江西省赣州市文清香江高级中学2025届高三数学模拟试卷四

赣州市2025届高三数学模拟试卷四 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题共58分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1．已知等差数列的前n项和为，若，则( ) A．102 B．204 C．306 D．408 2．已知数据成等差数列，平均数、方差均为4，则这组数据的极差为( ) A． B． C． D． 3．已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线的焦点与的右焦点重合，为两曲线的交点，且的面积为，则的离心率为( ) A． B． C． D． 4．新高考选科是指在新高考改革下设计的“”选科模式，赋予了学生充分的自由选择权，可以自主决定科目组合．其中“3”表示语文、数学和英语这三门必考科目，“1”表示必须从物理和历史中选考一门科目，“2”表示要从化学、生物、政治和地理中选考两门科目．为帮助甲、乙两名学生合理选择选考科目，将其高一年级的成绩综合指标值(指标值满分为5分，分值越高成绩越优)整理得到雷达图，则下列选择最合理的是( ) A．选考科目甲应选化学、历史、地理 B．选考科目甲应选物理、化学、历史 C．选考科目乙应选政治、历史、地理 D．选考科目乙应选物理、政治、历史 5．已知圆经过点，点为圆上动点，则由四个点构成的四边形面积最大值为( ) A． B． C． D． 6．已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的范围是( ) A． B． C． D． 7．已知函数的图象如图所示，若先将函数的图象向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半得到函数的图象，则( ) A．0 B．1 C． D． 8．已知函数，，若对于任意，恒成立，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，且，则下列结论正确的是( ) A． B．若，则 C． D． 10．已知正方体的体积为8，为的中点，为正方体表面上一动点，则( ) A．当点在上运动时，四棱锥的体积不变 B．当点在棱上运动时，的最小值为 C．当点在的中点时，过三点截此正方体所得的截面面积为 D．当点在平面上运动时，若，则点的轨迹长度为 11．点在所在的平面内，则以下说法正确的有( ) A．若，则点为的外心 B．若，则动点的轨迹一定通过的重心 C．若角的平分线交于点，且，，则面积的最大值为3 D．若，则点是的内心 第Ⅱ卷(非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在的展开式中，常数项是8，则当取得最小值时，展开式中的系数为 (用数字作答)． 13．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲、乙两人的卡片上分别标有数字，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得2分，数字小的人得0分，数字相同的两人各得1分，然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮次中不能使用)．则四轮比赛后，甲的总得分大于3的概率为 ． 14．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为 ． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题13分) 记的内角的对边分别为，已知， ． (1)求； (2)若的周长为，求． 16．(本题15分) 如图，在三棱锥中，，，是棱的中点，交于点，，． (1)证明：； (2)若三棱锥的体积为，求平面与平面夹角的正切值． 17．(本题15分) 已知椭圆的离心率为，右焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最小值为． (1)求的方程； (2)为椭圆的左、右顶点，点在线段上且满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值． 18．(本题17分) 函数，，，． (1)求的值； (2)设， (ⅰ)与有3个交点，求实数的范围； (ⅱ)设满足，求证：． 19．(本题17分) 函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足． (1)求的值； (2)若数列满足，记，求()； (3)设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得 到数列． ①求的通项公式； ②证明：对任意的，都有 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 赣州市 202 5 届模拟考试二 高 三 数学答题卡 ) ( 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] ) ( 贴条形码区 ) ( 姓名 考号 班级 考场 准 考 证 号 [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] ) ( 缺考标记 (考生禁填) ) ( 填涂样例 正确填涂 ■ ) ( 请在各题目的答题区域内作答 ． 超出矩形边框限定区域的答 案无效 一 、选择题（每小题 5 分 ， 共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（每小题 6 分 ， 部分选对得部分分 ， 全部选对得 6 分 ， 共 18 分 ） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 1 1 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题 5 分 ，共 15 分） 12 ． ． 13 ． ． 14 ． ． 请勿在此区域答题 ) 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 四 、解答题（5小题，共77分） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 赣州期末考试高二数学答题卡 第1页 共2页 赣州期末考试高二数学答题卡 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 17．（15分） 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出矩形边框限定区域的答案无效 $$ 赣州市2025届高三数学模拟试卷四参考答案 一、单选题（共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A C B D C A 二、多选题（共18分） 题号 9 10 11 答案 ACD ACD BCD 三、填空题（共15分） 12．43； 13．； 14．． 四、解答题（共77分） 15．解：（1）, …………………………3分 , …………………………5分 …………………………6分 （2）由可得,…7分 ………………………………9分 ，，………12分 .……………………………………………13分 16．（1）由，是线段的中点，得⊥． 又平面⊥平面，平面平面，且平面； 所以⊥平面，……………………………………………………………………3分 AC平面ABC，得⊥， 又⊥,，平面， 所以⊥平面．………………………………………………………………………6分 因为平面，所以………………………………………………………7分 （2）由（1）取线段的中点F，连接， 则由，及是线段的中点，得⊥． 由（1）知，⊥平面，以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴，…………………………8分 建立如图所示空间直角坐标系三棱锥的体积，且，，得，得 ………………………9分 所以由，是线段的中点，⊥，得： ． 所以，，，． 设面与面的法向量分别为，， 则， 得：，所以面的一个法向量为．………11分 ， 得：，所以面的一个法向量为 …………12分 设平面与平面所成二面角为， 则， ……………………………………14分 因为，所以面与面夹角的正切值为. …………………15分 17．（1）解：设点，则，， ，所以， …………………2分 又椭圆的离心率 ，，所以椭圆的方程为． …………………………………4分 (2)解：设点，因为点满足，解得，所以，……………5分   由题知不与轴重合，设直线的方程为， 联立方程组，消整理得，…………………………7分 ， 设、，则，. …………………………8分 因为的方程为，的方程为 两直线方程联立得：. 因为. ………………………………………………………9分 所以，解得， …………………………10分 所以动点的轨迹方程为. 由椭圆的对称性不妨设，直线、的倾斜角为、， 由图可知，且， 因为，则，………………………12分 因为，， 所以，……………14分 当且仅当时等号成立，此时，， 所以的最大值为. …………………………………………………………………15分 18．（1），，由题意知 ………………2分 解得， ………………………………………………………………………………4分 （2）（ⅰ），定义域，…………………………5分 当时，，递减；当时，，递增； 当时，，递减………………………………………………8分 则在处取得极大值，在处取得极小值， 因为与有3个交点，则，即………10分 （ⅱ）由（ⅰ）知，时递增，时递减，令， 则，，，…………………………………………………12分 则要证，需证，即需证 ，由于，则需证， 代入化简，需证，…………………14分 构造函数，，， 则在时递增，，即证…………………17分 19．（1）由，得，则， 所以；…………………………………………………………………2分 由，得，则， 所以．同理……………………………………4分 （2） ①依题意，， ， 故， …………………………………6分 因为，所以数列为递增数列， ，则，所以．……………8分 (3)对于给定的，存在唯一确定的，使得，即， 而，则当时，， ………………………………9分 设， 此时，即； ……………………………………10分 当时，， ……………………………………11分 设， 此时，即，………………………12分 因此， 恰好跳过，即所有正整数中恰好少了， 因为，所以． ………………………………………………………………13分 ②由,当； 当时，， ……………………………………………14分 则， ……………16分 所以对任意的，都有． ………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $$