7.2.3 平行线的性质（课时练）（8大题型52题）-2024-2025学年七年级下册数学同步课时练（人教版2024）

题型目录 题型1 利用平行线的性质求角度 1 题型2 平行线与直角三角板问题 1 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 1 题型4 平行线之间的拐点问题 1 题型5 平行线的判定和性质的综合运用 1 题型6 判断选项正误 1 题型7 补全推理过程 1 题型8 与平行线相关的跨学科问题 1 题型1 利用平行线的性质求角度 1．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝78°，则∠EGF的度数是（　　） A．39° B．51° C．78° D．102° 【答案】A 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义求出∠GFD的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵FG平分∠EFD，∠EFD＝78°， ∴∠GFD＝∠EFD＝×78°＝39°， ∵AB∥CD， ∴∠EGF＝∠GFD＝39°． 故选：A． 2．如图，AB∥CD，射线AF交CD于点E，若∠1＝105°，则∠2的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，可求出∠AED的度数，然后根据对顶角相等，即可求出∠2的度数． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠AED＝180°， ∵∠1＝105°， ∴∠AED＝75°， ∵∠2和∠AED是对顶角， ∴∠2＝∠AED＝75°， 故选：B． 3．已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线定义及邻补角定义．由于，根据两直线平行，同旁内角互补，可知；而平分，由角平分线定义，可知；又根据邻补角定义，可知；而由，根据两直线平行，同位角相等，得出． 【详解】，（已知） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ．（等量代换） 是直线，（已知） ．（邻补角定义） ．（等式性质） 平分，（已知） ．（角平分线定义） ，（已知） ．（两直线平行，同旁内角互补） ．（等式性质） 答：． 题型2 平行线与直角三角板问题 4．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等可得，再结合三角板的特征利用平角定义即可算出的度数． 【详解】解：如下图进行标注，   ， ， ， 故选：． 5．将含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，，E为延长线上的点．若射线与直角边垂直，则的度数是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．由内错角相等两直线平行可得，根据两直线平行同位角相等可得的度数． 【详解】解：∵与直角边垂直， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 6．小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）利用两直线平行同位角相等，求出的同位角即可； （2）综合利用两直线平行，同位角和内错角相等，用表示出，通过等量代换即求出． 【详解】（1）如图， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图（2），过点作，则， ． 由（1）知， ， 即 ． 即． 故答案为：． 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 7．如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质．由可得，根据折叠得：，最后根据平角的定义即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠得：， ， 故选：C． 8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　． 【答案】68° 【解析】 【分析】先根据平行线的性质求得∠DEF的度数，再根据折叠求得∠DEG的度数，最后计算∠AEG的大小． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠GFE＝56°， 由折叠可得，∠GEF＝∠DEF＝56°， ∴∠DEG＝112°， ∴∠AEG＝180°﹣112°＝68°． 故答案为：68° 9．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点的位置上．若，． （1）求、的度数； （2）求长方形纸片ABCD的面积S． 【答案】（1）∠2=60，∠3=60；（2） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，由平行线的性质可得，即可求解； （2）由（1）可得，根据直角三角形的性质可得，勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：在长方形ABCD中， AD=BC，∠A=90，AD//BC ∴∠1=∠2=60， 由折叠可知，BE=DE ∵ =60 （2）在△ABE中，∠A=90， ∴∠ABE=30 ∴BE=2AE=4， ∴AD=AE+DE=AE+BE=6， ∵ ∴ ∴ ∴长方形ABCD的面积 题型4 平行线之间的拐点问题 10．如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，作出合适的辅助线． 过点作，则，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点作，如图： 则， ，， ，， ． 故答案为：D． 11．如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12．如图，， ，，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，角的和差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．过点作，过点作， 由平行线的性质可知，，由，和等量代换可得到和的数量关系，继而即可求解． 【详解】解：过点作，过点作， ∵， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴  ， 即． 故答案为：． 13．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 【答案】/88度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过“拐点”作平行线），一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线，从而利用“拐点”模型的基本结论解决问题；过点、、分别作，根据平行线的传递性得出，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解； 【详解】过点、、分别作， ∵ ， ， 平分，平分 ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型5 平行线的判定和性质的综合运用 14．