7.1.2复数的几何意义2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.1.2复数的几何意义 题型一：复数与复平面内的点的关系 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【例1】（多选）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AB 【详解】因为，所以，， 所以复数在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限， 故选：AB． 【例2】（多选）已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 【变式1-1】（多选）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1 【答案】AC 【详解】A选项，，故的虚部为1，A正确； B选项，， 故在复平面内对应的点坐标为，在第一象限，B错误； C选项，， 故，C正确； D选项，若，， 故，， 则，故， 当，即时，面积取得最大值，最大值为，D错误. 故选：AC 【变式1-2】已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）因为复数为纯虚数，所以， 解的 解得，； （2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以 解之得 得． 所以实数的取值范围为． 【变式1-3】求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 【答案】(1)或. (2) 【详解】（1）根据题意得，解得或. （2）根据题意得，解得或， 所以实数的取值范围是. 题型二： 复数的模及其应用 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 复数模的几何意义 （1）表示点到原点的距离，可依据满足的条件判断点的集合表示的图形； （2）利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决. 【例3】已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】由复数的虚部是实部的3倍，得，解得， 所以，. 故选：B 【例4】如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 【变式2-1】已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【答案】(1) (2)的最小值为，，． 【详解】（1）， 当且仅当时，复数z的模最小，为． （2）当复数z的模最小时，． 又点Z位于函数的图象上，所以． 又，，所以， 当且仅当时等号成立．又，，， 所以，．所以的最小值为， 此时，． 【变式2-2】已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 【答案】B 【详解】对应的点为，在第四象限，故A错误； ，故B正确； z的虚部是，故CD错误. 故选：B. 【变式2-3】已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设（），已知，则. 根据复数模的性质，对两边取模可得，即. 因为，所以，又，则. 由，且，可得，即. 故选：B. 题型三：复数与复平面内向量的关系 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【例5】设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）． 可与任意实数比较大小，为实数， ，解得．，， 向量对应的复数为． （2）的中点Z对应的复数为，． 【例6】在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由题意可得， 所以. 故选：A. 【变式3-1】如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】由题意可设（，）， 对应的向量为，对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则，解得 ，， ，故C正确. 故选：C 【变式3-2】在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以 所以向量对应的复数为. 故选：D. 【变式3-3】在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由题意得， 则， 其对应的点为，位于第四象限． 故选：D 1．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设， 由，则， 则在复平面内，复数所对应的点组成的图形为以为圆心，为半径的圆， 故复数所对应的点组成的图形的周长为. 故选：D. 2．在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】表示点，顺时针转到第四象限， 对应点为，所以复数的虚部为. 故选：A. 3．已知（多选）方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 【答案】ACD 【详解】由题意得，方程在复数范围内有个根，根据三角函数定义得这个根在复平面上对应的点坐标为， ∴在复数范围内的根为. A.当时，，故是方程的根，A正确. B.，由得，不是整数，B错误. C.，由得，符合要求，C正确. D.当时，，故是方程的根，D正确. 故选：ACD. 4．在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 【答案】B 【详解】复数在复平面内对应的点为， 复数在复平面内对应的点为， 则由两点间的距离公式求得两点之间的距离为， 故选：B. 5．已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】在复平面内对应的点为，其关于直线的对称点为， 所以，则，所以其在复平面内对应的点为，位于第一象限． 故选：A 6．（多选）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】AB 【详解】整理得，对应的点位于第二象限， 则，解得． 故选：AB 7．复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设（），则，， 因为，所以， 所以解得 即． 故选：D. 8．在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， ，，， 故选：C． 9．在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 【答案】(1)或4． (2)或． 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或4． （2）由题意，，或． 10．在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设点对应的复数为，由，可得， 所以，则. 故选：A. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 7.1.2复数的几何意义 题型一：复数与复平面内的点的关系 利用复数与点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据. (2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【例1】（多选）若，则复数在复平面内对应的点不可能在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（多选）已知复数，以下说法正确的是（   ） A．z的实部是3 B． C． D．在复平面内对应的点在第一象限 【变式1-1】（多选）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为1 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为1 【变式1-2】已知复数． (1)若复数为纯虚数，求实数的值； (2)若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围． 【变式1-3】求实数m取何值时，复数所对应的点Z分别满足下列条件： (1)点Z在虚轴上； (2)点Z在第四象限. 题型二： 复数的模及其应用 复数模的计算 (1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小. (2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解. 复数模的几何意义 （1）表示点到原点的距离，可依据满足的条件判断点的集合表示的图形； （2）利用复数模的定义，把模的问题转化为几何问题解决. 【例3】已知复数的虚部是实部的3倍，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【例4】如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-1】已知x为实数，复数． (1)当x为何值时，复数z的模最小？ (2)当复数z的模最小时，复数z在复平面内对应的点Z位于函数的图象上，其中，，求的最小值及取得最小值时m，n的值． 【变式2-2】已知复数是虚数单位则（    ） A．复平面内z对应的点在第二象限 B． C．z的虚部是2 D． 【变式2-3】已知复数z满足，则（    ） A．1 B． C． D．2 题型三：复数与复平面内向量的关系 复数与平面向量的对应关系 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数.反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量. (2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化. 【例5】设O为坐标原点，已知向量，分别对应复数，，且，（其中），若可以与任意实数比较大小． (1)求向量对应的复数； (2)设中点为Z，求． 【例6】在复平面内，复数对应的向量，则（   ） A． B． C． D．1 【变式3-1】如图，在复平面内，向量对应的复数，绕点逆时针旋转后对应的复数为，则等于（    ）    A． B．3 C． D．4 【变式3-2】在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则的复数所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 1．若复数满足，则在复平面内，复数所对应的点组成的图形的周长为（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数绕原点逆时针旋转得，则复数的虚部为（    ） A． B．1 C． D． 3．已知（多选）方程在复数范围内有n个根，且这n个根在复平面上对应的点将单位圆n等分.下列复数是方程的根的是（   ） A．1 B．i C． D． 4．在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为（   ） A．1 B． C．4 D．5 5．已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．（多选）在复平面内，若所对应的点位于第二象限，则实数m的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 7．复数满足，则（   ） A． B． C． D． 8．在复平面内，复数（i为虚数单位）与点对应，则（    ） A． B． C． D． 9．在复平面内，若复数对应的点：分别求实数的取值范围． (1)在虚轴上； (2)在第二，四象限； 10．在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$