两组数据：甲组：；乙组：24，n，33，44，48，52，若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则 10．在直三棱柱中，，，是侧面 (含边界)内的动点，为的中点，且，为线段上的中点，为线段上的中点，则( ) A．动点的轨迹是线段 B．三棱锥的体积为定值 C．直线与直线所成角的正弦值的最小值是 D．面与面所成角为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，且 ，当时，，且，则( ) A．为偶函数 B． C．在上单调递增 D． 第Ⅱ卷(非选择题共92分) 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则 ． 13．若，则的最大值为 ． 14．已知函数．①对所有n都有成立，则的最小值 是 ；②当时，，记前项积为，若恒成立，整 数的最小值是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 已知的内角的对边分别为，已知． (1)求角； (2)设的中点为，若，且，求的面积． 16．(15分) 如图，已知四棱锥，，侧面为正三角形，底面是边长为4的菱形，侧面与底面所成的二面角为120°． (1)求四棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值． 17．(15分) 已知椭圆过点，且离心率为，的右焦点为，过的直线交于两点． (1)求的方程； (2)记线段的垂直平分线交直线于点，当最大时，求的方程． 18．(17分) 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 19．(17分) 对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”． (1)写出集合的一个“有趣的”四元子集； (2)证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集； (3)证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 赣州市 202 5 届模拟考试五 高 三 数学答题卡 ) ( 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ) ( 贴条形码区 ) ( 姓名 考号 班级 考场 准 考 证 号 [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] ) ( 缺考标记 (考生禁填) ) ( 填涂样例 正确填涂 ■ ) ( 请在各题目的答题区域内作答, 超出矩形边框限定区域的答 案无效 一 、选择题（每小题 5 分 ，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（每小题 6 分 ，部分选对得部分分 ，全部选对得 6 分 ，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题 5 分 ，共 15 分） 12 ． ． 13 ． ． 14 ． ． 请勿在此区域答题 ) 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 四 、解答题（5小题，共77分） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 赣州期末考试高二数学答题卡 第1页 共2页 赣州期末考试高二数学答题卡 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 17．（15分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 $$赣州市2025届高三数学模拟试卷五参考答案 一、单选题(共40分) 2 题号 3 4 6 7 答案 B D C B D C C 二、多选题(共18分) 题号 10 9 11 答案 BCD ABC BCD 三、填空题(共15分) ## 12.x=-2或x-1:13 14.17:3. 四、解答题(共77分) sinAa 15. 解:(1)在AABC中,由正弦定理得; .................1分 a2} sinA a2} 因为, 所以一, a+c2-b2= #,^0-= sinC .......................2分 C 化简得,a2+c2-b2=ac, .........................................3分 a2+c2-b2 1 在 ABC中,由余弦定理得,cosB= 2ac ...................4分 #. 又因为0<A<π,所以B-” .....................................6分 cac ..................................8分 在AABC中,由余弦定理得^=a+c-ac② ............................9分 ...........................11分 又a-c=1,解得a=3,c=2. ......................................12分 所以AABC的面积s-aesinB-x3x2x3. ......................13分 16.解:(1)过点P作PO垂直于平面ABCD,垂足为O,连接B0交AD于E, 连接PE, 则有PO1AD.PB1AD, 又POoPB=P,所以AD1平面POB 因为PEC平面POB,所以AD1PE; .3分 又PA=PD,所以E为AD得中点 2r 依题侧面PAD与底面ABCD 所成的二面角为120*,即有之PEB= ............. #3. 4#38 ) (2)如图,在平面ABCD 内过点O作OB 得垂线Ox,依题可得OP,OB.Ox两两垂直, 以OP.OB.Ox为z轴,v轴,x轴建立空间直角坐标系 因为AP=AB,所以AV1PB, 由(1)AD1平面POB, BC / AD,知BC1平面POB所以BC 1PB, ....... ##-#) BC=(2.0.0), , .........