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 【答案】B 【解析】 【分析】先由∠1＝∠2得到a∥b，从而得到∠3+∠4＝180°，进而得到∠4的度数． 【详解】解：∵∠1＝∠2， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）， ∴∠3+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠3＝60°， ∴∠4＝120°， 故选：B． 15．如图，在三角形中，，交于点，交于点．若，则与的位置关系是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 16．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、垂线的定义理解 【解析】 【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）结合（1）可得，，从而可求的度数． 本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． 题型6 判断选项正误 17．下列说法中正确的个数为（　　） ①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直； ②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可． 【详解】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①错误； ②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②正确； ③经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③错误； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故④正确； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤错误． 故正确的是②④，共2个． 故选：A． 18．如图，AC∥EG，点B在AC上，点F在EG上，连结BF，BD平分∠ABE，EH平分∠BEF交BF于点H，∠EBF＝∠EFB．给出下面四个结论：①BD∥EH；②BF平分∠EBC；③∠BFE＝∠ABE；④∠BFG﹣∠BEH＝90°．上述结论中，正确结论的序号有 　 　． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，以及图形中角度之间的数量关系，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵AC∥EG， ∴∠ABE＝∠BEF，∠CBF＝∠EFB， ∵BD平分∠ABE，EH 平分∠BEF， ∴∠ABD＝∠DBE＝∠ABE，∠BEH＝∠HEF＝∠BEF， ∴∠DBE＝∠BEH， ∴BD∥EH， 故①正确，符合题意； ∵∠EBF＝∠EFB，∠CBF＝∠EFB， ∴∠EBF＝∠CBF， ∴BF平分∠EBC， 故②正确，符合题意； ∵∠ABE+∠EBF+∠CBF＝180°，∠BEF+∠EBF+∠EFB＝180°，∠EBF＝∠CBF＝∠EFB，∠ABE＝∠BEF， ∴当∠ABE＝60°时，∠BFE＝∠ABE， 故③错误，不符合题意； ∵∠EBF+∠EFB+∠BEF＝2（∠FEH+∠EFH）＝180°， ∴∠FEH+∠EFH＝90°， ∴∠EHF＝90°， ∵∠BFG＝180°﹣∠EFB＝180°﹣（180°﹣∠HEF﹣∠EHF）， ∴∠BFG＝90°+∠HEF＝90°+∠BEH， ∴∠BFG﹣∠BEH＝90°， 故④正确，符合题意． 故答案为：①②④． 19．如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直、平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．根据平行线的判定可得，由此即可判断③正确；根据平行线的性质即可判断①正确；过点作，则，根据平行线的性质可得，再根据垂直的定义可得，，由此即可判断②正确；假设，则，再根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵， ∴，则结论③正确； ∴，则结论①正确； 如图，过点作， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，则结论②正确； 假设， ∵， ∴， ∴， 由①②可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，但根据已知条件不能得出， ∴假设不成立，即结论④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故答案为：①②③． 题型7 补全推理过程 20．如图，平分，在上，在上，与相交于点，，试说明：．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（________）， 所以________， 所以（________）， 所以________（________）． 因为平分， 所以（________）， 所以（________）． 【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；角平分线的定义；等量代换 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】解：∵（已知），（对顶角相等）， ∴， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵平分， ∴（角平分线的定义）， ∴（等量代换）． 21．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ）， ∴EF∥AD（ 　）， ∴　 　+∠2＝180°（　 　）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（　 　）， ∴AB∥　 　（　 　）， ∴∠GDC＝∠B（　 　）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可． 【详解】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）， ∴EF∥AD （同位角相等两直线平行）， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补）， 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3 （同角的补角相等）， ∴AB∥DG（内错角相等两直线平行）， ∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）． 故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等． 22．如图，已知，，．求证：． 证明：（已知）， ________________（________________）， ________（________________）． （已知），________（等量代换）， （________________）， （________________）． （已知），（等量代换）， ________________（________________）． 【答案】见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．根据平行线的判定定理和性质定理补全证明过程即可． 【详解】解：（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）． （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 题型8 与平行线相关的跨学科问题 23．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠3＝90°，根据三角形的内角和定理得到∠α+∠1＝90°，求得∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】解：如图，∵支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠3＝90°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠α+∠1＝90°， ∴∠2＝∠1＝90°﹣25°＝65°， ∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠β+∠2＝180°， ∴∠β＝180°﹣∠2＝180°﹣65°＝115°， 故选：C． 24．向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 【答案】/57度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行同旁内角互补得出，再由两直线平行同位角相等即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ∵水面和杯底互相平行， ∴， ∵， ∴， ∵水中的两条光线平行， ∴， 故答案为：． 25．在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）如图2，入射光线AB经过2次反射后与反射光线CD交于点E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度数： （2）如图2，图3，若∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BEC＝β，分别写出α与β之间满足的等量关系是 　 　（直接写出两个结果）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】（1）由∠MON＝65°，根据三角形的内角和定理得∠2+∠3＝115°，又∠1＝∠2，∠3＝∠4，则有∠ECB+∠EBC＝130°，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （2）图2同（1）理可得2α+β＝180°，图3中∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，由内角和定理得∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝β，再由三角形外角性质∠BOC＝∠3﹣∠2＝α，从而求解． 【详解】解：（1）∵∠MON＝65°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣65°＝115°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣115°×2＝130°， ∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠EBC＝180°﹣130°＝50°； （2）如图2， ∵∠MON＝α， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣2（180°﹣α）＝2α， ∴∠BEC＝180°﹣（∠ECB+∠EBC）＝180°﹣2α＝β， ∴2α+β＝180°； 如图3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3， ∴∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝β， ∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝α， ∴β＝2α， 故答案为：2α+β＝180°，β＝2α． 26．如图，点在射线上，直线，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据图示可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 27．如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，再根据，得到，解答即可． 本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 【详解】根据题意，得， ∵， ∴， 故选A． 28．如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 【答案】B 【解析】 【分析】先求解∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°，可得∠EFD′＝∠EFD＝148°，再结合角的和差可得答案． 【详解】解：∵∠EFB＝32°， ∴∠EFD＝180°﹣∠BFE＝148°， ∴∠EFD′＝∠EFD＝148°， ∴∠BFD′＝∠EFD′﹣∠BFE＝148°﹣32°＝116°， 故选：B． 29．如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键．过作，过作，得到，推出，，，求出，得到，即可求出． 【详解】解：过作，过作，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 30．如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．由同旁内角互补，可判断，再根据两直线平行，内错角相等，即可得到答案． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 31．如图，下列推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的判定及性质对各项进行分析即可． 【详解】解：A、， （两直线平行，内错角相等），故A正确，不符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），故B正确，不符合题意； C、由不能判定，故C不正确，符合题意； D、， 即（两直线平行，内错角相等），故D正确，不符合题意． 故选：C． 32．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义．由平角的定义求出，由平行线的性质推出，求出，即可得到的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 33．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　 　． 【答案】23° 【解析】 【分析】由平行线的性质得180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2，再求出∠1＝21°，即可得出结论． 【详解】解：∵a∥b， ∴180°﹣∠3＝∠1+30°+∠2， ∵∠2＝∠1+2°， ∴180°﹣106°＝∠1+30°+∠1+2°， 解得：∠1＝21°， ∴∠2＝∠1+2°＝21°+2°＝23°， 故答案为：23°． 34．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠宽度相等的长方形纸条， 得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 35．如图，，，，则的值为 . 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 故答案为：． 36．如图，若∠1＝∠D，∠C＝78°，则∠B＝　 　°． 【答案】102 【解析】 【分析】根据平行线的判定与性质即可求出∠B的度数． 【详解】解：∵∠1＝∠D， ∴AB∥CD， ∴∠C+∠B＝180°， ∵∠C＝78°， ∴∠B＝180°﹣78°＝102°． 故答案为：102． 37．补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据对顶角相等结合题意推出，即可判定；根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定． 【详解】解：， （①对顶角相等）， （②等量代换）， （③同旁内角互补，两直线平行）， （④两直线平行，同位角相等；）． ， ， （⑤内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行． 38．如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 39．已知：如图，、是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质；熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由邻补角可得，结合题意可得，再由同位角相等两直线平行证得结论； （2）结合（1）由两直线平行同旁内角互补求得，再由角平分线求得，最后由两直线平行内错角相等可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ∴； （2）解：，， ， 平分， ， ∵， ． 40．如图，玻璃厂工人为了测试一块玻璃的两个面是否平行，采用了这样一个小办法：一束光线从空气射入玻璃中会发生折射现象，光线从玻璃射入空气也会发生折射现象，如图所示，如果，，那么工人就会判定玻璃的两个面平行，你明白这个办法的道理吗？请给出理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质．延长l，首先由，推出，从而结合，，推出，从而结合平行线的判定定理证明即可． 【详解】解：如图，延长l， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴工人就会判定玻璃的两个面平行． 41． 如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【详解】解析：（已知） （两直线平行，同旁内角互补） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵平分（已知） ∴（角平分线的定义） ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴ ∴即平分 ∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴ ，，所以④错误； 故答案为：C． 42．如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． ①由题意得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；②由题意得，利用邻补角即可求出的度数；③过点作，可得，从而得到，可求得，再利用平行线的性质即可求出；④利用角的计算可求出，从而可判断． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 因为，， 所以， 所以，故②正确； 过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以，故③正确； 因为，， 所以， 所以，故④正确． 综上分析可知：正确的是①②③④． 故选：A． 43． 折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．如图，将一长方形纸条首先沿EF进行第一次折叠，使得C，D两点落在，的位置，再将纸条沿GF折叠（GF与BC在同一直线上），使得，分别落在，的位置．若3∠ EFB=∠EF，则∠GEF的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】设∠EFB=x，根据折叠的性质，矩形的性质，则∠DEF=∠GEF=x，∠DEG=2x，∠EF=3x，∠GF=∠EF+∠ EFB=4x，根据折叠性质，矩形性质，得∠DEG=∠CG=∠CF=∠CF=2x，根据∠GF+∠CF=180°，计算即可． 【详解】设∠EFB=x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ED∥CG， ∴∠DEF=∠EFB， ∵沿EF进行第一次折叠 ∴∠DEF=∠GEF=∠EFB=x， ∴∠DEG=2x，∠EF=3x，∠GF=∠EF+∠ EFB=4x， 根据折叠性质，矩形性质，得∠DEG=∠CG=∠CF=∠CF=2x， 根据∠GF+∠CF=180°， ∴4x+2x=180， 解得x=30， 故选A． 44．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论正确的有（　　） ①BC平分∠ABE； ②AC∥BE； ③∠BCD+∠D＝90°； ④∠DBF＝2∠ABC； ⑤∠ABE＝2∠ACB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】 【分析】综合运用垂直的定义，角平分线的定义，平行线的性质定理和判定定理，逐项判断即可． 【详解】解：∵BC⊥BD， ∴∠DBE+∠CBE＝90°，∠ABC+∠DBF＝90°， ∵BD平分∠EBF， ∴∠DBE＝∠DBF， ∴∠ABC＝∠CBE， ∴BC平分∠ABE，故①正确； ∵BC⊥BD， ∴∠CBD＝90°， ∴∠BCD+∠D＝90°，故③正确； ∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠BCE， ∵BC平分∠ACD、∠ABE， ∴∠ABC＝∠CBE，∠ACB＝∠BCE， ∴∠ACB＝∠CBE， ∴AC∥BE，故②正确； ∵AF∥CD， ∴∠DEB＝∠ABE＝2∠ABC，∠D＝∠DBF， ∵无法说明∠D＝∠DEB， ∴无法说明∠DBF＝2∠ABC，故④错误； ∵AF∥CD， ∴∠ABC＝∠BCE， ∵BC平分∠ACD、∠ABE， ∴∠ABE＝2∠ABC＝2∠BCE＝2∠ACB，故⑤正确； 综上所述，①②③⑤正确，共4个， 故选：D． 45．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，过点作，可得，根据题意得到，再由平行线的性质得到，得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作，为法线，如图： ∵， ∴， ∴， ∴为法线， ∴， ∵为法线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 46．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键． 根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系． 【详解】过点作，过点作 ， ，分别平分和 故答案为： 47．一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 【答案】 15 或或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键． （1）画出图形，并根据平行线的性质求解即可； （2）分四种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到的度数，再找到关于点中心对称的情况即可求解． 【详解】解：（1）如图，当时， ， ， ， 点与点重合， 三点共线，即如图， ； 故答案为：15； （2）如图，当时，； 如图，当时， ， ， ； 当时，如图， ， ， ． 符合条件的度数为或或， 故答案为：或或 48．如图，，连接，E是线段上一动点，、分别平分，，若，则的度数用含α的式子表示为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．通过作辅助线，得到，同理可得，结合角平分线，得到结果． 【详解】解：过E点作，过F点作， ， ． ， ． ， ． 同理，，． ． 、分别平分，， ，． ． ． 故答案为：． 49． （1）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图，AB∥CD，AB的下方两点E、F满足：BF平分∠ABE、DF平分∠CDE，若∠DFB＝20°，∠CDE＝70°，求∠ABE的度数； （3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变，可以证明只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 【答案】（1）AB∥CD；（2）∠ABE＝30°；（3）②∠MGN的度数为15°不变，证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可； （2）先由角平分线的定义可得：∠CDF＝∠CDE＝35°，∠ABE＝2∠ABF，然后根据两直线平行内错角相等，可得：∠2＝∠CDF＝35°，然后利用三角形外角的性质求出∠ABF的度数，进而可求∠ABE的度数； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠BPG＋∠B，再根据平行线的性质以及角平分线的定义表示出∠MGP、∠DPQ，根据两直线平行，内错角相等可得∠NGP＝∠GPQ，然后列式表示出∠MGN＝∠B，从而判定②正确． 【详解】（1）结论：AB∥CD． 证明：∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠CAB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠CAB， ∴AB∥CD； （2）解：如图2， ∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE， ∴∠CDF＝∠CDE＝35°，∠ABE＝2∠ABF， ∵CD∥AB， ∴∠2＝∠CDF＝35°， ∵∠2＝∠DFB＋∠ABF，∠DFB＝20°， ∴∠ABF＝15°， ∴∠ABE＝2∠ABF＝30°； （3）解：②结论MGN的度数为15°不变． 如图3，根据三角形的外角性质，∠1＝∠BPG＋∠B， ∵PQ平分∠BPG，GM平分∠DGP， ∴∠GPQ＝∠BPG，∠MGP＝∠DGP， ∵AB∥CD， ∴∠1＝∠DGP， ∴∠MGP＝（∠BPG＋∠B）， ∵PQ∥GN， ∴∠NGP＝∠GPQ＝∠BPG， ∴∠MGN＝∠MGP－∠NGP＝（∠BPG＋∠B）－∠BPG＝∠B， 根据前面的条件，∠B＝30°， ∴∠MGN＝×30°＝15°， ∴①∠DGP－∠MGN的值随∠DGP的变化而变化；②∠MGN的度数为15°不变． 50．阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形的内角和 小学我们就知道三角形内角和是，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是，证明方法如下： 如图1，已知：三角形．求证：． 证法一：如图2，过点A作直线， ∵， ∴（    ） ∵ ∴，即三角形内角和是． 证法二：如图3，延长至M，过点C作…． (1)证法一的思路是先用平行线的性质得到，此处，括号内应填写的理由是（    ），再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是 （单选，将正确选项填入空格处） A．数形结合思想            B．分类思想                C．转化思想 (2)将证法二补充完整． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；C (2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，即可； （2）延长至M，过点C作，根据平行线的性质可得，再由，即可求证． 【详解】（1）证法一：如图2，过点A作直线， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵ ∴，即三角形内角和是． 这种方法主要体现的数学思想是转化思想； 故答案为：两直线平行，内错角相等；C （2）证明：延长至M，过点C作， ∴， ∵ ∴，即三角形内角和是． 51．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，当时，延长交于点，分两种情况讨论：①在上方时；②在下方时，列式求解即可 【详解】解：由题意，得， 如图，延长交于点P. 当在上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当在下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得 （不合题意，舍去）． 综上所述，满足条件的t的值为30. 52．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【解析】 【分析】（）作，根据平行线的性质和折叠的性质即可求解； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； （）根据平行线的性质，折叠的性质和角度和差； 本题考查了平行线的性质额折叠的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3），理由： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 试卷第 1 页，共 44 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 题型目录 题型1 利用平行线的性质求角度 1 题型2 平行线与直角三角板问题 2 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 2 题型4 平行线之间的拐点问题 3 题型5 平行线的判定和性质的综合运用 4 题型6 判断选项正误 5 题型7 补全推理过程 5 题型8 与平行线相关的跨学科问题 6 题型1 利用平行线的性质求角度 1．如图，平行线AB，CD被直线EF所截，FG平分∠EFD，若∠EFD＝78°，则∠EGF的度数是（　　） A．39° B．51° C．78° D．102° 2．如图，AB∥CD，射线AF交CD于点E，若∠1＝105°，则∠2的度数是（　　） A．65° B．75° C．85° D．95° 3．已知：如图所示，，平分，交于M，，求的度数． 题型2 平行线与直角三角板问题 4．如图，一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上．如果，那么的度数是（　　）    A． B． C． D． 5．将含角的直角三角尺按如图所示的方式放置，，E为延长线上的点．若射线与直角边垂直，则的度数是 ． 6．小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 题型3 利用平行线的性质解决折叠问题 7．如图，将沿直线折叠，使点落在边上的点处，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D、C分别落在D′，C′的位置上，ED′与BC交于G点，若∠EFG＝56°，则∠AEG＝　 　． 9．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后．点D与点B重合，点C落在点的位置上．若，． （1）求、的度数； （2）求长方形纸片ABCD的面积S． 题型4 平行线之间的拐点问题 10．如图，已知，若的外角为，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 12．如图，， ，，则 ． 13．已知：如图，，的平分线与的平分线交于点M，，，，则 ． 题型5 平行线的判定和性质的综合运用 14．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝60°，则∠4的度数（　　） A．60° B．120° C．130° D．80° 15．如图，在三角形中，，交于点，交于点．若，则与的位置关系是 ． 16．如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数 题型6 判断选项正误 17．下列说法中正确的个数为（　　） ①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直； ②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； ⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 18．如图，AC∥EG，点B在AC上，点F在EG上，连结BF，BD平分∠ABE，EH平分∠BEF交BF于点H，∠EBF＝∠EFB．给出下面四个结论：①BD∥EH；②BF平分∠EBC；③∠BFE＝∠ABE；④∠BFG﹣∠BEH＝90°．上述结论中，正确结论的序号有 　 　． 19．如图，，则结论：①；②；③；④中，正确的结论为 ．（填序号）． 题型7 补全推理过程 20．如图，平分，在上，在上，与相交于点，，试说明：．（请通过填空完善下列推理过程） 解：因为（已知），（________）， 所以________， 所以（________）， 所以________（________）． 因为平分， 所以（________）， 所以（________）． 21．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90° （ ）， ∴EF∥AD（ 　）， ∴　 　+∠2＝180°（　 　）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（　 　）， ∴AB∥　 　（　 　）， ∴∠GDC＝∠B（　 　）． 22．如图，已知，，．求证：． 证明：（已知）， ________________（________________）， ________（________________）． （已知），________（等量代换）， （________________）， （________________）． （已知），（等量代换）， ________________（________________）． 题型8 与平行线相关的跨学科问题 23．一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若斜面的坡角α＝25°，则摩擦力F2与重力G方向的夹角β的度数为（　　） A．155° B．125° C．115° D．65° 24．向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为 ． 25．在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）如图2，入射光线AB经过2次反射后与反射光线CD交于点E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度数： （2）如图2，图3，若∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BEC＝β，分别写出α与β之间满足的等量关系是 　 　（直接写出两个结果）． 26．如图，点在射线上，直线，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 27．如图，直线，一个三角板的直角顶点在直线上，两直角边均与直线b相交，，则（    ）    A． B． C． D． 28．如图，把一张对边互相平行的纸条折叠，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则∠BFD′的度数为（　　） A．112° B．116° C．138° D．148° 29．如图，，，，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 30．如图，在四边形中，，，求证：．证明过程如下，则“…”处补充的过程为（    ） 证明：∵，，…，∴． A．∴，∴ B．∴，∴ C．∴ D．∴ 31．如图，下列推理不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 32．如图，自行车的尾部通常会安装一种塑料制成的反光镜，夜间骑车时，在车灯照射下，能把光线按原来方向返回（即），根据光的反射可知，其原理如图2所示，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 33．如图，已知a∥b，直线c分别与a，b相交于D，A两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠3＝106°，∠2＝∠1+2°，则∠2的度数为 　 　． 34．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则 ． 35．如图，，，，则的值为 . 36．如图，若∠1＝∠D，∠C＝78°，则∠B＝　 　°． 37．补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 38．如图，已知，，，求的度数． 39．已知：如图，、是直线上两点，，平分，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 40．如图，玻璃厂工人为了测试一块玻璃的两个面是否平行，采用了这样一个小办法：一束光线从空气射入玻璃中会发生折射现象，光线从玻璃射入空气也会发生折射现象，如图所示，如果，，那么工人就会判定玻璃的两个面平行，你明白这个办法的道理吗？请给出理由． 41． 如图，已知，平分，，．若，给出下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 42．如图，，将一副直角三角板按如图所示的方式摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③④ B．③④ C．②③④ D．①②③ 43． 折纸是我国的传统文化，折纸不仅和自然科学结合在一起，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．如图，将一长方形纸条首先沿EF进行第一次折叠，使得C，D两点落在，的位置，再将纸条沿GF折叠（GF与BC在同一直线上），使得，分别落在，的位置．若3∠ EFB=∠EF，则∠GEF的度数为（ ） A. 30° B. 36° C. 45° D. 60° 44．如图，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列结论正确的有（　　） ①BC平分∠ABE； ②AC∥BE； ③∠BCD+∠D＝90°； ④∠DBF＝2∠ABC； ⑤∠ABE＝2∠ACB． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．如图1，是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望远镜“中国天眼”．如图2，是“中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中为竖直方向的馈源（反射面），入射波经过三次反射后沿水平射出，且，已知入射波与法线的夹角，则（    ） A． B． C． D． 46．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ． 47．一副直角三角尺按如图1所示的方式叠放，现将含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动至图2的位置，在此过程中，若两块三角尺至少有一组边互相平行，解决下列问题： （1）如图3，当 时，； （2）在旋转过程中，其它可能符合条件的度数为 ． 48．如图，，连接，E是线段上一动点，、分别平分，，若，则的度数用含α的式子表示为 ． 49． （1）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明AB与CD的位置关系，并予以证明； （2）如图，AB∥CD，AB的下方两点E、F满足：BF平分∠ABE、DF平分∠CDE，若∠DFB＝20°，∠CDE＝70°，求∠ABE的度数； （3）在前面的条件下，若P是BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，PQ∥GN，GM平分∠DGP，下列结论：①∠DGP－∠MGN的值不变；②∠MGN的度数不变，可以证明只有一个是正确的，请你作出正确的选择并求值． 50．阅读下列材料，并完成相应任务． 三角形的内角和 小学我们就知道三角形内角和是，学习了平行线之后，可以证明三角形内角和是，证明方法如下： 如图1，已知：三角形．求证：． 证法一：如图2，过点A作直线， ∵， ∴（    ） ∵ ∴，即三角形内角和是． 证法二：如图3，延长至M，过点C作…． (1)证法一的思路是先用平行线的性质得到，此处，括号内应填写的理由是（    ），再将三角形内角和问题转化为一个平角，进而得到三角形内角和是，这种方法主要体现的数学思想是 （单选，将正确选项填入空格处） A．数形结合思想            B．分类思想                C．转化思想 (2)将证法二补充完整． 51．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值． 52．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处． (1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论； (2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论． (3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论． 试卷第 1 页，共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $$