精品解析：上海市华东师范大学附属东昌中学高三下数学第一次阶段性测试数学试卷

华东师范大学附属东昌中学高三第二学期第一次阶段性测试 数学 考生注意： （1）本试卷共有21道试题； （2）完卷时间：120分钟满分；150分； （3）请按要求在答题纸上填写班级､姓名､学号､考场号､座位号. 一､填空题：（共54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，则 __________. 2. 函数的定义域为__________． 3. 若是关于 的实系数方程的一个复数根，则 __________. 4. 在的展开式中，的系数为______（用数字作答）． 5. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________. 6. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为 ， ，则的概率为________. 7. 已知函数，则________________． 8. 已知函数，若 ，，且，则的最小值是______ 9. 在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率 晶胞含有原子的体积 晶胞体积.如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式——体心立方堆积，该堆积方式是以正方体8个顶点为球心的球互不相切，但均与以正方体体心为球心的球相切.晶胞为上述正方体，则该金属晶体晶胞的空间利用率为__________. 10. 已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为 ，， ，若，则________. 11. 定义在R上函数 满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是_______________． 12. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______. 二､选择题：（共18分，13､14每题4分，15､16每题5分） 13. 设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ） A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 15. 已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 16. 若 ，有限数列的前 项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在 ，使得是等差数列；②对于任意的 ，都不是等比数列．则（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三､解答题（共78分，12+14+16+18+18）本大题共有5题，必须写出必要的步骤. 17. 如图，四棱锥中，平面 ， ，， ， ，E，F分别为 的中点． （1）求证：CE∥平面PAD； （2）求点B到平面PCF的距离. 18. 在锐角三角形 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求 的周长l的取值范围． 19. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示． Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （1）根据所给数据，判断是否有 的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （附：，其中 ．） （2）某公司视频部拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora． （i）求员工经过培训能应用Sora的概率； （ii）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 20. 在平面直角坐标系 中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点． （1）求曲线K的方程； （2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线 交于Q点．求的值； （3）若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为，求 面积的最小值． 21. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线在 和 处的切线重合，则称 ， 为曲线的“双重切点”，直线 为曲线的“双重切线”． （1）直线 是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线 为曲线的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华东师范大学附属东昌中学高三第二学期第一次阶段性测试 数学 考生注意： （1）本试卷共有21道试题； （2）完卷时间：120分钟满分；150分； （3）请按要求在答题纸上填写班级､姓名､学号､考场号､座位号. 一､填空题：（共54分，1-6每题4分，7-12每题5分） 1. 已知集合，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据并集定义直接求得结果. 【详解】 故答案为： 2. 函数的定义域为__________． 【答案】或. 【解析】 【分析】根据定义域的求法求解. 【详解】函数, 则，解得或. 故答案为：或. 3. 若是关于 的实系数方程的一个复数根，则 __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于 的实系数方程的一个复数根， 所以是关于 的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 4. 在的展开式中，的系数为______（用数字作答）． 【答案】18 【解析】 【分析】由二项式展开式的公式即可得到答案. 【详解】的展开式中第项为：， ∴令，即 ， ∴的系数为：18 故答案为：18 5. 已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为， 故答案为： 6. 先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为 ， ，则的概率为________. 【答案】 【解析】 【分析】先计算先后抛掷两枚骰子的所有结果，然后由得出，找出满足的所有可能，从而求出概率. 【详解】先后抛掷两枚骰子的点数所有结果共种， 满足条件，即的有，，，共3种. 所以概率为. 故答案为：. 7. 已知函数，则________________． 【答案】4 【解析】 【分析】先求出，利用导数求出，即可求解. 【详解】. 因为，所以， 所以， 所以2. 故答案为：4 8. 