分. , .........................14分 7 所以二面角A-PB-C的正弦值为 ........................15分 17.解:(1)依题意,得 ....................分 3=b^+c 2 [a-2 解得b=1 . ......................... c=1 (3)设A(x,y),B(x,V),由题意得,直线/的斜率不为0,故设/为x=my+1. (x-ny+1 消去x得,(m}+2)y2+2my-1=0. △>0,因此 {}2' ...................................9分 1+m^#4m{}+4(m2+2)2V2(1+m^). 所以{AB=1+m{(y+y)}-4yy= n{+2 n2+2 ..................................1分 .+2n .。=my。+1=- 设线段AB的中点为G,则y。= 2 2 m+2 {+2' 所以({MG)# 1+-1-2- 1^}{^4). m{2+2 m2+2 ..................12分 1A#、1+# 所以tan _AMB 2 MG n2+4 AMB21+}226 m2+4=7+3= 6. ............................14分 当且仅当t=3,即n=+2时等号成立, 当<AMB 最大时,zAMB也最大,此时直线/的方程为x=土2y+1 即$x+2y-1=0或x-2-1= ..................分 18.解:(1)由题可知/”(x)=m-1,xe(1,+oo), x 且f(x)在定义域上单调递增, 分 当mso时,f”f(x)=m--<0恒成立,此时f(x)在(1,+co)上单调递减, r ......................................2分 f(x)<0' 此时f(x)单调递减: ##_)# f(x)>0' 此时f(x)单调递增, ..........................4 分 f(x)单调递增, n ..........................5分 综上,当m<0时,f(x)在(1,+2)上单调递减; 当0 1时,f(1)在(1) #在() 上单调递减, 上单调递增; 当n>1时,fx)在(1.+o)上单调递增 ...........................6分 (2)因为xE(1,+o0),所以x2-x>0, ................................7分 又e(“-1ī.f(x)②x*}-x,所以f(x)>0,即mx-lnx→0, ...................................8分 当xE(1.e)时,(x)→0,(x)为增函数, 当xe(e,+oo)时,(x)<0,(x)为减函数, ................................10分 e 将e{m-l)rf(x)②x}-x两边同时取以e为底的对数可得 (m-1)x+1+ln(mx-lnx)>lnx+ln(x-1). 整理可得(mx-lnx)+ln(mx-lnx)>(x-l)+In(x-1) ....................11分 令g(t)=1+lnt,则g(mx-lnx)>g(x-1),且g(t)在(0,+oo)上单调递增, 因为nx-lnx>0且x-1>0; 所以mx-lnx>x-1在1.+oo]上恒成立, 所以mx+Inx-1 lnx-1 =1+ 恒成立, ...................................13分 lnx-1,则n”(x)2 令h{x)= 2-lnx 当xe(1.e2})时,h(x)>0,(x)单调递增, } 当xE(e^②},+c)时,h(x)<0,h(x)单调递减, ............................15分 1 ...............................16分 e ..........................17分 19.解:(1)1.2.3.5 (符合要求即可): ............................3分 (2)假设可以划分 :ab-cd=1.:.ab和cd一定是一个奇数一个偶数, .a.b.c.d中至多两个偶数 则对于1.2.3,4.5.6.7.8 的一种符合要求的划分a,b,c,d和abc,d 每个四元子集中均有两个偶数 若两个集合分别为2,4.c,d和6.8,c,d, 则c.d.=47或49,不存在cd.使得6.8.c,d. 符合要求; 若两个集合分别为2,6,c,d和4.8,c,d, 则c.d.=11或13,不存在c,d使得2,6,c,d符合要求: ......................7分 若两个集合分别为2,8,c,d和4.,6,c,d, 则cd=23或25,不存在c,d.使得4.6,c,d符合要求; ............8分 综上所述, 1.2.3.4.5.6.7.8 不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集, ..........................9分 (3)假设1,2,..,4n可以划分为n个两两不相交的“有趣的”四元子集S,S,-,S.. ·.每个子集中至多两个偶数,又1.2...,4n中恰有2n个偶数 .每个子集中均有两个偶数 .对于1<i<n,可设S=a,b,cd,其中a,b是偶数,c.d.为奇数, 再由奇偶性,只能是ab一cd三土1 .................................13分 ·ab=cd.+1<c.d.+1<(c.+1)(d.+1) 且,b,a,b,,a,b=2,4,4n,C.,d,c,d,,c.,d.=1,3, , 4n-1. :2-4...4n=a,baba.b<(c.+1)(d+1)(c+1)(d+1).(c.+1)(d.+1)=2.4..4n, 矛盾. ·1.2....4n不能划分为n个两两不相交的有趣的”四元子集 ...............17分