18.2.2 菱形 课件2024-2025学年人教版数学八年级下册

八年级下册 18.2.2 菱形 (第2课时) 新 课 导 入 A D C B O 怎样判断一个四边形是菱形？ 新 知 探 究 根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法： ∵四边形ABCD是平行四边形 且AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形. 数学语言： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 还有其他的方法吗? 知识点1 菱形的判定定理1 O A B C D 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 新 知 探 究 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. A B C D O ∟ 证明： ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC. 又∵AC⊥BD, ∴BA=BC. 已知：在 ABCD中，AC ⊥ BD. 求证： ABCD是菱形. ∴ ABCD是菱形. 归 纳 总 结 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD ∵在□ABCD中，AC⊥BD, ∴ □ABCD是菱形. A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理1： 几何语言： 题 型 归 类 A B C D O 题型1 利用对角线判定菱形 例 如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形. 5 4 3 题 型 归 类 例 如图， ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AO=4，BO=3. 求证：四边形ABCD是菱形. A B C D O 5 4 3 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∵ OA=4，OB=3，AB=5， 即AC⊥BD. ∴ AB2=OA2+OB2. ∴△AOB是直角三角形， ∴四边形ABCD是菱形. 证明： 巩 固 练 习 在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则这个条件可以是 ( 　 ) A．∠ABC=90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD B 四边形ABCD是平行四边形 A B C D O 新 知 探 究 猜想：四条边都相等的四边形是菱形 . 知识点2 菱形的判定定理2 新 知 探 究 A B C D 已知：如图，四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD. 求证：四边形ABCD是菱形. 证明：∵AB=BC=CD=AD, ∴AB=CD，BC=AD. ∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵AB=BC， ∴四边形ABCD是菱形. 归 纳 总 结 四条边都相等的四边形是菱形. AB=BC=CD=AD A B C D 菱形ABCD 四边形ABCD A B C D 菱形的判定定理2： ∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD， ∴四边形 ABCD是菱形. 几何语言： 归 纳 总 结 文字语言 图形语言 符号语言 判定 方法1 判定 方法2 判定 方法3 菱形的判定 A B C D ∵AB=BC=CD=DA ∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形 ∵在□ABCD中AB=AD ∴四边形ABCD是菱形 A B C D O A B C D 一组邻边相等的 平行四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 四边相等的四边形是菱形 随 堂 检 测 1.下列命题中正确的是( ) A.一组邻边相等的四边形是菱形 B.三条边相等的四边形是菱形 C.四条边相等的四边形是菱形 D.四个角相等的四边形是菱形 C 平行四边形 四条边相等 矩形 随 堂 检 测 2.下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是( ) A.AC⊥BD，AC与BD互相平分 B.AB=BC=CD=DA C.AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD D.AB=CD，AD=BC，AC⊥BD C 平行四边形 对角线垂直 A B C D 随 堂 检 测 3.一边长为5cm平行四边形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个平行四边形为_______，其面积为_________. 24cm² 菱形 A B C D 5cm 3cm 4cm 方 法 点 拨 判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形． 题 型 归 类 H G F E D C B A 例 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. 题型2 利用边相等判断四边形是菱形 中位线 题 型 归 类 H G F E D C B A 例 如图，顺次连接矩形ABCD各边中点，得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是菱形. 中位线 证明：连接AC, BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∵点E , F , G , H为各边中点， ∴EF=FG=GH=HE， ∴四边形EFGH是菱形. 拓展：之前我们学过四边形四边中点的连线是平行四边形。 那菱形四边中点的连线是什么图形呢？ 总结：四边形四边中点的连线是平行四边形 矩形四边中点的连线是菱形 菱形四边中点的连线是矩形 链 接 中 考 5 5 5 5 4 4 3 3 如图，AC＝8，分别以A , C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A,B,C,D，连接BD交AC于点O． (1)判断四边形ABCD的形状并说明理由； (2)求BD的长． 菱形 6 解：(1)四边形ABCD为菱形； 由作法,得AB＝AD＝CB＝CD＝5， 所以四边形ABCD为菱形； (2)∵四边形ABCD为菱形， ∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD， ∴BD＝2OB＝6． 课 堂 小 结 巩 固 练 习 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形. C A D O E M N B 巩 固 练 习 如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD. 求证：四边形ADCE是菱形. C A D O E M N B 证明：∵ MN是AC的垂直平分线, ∴AD=CD，OA=OC，AE=CE. ∵ CE∥AB，∠DAO=∠ECO. ∴ △ADO ≌ △CEO ∴ AD=CE . ∴AD=CD=CE=AE. ∴四边形ADCE是菱形. 新 知 探 究 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 知识点3 菱形性质和判定的综合应用 BC＝2DE 4 120° 新 知 探 究 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． BC＝2DE 4 120° (1)证明：∵D , E分别是AB , AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC. ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形； 新 知 探 究 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． BC＝2DE 4 120° (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°. ∴△EBC是等边三角形. 过点E作EH⊥BC, H $$