已知函数，若 ，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为 ，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又 ，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为 . 故答案为： . 9. 在化学知识中，空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积之比，即空间利用率 晶胞含有原子的体积 晶胞体积.如图是某金属晶体晶胞的一种堆积方式——体心立方堆积，该堆积方式是以正方体8个顶点为球心的球互不相切，但均与以正方体体心为球心的球相切.晶胞为上述正方体，则该金属晶体晶胞的空间利用率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据球的体积公式即可求解. 【详解】设小球半径为 ，正方体的棱长为 ， 所以， 故空间利用率为， 故答案为： 10. 已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为 ，， ，若，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意判断 ，， 分布的位置，结合正弦函数的周期以及对称性确定点M的坐标，代入函数解析式化简，可得答案. 【详解】令，则函数即为函数， 的最小正周期为， 最小正周期为， 作出函数的大致图象，如图， 则函数的图象与直线连续的三个公共点 ，， ， 等价于的图象与直线连续的三个公共点，，， （连续的三个公共点从左到右排列） 由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期）， 即，关于直线对称，， 由于，则，故， 而，关于直线对称，故点横坐标为， 将点横坐标代入，得， 则， 故答案为： 11. 定义在R上函数 满足且当时，，则使得在上恒成立的m的最小值是_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据条件求其他区间的解析式，并计算每一段的值域，从而确定对应的 的值，结合函数的性质和图象，即可求解. 【详解】设，，，函数的值域是， ，，，函数的值域是， ，，，函数的值域是， ，，，函数的值域是， 所以当后， 当时，，解得：或， 如图，根据规律，画出函数的图象， 如图可知，使在上恒成立的m的最小值是. 故答案为： 12. 平面内互不重合的点、、、、、、，若，，2，3，4，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】设O为的重心，由重心性质化简可得，可知在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，进而利用数形结合可求得的最大值与最小值，可得结论. 【详解】设O为的重心，则， ， 因为，所以，设， 则在以点O为圆心，为半径的圆上，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系， 则， 当且仅当，，都在线段上时，等号成立， 又， 当且仅当、 、在线段上，且在线段上，在线段上时，等号成立， 综上所述，的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是得到在以点O为圆心，为半径的圆上，由此即可利用数形结合顺利得解. 二､选择题：（共18分，13､14每题4分，15､16每题5分） 13. 设、是非零向量，则“”是“为锐角”的（ ）条件. A. 充分必要 B. 充分非必要 C. 必要非充分 D. 既非充分又非必要 【答案】C 【解析】 【分析】先考虑必要性，再考虑充分性可得解. 【详解】当“为锐角”时，，所以“”是“为锐角”的必要条件； 当时，，所以“”是“为锐角”的不充分条件. 所以“”是“为锐角”的必要不充分条件. 故选：C. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ） A. 是相互独立事件，不是互斥事件 B. 是互斥事件，不是相互独立事件 C. 既是相互独立事件又是互斥事件 D. 既不是互斥事件也不是相互独立事件 【答案】A 【解析】 【分析】根据互相独立事件、互斥事件的定义确定即可. 【详解】因为，，所以， 所以，， 所以 ， 所以事件 与事件 是相互独立事件，不是互斥事件. 故选：A. 15. 已知圆的圆心为C，过点且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意找出几何关系，得到，所以，即可得到，所以点P的轨迹是双曲线右支. 【详解】由已知条件可知 , 所以三角形是等腰三角形， , 因为 所以 则三角形BMP是等腰三角形， 所以 所以点P的轨迹是双曲线的右支． 故选C 【点睛】本题考查了几何关系的转换和双曲线的定义，是一道综合性较强的题目，属于难题，解题的关键是几何关系的转换，由角的相等得出线段相等而后得到线段的差是一个常数是本题的难点. 16. 若 ，有限数列的前 项和为，且对一切都成立．给出下列两个命题：①存在 ，使得是等差数列；②对于任意的 ，都不是等比数列．则（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】判断特称命题为真命题只需知道一个合适的值即可，判断全称命题为证明题就需要严格证明，本题因为数列公比不确定，通过讨论公比的值通过条件能否找到对应数列即可判断真假. 【详解】对于①：例如，则， 满足是等差数列，且对一切都成立，故①正确； 对于②：若是等比数列，设公比为 ，显然 1．当时，，不合题意； 2．当时，，不合题意； 3．当时，因为，则，即， （1）当时，则， 即，解得，不合题意； （2）当时，若 为偶数，则， 即，解得，不合题意； （3）当时，若 为偶数，则， 即，整理得，无解，不合题意， 综上所述：不存在 满足题意，即不可能是等比数列，故②正确； 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键点是，熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，从而分析得解. 三､解答题（共78分，12+14+16+18+18）本大题共有5题，必须写出必要的步骤. 17. 如图，四棱锥中，平面 ， ，， ， ，E，F分别为 的中点． （1）求证：CE∥平面PAD； （2）求点B到平面PCF的距离. 【答案】（1）证明：取 中点 ，连接 、 ， 由于 是 的中点，则 ， ， 由于 ， ，所以 ， ， 所以四边形 是平行四边形，所以 ， 由于 ， 平面 ， 所以 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）设 是 的中点，连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，可得 ，再根据线面平行的判定定理即可得证； （2）先证明 ，再利用等体积法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点 到平面 的距离为 ， 因为 平面 ， 平面 ，所以 ， 由于 ， ，所以四边形 是平行四边形， 由于 ，所以 ， 由于 平面 ， 所以 平面 ， 又 平面 ，所以 ， 在 中，，所以，又 . 由得 ， 即， 所以，即点B到平面 的距离为. 18. 在锐角三角形 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求角A的大小； （2）若，求 的周长l的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由降幂公式结合特殊角的三角函数值可得； （2）由正弦定理边化角得到周长的表达式，再两角差的正弦展开式和辅助角公式结合正弦函数的取值范围求解即可； 【小问1详解】 因为，所以， 解得或（舍去）， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以 的周长， 即 ， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以，即 的周长l的取值范围为. 19. 向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如下表所示． Sora的应用情况 视频从业人员 合计 减少 减少 应用 54 18 72 没有应用 36 42 78 合计 90 60 150 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 （1）根据所给数据，判断是否有 的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？ （附：，其中 ．） （2）某公司视频部拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora． （i）求员工经过培训能应用Sora的概率； （ii）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．视频部现有员工100人，根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？ 【答案】（1）有把握 （2）（i）；（ii）14人 【解析】 【分析】（1）分析数据关系，完善列联表，提出零假设，计算，比较其与临界值大小，判断结论； （2）（i）设“员工第 轮获得优秀”， “员工经过培训能应用Sora”，则，结合互斥事件概率加法公式，独立事件概率乘法公式求结论； （ii）设视频部调 人至其他部门， 为培训后视频部能应用Sora的人数，则，由条件列不等式可求结论. 【小问1详解】 零假设：Sora的应用与视频从业人员的减少无关， ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断出不成立， 所以有 的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关； 【小问2详解】 （i）设“员工第 轮获得优秀”， “员工经过培训能应用Sora”，则， 所以， 所以员工经过培训能应用Sora的概率为； （ii）设视频部调 人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数， 则，因此， 调整后视频部的期望年利润为：（万元）， 令，解得，又，所以， 因此视频部最多可以调14人到其他部门． 20. 在平面直角坐标系 中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K，P是曲线K上一点． （1）求曲线K的方程； （2）过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若且直线OP与直线 交于Q点．求的值； （3）若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为，求 面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可， （2）联立直线l与抛物线，求出的值，又，设出OP的方程，再联立抛物线求出的值，再求出，得出的值； （3）由于D、E在y轴上，设出D、E坐标，并求出，P点的横坐标即为 的高，再求 面积的最小值即可． 【小问1详解】 由题意可知圆心到的距离等于到直线的距离， 由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为， 【小问2详解】 设直线l的方程为， 联立，消y得， ∴，∴ ， 设，∴, 又， ∴ ∵，∴设直线OP的方程为 ， 联立，消y得， ∴，∴，∴， 令 ，则，∴，∴， ∴， 故的值为， 【小问3详解】 设， 直线PD的方程为， 又圆心到PD的距离为1，即， 整理得， 同理可得， 所以，可知b，c是方程的两根， 所以，， 依题意，即，则， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时上式取等号， 所以 面积的最小值为8． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 21. 定义：若函数图象上恰好存在相异的两点 ， 满足曲线在 和 处的切线重合，则称 ， 为曲线的“双重切点”，直线 为曲线的“双重切线”． （1）直线 是否为曲线的“双重切线”，请说明理由； （2）已知函数求曲线的“双重切线”的方程； （3）已知函数，直线 为曲线的“双重切线”，记直线 的斜率所有可能的取值为，，…，，若（），证明：． 【答案】（1）是，理由：的定义域为，求导得，直线 的斜率为2， 令，解得，不妨设切点， 则点 处的切线方程为，即 ， 点 处的切线方程为，即 ， 所以直线 是曲线的“双重切线”. （2）； （3）证明：设对应的切点为，对应的切点为， 由，得，， 由诱导公式及余弦函数的周期性知，只需考虑，，其中， 由及余弦函数在上递增知，， 则， ， 因此，又，， 则，同理， 令，求导得， 则在上单调递增，显然，且， 函数在上的值域为，即函数 在上存在零点，则有， 由，同理可得，而，因此， 于是，即有， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用直线的斜率与导数的几何意义求得切点，再分别求切线方程验证即可. （2）求出函数的导数，并设出切点，求出 处的切线方程，再利用“双重切线”的定义求出切线方程. （3）利用“双重切线”的定义，分别设出对应的切点，分别利用导数的几何意义得到对应切点之间的关系，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理确定判 的零点所在区间，然后借助不等式性质推理即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数，求导得， 显然函数在上单调递增，函数在上单调递减， 设切点，则存在，使得， 则在点 处的切线方程为，在点 处的切线方程为， 因此，消去可得， 令，求导得， 则函数在上单调递增，又，函数的零点为 ，因此， 所以曲线的“双重切线”的方程为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键点有两个：一是利用导数的几何意义求解切线的斜率；二是设切点并利用和切线方程得到之间的等式，进而消去一个未知数，构造函数利用导数的性质求得方程的零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $