数学（新高考Ⅰ卷02）-学易金卷：2025年高考第三次模拟考试

2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）02·全解全析 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式求出集合，再求交集即可. 【详解】因为， 所以. 故选：B． 2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【分析】由复数的运算性质化简得，则，即答案可求. 【详解】由题意得， 所以，则z在复平面内对应的点位于第一象限， 故选：A. 3．已知向量满足与垂直，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】向量垂直则数量积为零，由此求出，求，利用平方法转化为数量积进行计算． 【详解】由与垂直，得，则， 所以1， 所以当时，的最小值为 故选：C 4．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】先利用二项式的展开式的通项公式求出有理项的项数，再利用插空法求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为： ， 令，得，所以展开式中的有理项有项， 把展开式中的项重新排列，先把项无理项全排列， 再把项有理项插入形成的个空中，所以有理项互不相邻的排法种数为种. 故选：D. 5．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由题设得到圆锥内的最大球的直径，再借助圆锥轴截面以及截面图中性质，结合三角函数定义和倍角公式依次求出、和，进而由求出，即可依次求出圆锥的高和母线长，进而由圆锥侧面积公式即可求解. 【详解】由球的表面积公式，即圆锥内的最大球的直径为， 圆锥轴截面如图，则，， 因为， 所以，设， 则，， 则， 在中，， 所以，所以， 所以圆锥的侧面积为． 故选：B． 6．设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用为等边三角形构造焦点三角形，根据几何关系和椭圆的定义得到的等量关系，即可求得离心率. 【详解】设椭圆的另一焦点为，连接如图所示， 因为为等边三角形， 所以， 所以,又因为, 所以， 由椭圆定义可知， 整理得：. 故选： 7．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意计算出周期，再由周期求，又因为在区间上单调， 所以列出不等式，计算出，判断即可. 【详解】由题意知，，则， 因为，所以，又因为在区间上单调， 所以，解得，则的最大值为. 故选：B. 8．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性与对称性直接判断AB选项，再结合函数的周期性可判断D选项，再根据复合函数求导可判断C选项. 【详解】A选项：由，令，则， 即，A选项错误； B选项：令，可知， 又不恒为，则，所以函数为奇函数， 令，则， 即，即， 又， 则， 所以， 所以为奇函数，B选项错误； C选项：由B选项可知，两边同时求导可知， 即函数关于直线对称， 所以函数关于直线对称，C选项错误； D选项：由B选项可知，即函数的一个周期， 由上述分析和已知条件，， 所以 ，D选项正确； 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某农业研究所为了解种植新品种玉米的亩产量情况，从某地区随机抽查100亩种植新品种玉米的亩产量（单位：kg），整理出如下统计表： 亩产量 频数 10 20 20 15 5 已知这100亩的亩产量均在内，根据表中数据，下列结论正确的是（   ） A．这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差介于400kg至600kg之间 B．这100亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kg C．估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg的占比为 D．估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均值介于1150kg至1200kg之间 【答案】AC 【分析】 根据极差、中位数、平均数、频率的概念即可判断. 【详解】 由表中数据可知，这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差小于等于，大于，故A正确； 由表可知，，所以亩产量的中位数小于1100kg，故B错误； 估计该地区种植新品种玉米亩的产量不低于1000kg的占比为，故C正确； 根据表中数据，亩产量在的有， 估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均数，故D错误. 故选：AC. 10．棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（    ） A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立 B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立 C．三棱锥体积的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，根据和，求出的值，判断AB；点在棱上时，取最大，直接求三棱锥体积，判断C；在平面内作关于的对称点取中点，则必有，故只需三点共线且时，取最小值，求值可判定D. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则有， 设，则， 则， 对于A，若，则， 解得，所以当点为的中点时，满足题意，故A正确； 对于B，若，则，且， ，，故B错误； 对于C，点在棱上时，的面积最大， 此时，，故C正确； 对于D，在平面内作关于的对称点，取中点， 连接,则有，三点共线. 由于平面，平面，则， 故只需三点共线且时，取最小值. 由于平面，这样可使平面， 又平面，从而，此时取最小值， 由，,则， 则，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：对于D选项，在平面内作关于的对称点取中点，则有，故只需三点共线且时，取最小值，是解题的关键和难点. 11．数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，根据题干列出等式即可判断；对于选项B，利用抛物线的定义即可判断，对于选项C，利用焦半径公式列出等式即可判断，对于选项D，由焦半径，又因为可得，即可得到结果. 【详解】 对于A选项，设曲线上任意一点， 由定义可知，满足， 移项，平方可得：， 即，为两条抛物线，故A正确； 对于B选项，和直线分别为抛物线的焦点和准线，由抛物线定义可知，故B正确 对于C选项，设与轴夹角为同时为抛物线和椭圆的焦点，， ， 解得，则，故C错误. 对于D选项，易知为抛物线和的焦点， 前者，后者分别为两个抛物线的较短的焦半径，因此 ，由于， 则，因此，所以，故D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：抛物线的求解，一般利用定义和二级结论直接能够列出等式求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列的前项和为，若，，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式和下标和的性质求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，， 所以，即， 所以数列的公差， 所以， 故答案为： 13．一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则 ． 【答案】 【分析】根据百分位数计算规则得到第百分位数，从而得到方程，解得即可. 【详解】原来有10个数据，，原来第百分位数为， 删去后有9个数据，，则第百分位数， 依题意可得，解得． 故答案为： 14．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则 . 【答案】 【分析】由题意，得到曲线C的方程，利用三角形面积公式求出，此时点P是曲线C：与以为直径的圆在第一象限内的交点，联立求出点的横坐标，再代入求解即可． 【详解】因为原点在上， 所以上的点到的距离之积为， 设为C上任意一点， 此时， 整理得， 因为的面积， 所以， 所以点是曲线C：与以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立， 解得， 所以 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且. (1)求证：； (2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系； （2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围. 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 因为，则，即，可得，整理得， 由余弦定理得，整理得， 由正弦定理得， 故，整理得， 又因为为锐角三角形，则，可得， 所以，即. （2）在中，由正弦定理得， 所以， 因为为锐角三角形，且，所以，解得. 故，所以. 因此线段长度的取值范围. 16．已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，根据导数的正负求解即可； （2）首先根据导数得出在单调递减，在单调递增，则，再构造函数说明，再用作差法及基本不等式得出即可证明． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增， 故的单调增区间为． （2）由，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 故， 设， 则，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，即， 所以，当时等号成立， 又，当时等号成立， 故，得证． 17．如图，在三棱台中，，点为棱的中点，，且直线与平面所成的角为. (1)证明：； (2)求平面与平面成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，则由等腰梯形和等腰三角形的性质可得，，由线面垂直的判定可得平面，从而可证得； （2）过点作，垂足为，则可得平面，取上靠近点的四等分点，连接，得，所以分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为，则四边形为等腰梯形， 因为分别为的中点，所以， 因为为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以； （2）过点作，垂足为， 由（1）知，平面平面， 则，又，平面， 所以平面， 则为直线与平面所成的角，即， 因为， 所以， 所以，所以，则为等腰直角三角形， 所以， 在中，， 则由余弦定理得， 则，即，易得， 在中，，， 所以，所以， 取上靠近点的四等分点，连接，则‖， 因为，所以， 则分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由于，所以， 设平面的法向量为， 由于， 所以，， 令，则， 设平面的法向量为， 由于， 所以， 令，则， 所以， 故平面与平面成角的余弦值为. 18．已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点． (1)求面积的最大值； (2)求与面积之比的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设定直线的方程，并与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求的长和点到直线的距离，进而表达的面积，求最大值即可； （2）分别设直线和的方程，并分别与椭圆方程联立，求得韦达定理形式，分别求出两点的纵坐标，表达与面积之比，求最大值即可. 【详解】（1）设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 所以，， 则， 点到直线的距离为：， 所以， 令， 则，当即时面积取得最大值， 所以面积的最大值为. （2）设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得， 即 所以，即， 同理可得：， 所以 化简得：， 当时，取得最大值.    【点睛】方法点睛：圆锥曲线中求面积的比值，可以选择相同的底边或者角来转化，参数之间的关系可以通过联立圆锥曲线方程，化简求得，通过函数或者不等式来求得最值. 19．（1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动．公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数．统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 身体指标明显改善人数 330 260 200 140 90 若身体指标明显改善人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？ （2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战Y组、Z组的概率均为，若X组挑战Y组，则下次竞赛发起权在Y组．若竞赛发起权在Y组，则挑战X组、Z组的概率分别为和；若竞赛发起权在Z组，则挑战X组、Y组的概率分别为 和； ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次竞赛后，竞赛发起权在X组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】（1）24人 ；（2）① 分布列见解析；期望为；②证明见解析， ． 【分析】（1）求得线性回归方程即可求解； （2）①由题意确定的可能取值，再由独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求得概率即可求解；②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，时，得到，由题意得到递推公式进而可求解. 【详解】（1）由已知数据经计算可得： ，， ， ， 所以． 所以当时，； 即第6个月身体指标明显改善的大约有24人； （2）①， ， ， M 0 1 2 P 所以次数M的数学期望． ②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，时，则 ． ②+③得：，由①得 ，，， ， ，其中， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， 由聚点数列的定义：， 由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，， 所以数列为“聚点数列”； ． 12 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．已知向量满足与垂直，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 4．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 8．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某农业研究所为了解种植新品种玉米的亩产量情况，从某地区随机抽查100亩种植新品种玉米的亩产量（单位：kg），整理出如下统计表： 亩产量 频数 10 20 20 15 5 已知这100亩的亩产量均在内，根据表中数据，下列结论正确的是（   ） A．这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差介于400kg至600kg之间 B．这100亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kg C．估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg的占比为 D．估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均值介于1150kg至1200kg之间 10．棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（    ） A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立 B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立 C．三棱锥体积的最大值是 D．的最小值是 11．数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列的前项和为，若，，则 ． 13．一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则 ． 14．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且. (1)求证：； (2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围. 16．（15分） 已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 17．（13分） 如图，在三棱台中，，点为棱的中点，，且直线与平面所成的角为. (1)证明：； (2)求平面与平面成角的余弦值. 18．（17分） 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点． (1)求面积的最大值； (2)求与面积之比的最大值． 19．（17分） （1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动．公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数．统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 身体指标明显改善人数 330 260 200 140 90 若身体指标明显改善人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？ （2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战Y组、Z组的概率均为，若X组挑战Y组，则下次竞赛发起权在Y组．若竞赛发起权在Y组，则挑战X组、Z组的概率分别为和；若竞赛发起权在Z组，则挑战X组、Y组的概率分别为 和； ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次竞赛后，竞赛发起权在X组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）02·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A C D B C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ACD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）由题意得，由正弦定理得， 因为，则，即，可得，整理得，………………2分 由余弦定理得，整理得， 由正弦定理得， 故，整理得，………………4分 又因为为锐角三角形，则，可得， 所以，即.……………………………………………………………6分 （2）在中，由正弦定理得， 所以，………………………………………………………8分 因为为锐角三角形，且，所以，解得.……10分 故，所以. 因此线段长度的取值范围.…………………………………………13分 16．（15分） 【详解】（1）的定义域为， 当时，，…………………………1分 则，解得， 当时，，故在单调递减；……………………2分 当时，，故在单调递增， 故的单调增区间为．…………………………………………………………5分 （2）由，解得，……………………7分 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 故，……………………10分 设， 则，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，即， 所以，当时等号成立，……………………13分 又，当时等号成立， 故，得证．……………………15分 17．（15分） 【详解】（1）证明：取的中点，连接， 因为，则四边形为等腰梯形， 因为分别为的中点，所以，……………………2分 因为为的中点，所以， 因为，平面， 所以平面，……………………3分 因为平面，所以；……………………4分 （2）过点作，垂足为， 由（1）知，平面平面， 则，又，平面， 所以平面，则为直线与平面所成的角，即，……………………5分 因为， 所以， 所以，所以，则为等腰直角三角形， 所以， 在中，， 则由余弦定理得， 则，即，易得， 在中，，， 所以，所以， 取上靠近点的四等分点，连接，则‖， 因为，所以，………………………………………………………………7分 则分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由于，所以，……………………9分 设平面的法向量为， 由于， 所以，， 令，则，……………………11分 设平面的法向量为， 由于， 所以， 令，则，……………………13分 所以， 故平面与平面成角的余弦值为.……………………15分 18．（17分） 【详解】（1）设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得，……………………2分 所以，，…………………………………………3分 则，……………………4分 点到直线的距离为：，………………………………5分 所以，…………………………………………6分 令， 则，当即时面积取得最大值， 所以面积的最大值为.…………………………………………7分 （2）设，， 设直线的方程为， 联立方程组，得，…………9分 即 所以，即，…………………………………………10分 同理可得：，……………………………………………………11分 所以 化简得：，…………………………………………13分 当时，取得最大值.……………………………………………………15分    19．（17分） 【详解】（1）由已知数据经计算可得：………………………………1分 ，， ， ，………………………………3分 所以．……………………………………………………4分 所以当时，； 即第6个月身体指标明显改善的大约有24人；…………………………………………5分 （2）①，……………………………………………………6分 ，…………………………………………7分 ，……………………………………………………8分 M 0 1 2 P 所以次数M的数学期望．…………………………………10分 ②第n次挑战后挑战权在Y，Z组的概率分别是，时，则 ．……………………………………………………12分 ②+③得：，由①得 ，，， ，……………………………………………………13分 ，其中， 是以为首项，为公比的等比数列， ，， …………………………………15分 由聚点数列的定义：， 由指数函数的单调性可知：当时， 所以对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，， 所以数列为“聚点数列”； ．……………………………………………………17分 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025年高考第三次模拟考试 高三数学（新高考Ⅰ卷）02 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．设i为虚数单位，复数z的共轭复数为，若 ，则z在复平面内对应的点位于第（    ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 3．已知向量满足与垂直，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．3 4．二项式的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不相邻的排法种数为（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．已知圆锥的底面半径为3，圆锥内的最大球的表面积为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 6．设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数（，），，，且在区间上单调，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 8．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，，满足，且，，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某农业研究所为了解种植新品种玉米的亩产量情况，从某地区随机抽查100亩种植新品种玉米的亩产量（单位：kg），整理出如下统计表： 亩产量 频数 10 20 20 15 5 已知这100亩的亩产量均在内，根据表中数据，下列结论正确的是（   ） A．这100亩种植新品种玉米的亩产量的极差介于400kg至600kg之间 B．这100亩种植新品种玉米的亩产量的中位数大于1100kg C．估计该地区种植新品种玉米的亩产量不低于1000kg的占比为 D．估计该地区种植新品种玉米的亩产量的平均值介于1150kg至1200kg之间 10．棱长为2的正方体中，分别是的中点，点在线段上，点在底面内部（包含边界）.则下列说法中，正确的是（    ） A．当点在棱上移动时，总存在点，使得成立 B．当点在棱上移动时，存在点和，使得成立 C．三棱锥体积的最大值是 D．的最小值是 11．数学中有许多美丽的曲线，图中美丽的眼睛图案由两条曲线构成，曲线，上顶点为，右顶点为，曲线上的点满足到和直线的距离之和为定值4，已知两条曲线具有公共的上下顶点，过作斜率小于0的直线与两曲线从左到右依次交于且，则（    ） A．曲线由两条抛物线的一部分组成 B．线段的长度与点到直线的距离相等 C．若线段的长度为，则直线的斜率为 D．若，则直线的斜率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．等差数列的前项和为，若，，则 ． 13．一组从小到大排列的数据：，若删去前后它们的百分位数相同，则 ． 14．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点的距离之积为定值.当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 在锐角中，内角所对的边分别为，，，满足，且. (1)求证：； (2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围. 16．（15分） 已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 17．（13分） 如图，在三棱台中，，点为棱的中点，，且直线与平面所成的角为. (1)证明：； (2)求平面与平面成角的余弦值. 18．（17分） 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的动点，直线交椭圆于另一点，直线交椭圆于另一点． (1)求面积的最大值； (2)求与面积之比的最大值． 19．（17分） （1）某公司为提升员工身体素质，鼓励员工参与“健康帮，活力无限”健身打卡活动．公司统计了开展活动后近5个月员工因健身而使身体指标（如体脂下降、心肺功能提升等）明显改善的人数．统计结果如下： 月份 1 2 3 4 5 身体指标明显改善人数 330 260 200 140 90 若身体指标明显改善人数与月份变量（月份变量依次为）具有线性相关关系，请预测第6个月身体指标明显改善的大约有多少人？ （2）公司将参与健身打卡活动的员工分成了X、Y、Z三组进行健身竞赛，其规则：竞赛发起权在任何一组，该组都可向另外两组发起竞赛，首先由X组先发起竞赛，挑战Y组、Z组的概率均为，若X组挑战Y组，则下次竞赛发起权在Y组．若竞赛发起权在Y组，则挑战X组、Z组的概率分别为和；若竞赛发起权在Z组，则挑战X组、Y组的概率分别为 和； ①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望； ②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点．经过次竞赛后，竞赛发起权在X组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值．附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ) ( 学校 __________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 密 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 封 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 线 ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ ) ( ) 2025年高考第三次模拟考试 高三数学·答题卡 ( 准考证号： 姓 名： _________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1 ．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2 ． 选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3 ．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5 ．正确填涂 注意事项 ) ( 一、选择题（每小题5分，共 4 0分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A ] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、 选择题 （ 全部选对的得 6 分，部分选对的得 部分 分，有选错的得0分 ，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三 、填空题（每小题5分，共 15 分） 12 ． ____________________ 13 ． ____________________ 14 ． ____________ ________ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 四 、解答题（共 77 分， 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 ） 15．（13分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 1 6．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 17．（15分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18．（17分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19．（17分） ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$