精品解析：山西省吕梁市汾阳市2024—2025学年上学期期末测试九年级数学试卷

2024-2025学年第一学期期末教学质量监测（九年级数学） 注意事项∶ 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，考试结束后交回答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 3. 用配方法解方程，变形后结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B. 天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C. 某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D. 连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 5. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 6. 我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A. 演绎 B. 公理化 C. 抽象 D. 数形结合 7. 如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，取一张长与宽之比为矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，一扇形纸片的圆心角为，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中的横线上） 11. 如果m是方程的一个根，则____________． 12. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：当时，x的取值范围是____________． x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 13. “降次”是解一元二次方程基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________． 14. 如图，正五边形内接，点F是的中点，连接，于交于点G，则的度数是____________． 15. 如图，在中，，，，D、E分别为、上的点，且，，则的长为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 16. 解方程 （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 18. 近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．请根据统计图回答问题： （1）①调查的50人中，55岁以上的有 人，m的值为 ； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为 ； （2）本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁～55岁这个范围内的居民的概率． 19. 如图，点在以为直径的上，平分交于点，交于点，连接并延长交的切线于点F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 阅读与思考 规定：圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，例如两个半圆就是相似扇形，类似地，还有两个圆…． （1）如图1，已知扇形（O为圆心），请以点为圆心，为半径，作扇形的相似扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）①“半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形”是 命题（填“真”或“假”）． ②如图2，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，，求扇形的面积． 21. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 22. （项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 23. 综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究： 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，． （1）试猜想线段与的关系为 ； （2）将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若，． ①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长； ②在图2中，若，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年第一学期期末教学质量监测（九年级数学） 注意事项∶ 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答案全部在答题卡上完成，考试结束后交回答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 剪纸是我国优秀的民间传统文化艺术之一，传承了中华民族深邃的传统思想和古老文化，具有独特的美术价值和人文价值．下面的剪纸图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 其图像的对称轴为直线 C. 其最小值为5 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解决此题的关键．根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴、最值和顶点坐标，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：∵，， ∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意； 对称轴是直线，故选项B不符合题意； 当时y取得最大值，故选项C不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 3. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，方程两边加上一次项系数一半的平方，把左边转化为完全平方式即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 4. 下列说法中正确的是（ ） A. 种植一种花卉成活率是，则种100株这种花一定会有95株成活 B. 天气预报“明天降水概率是”是指明天有的时间会下雨 C. 某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛一定能获得大奖 D. 连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1” 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是概率的意义，熟知概率只是表示某事件发生的可能性是解答此题的关键．根据概率的意义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、种植一种花卉成活率是95%，则种100株这种花不一定会有95株成活，故A说法错误，不符合题意； B、天气预报“明天降水概率是”，是指明天有的概率会下雨，故B说法错误，不符合题意； C、某位体育老师参加贾家庄半程马拉松比赛不一定能获得大奖，故C说法错误，不符合题意；； D、连续掷一枚质地均匀的骰子，若3次都掷出“1”，则第4次仍然可能掷出“1”, 故D说法正确，符合题意； 故选：D． 5. 物理兴趣小组在实验室研究电学时设计了一个电路，其电路图如图1所示．经测试，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成图2所示的函数图象，若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（ ） A. 最大电流是 B. 最大电流是 C. 最小电流是 D. 最小电流是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入求得I的值即可． 【详解】解：根据电压电流电阻，设， 将点代入得，解得， ； 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选：A． 6. 我们学习了一次函数和二次函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的相关性质．这种研究方法主要体现的数学思想是（ ） A. 演绎 B. 公理化 C. 抽象 D. 数形结合 【答案】D 【解析】 【分析】根据几种数学思想的定义选出正确选项． 【详解】解：研究一次函数的图象和性质利用的数形结合的思想． 故选：D． 【点睛】本题考查数学思想，解题的关键是掌握几种数学思想的定义． 7. 如图，的顶点C在x轴正半轴上，，以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、平行四边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．根据平行四边形的性质求出点C的坐标，再根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ， ∴点C的坐标为， ∵以原点O为位似中心将缩小，使得到的图形与原图形的相似比为， ∴点C的对应点的坐标为或， 即或， 故选：C． 8. 如图，取一张长与宽之比为的矩形纸板，在四个角各剪去四个边长为的小正方形，并用它做一个无盖的长方体形状的包装盒，若要使包装盒的容积为（纸板的厚度忽略不计），若设矩形纸板的长为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确表示出长方体的底面积是解题关键．根据题意用表示出包装盒底边的长和宽，然后用体积公式列方程即可得解． 【详解】 解：包装盒的容积为，矩形纸板的长为， 根据题意可得：， 故选：D． 9. 将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，再根据“左加右减，上加下减”的原则写出平移后的抛物线，即可作答． 【详解】解：将抛物线向下平移5个单位长度，再向左平移3个单位长度， 得， 故选：C． 10. 如图，一扇形纸片的圆心角为，半径为3．将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为，图中阴影部分为重叠部分，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是扇形面积计算、勾股定理，等边三角形的判定与性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．根据勾股定理求出，证明是等边三角形，求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，即可得到答案． 详解】解：如图，连接， 由题意可得，， 在中，， ∴； 由折叠的性质得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴； ∴阴影部分的面积； 故选：A． 二、填空题（本大题共有5个小题，每小题3分，共15分．请把答案填在题中的横线上） 11. 如果m是方程的一个根，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．将m代入，进而移项即可求得答案．此题的关键在于理解方程根的概念，并能灵活运用代数变形来求解目标表达式的值，而不必先解出根的精确值．在处理类似问题时，识别方程与目标表达式之间的联系，通过直接代换或变形来求解，可以快速准确地找到答案． 【详解】解：m是方程的一个根， 当时，有， ． 故答案为：4． 12. 已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如下表：当时，x的取值范围是____________． x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接利用图表中数据进而结合二次函数对称性分析得出对称轴以及x的取值范围． 【详解】解：如图表所示，可得时，y的值最大，则此二次函数图象的对称轴为直线； 可得，当，以及时，，且图象开口向下，则当时，x的取值范围是：或． 故答案为：或． 13. “降次”是解一元二次方程的基本思想，用这种思想解高次方程x3－x＝0，它的解是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先把方程的左边分解因式，再化为三个一次方程进行降次，再解一次方程即可. 【详解】解： 则或或 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用因式分解的方法把高次方程转化为一次方程，掌握“因式分解的方法与应用”是解本题的关键. 14. 如图，正五边形内接，点F是中点，连接，于交于点G，则的度数是____________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】如图所示，连接，，，，，首先根据多边形和圆的性质得到，然后根据圆周角定理得到，，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接，，，， ∵正五边形内接， ∴ ∵点F是的中点 ∴ ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆周角定理，正多边形和圆的性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 15. 如图，在中，，，，D、E分别为、上的点，且，，则的长为____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、解直角三角形、三角形内角和定理、等腰直角三角形的判定与性质，作于，于，求出，由勾股定理可得，结合题意可得，，从而得出，由等边对等角可得，由等面积法得出，求出，，，，进而可得，设，则，证明为等腰直角三角形，得出，求出，得到，，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤） 16. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握公式法，因式分解法是解题的关键． （1）先确定，，再运用求根公式，代入计算即可； （2）运用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ∵，， ， ，． 【小问2详解】 解： 原方程可化为， ∴， 因式分解得， ∴或， ∴． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． （1）求反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握其性质并能正确求出反比例函数的解析式是解决此题的关键． （1）先由一次函数图象过点，且点的纵坐标为5，，将代入，求出的值，得到点的坐标，再将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）先由一次函数的图象与轴交于点，求出点的坐标为，再将代入，求出的值，那么，过作于，则，然后根据，将数值代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5， ∴，解方程得，， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，是3， ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，，解得， ， 如图，过作于，则， ． 18. 近年来，我市坚持以人民为中心的发展思想，将普惠性，基础性，兜底性民生建设作为重中之重，积极探索在发展中保障和改善民生的新路径，为人民群众带来更多获得感和幸福感．按照市委市政府工作安排，为认真贯彻落实市两会提出的免费乘坐公交民生实事，公交公司从2023年5月起，实行本市内免费乘坐公交车政策．某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份问卷调查，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．请根据统计图回答问题： （1）①调查的50人中，55岁以上的有 人，m的值为 ； ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为 ； （2）本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁～55岁这个范围内的居民的概率． 【答案】（1）①30，10，② （2） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和简单的概率计算，能从表中获取信息和正确计算是解题的关键． （1）①用调查的总人数乘以55岁以上所占的百分比即可；②用1减去其余两项所占的百分比即可； （2）直接用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：①55岁以上的有（人）， ， ， 故答案为：30，10； ②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不满意的人有（人）， 设岁这个范围内居民为A，55岁以上的三位居民分别为B1，B2，B3， 根据题意，列表格如下∶ 二 一 A A 或画树状图如下： 由表格(或树状图)可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况，其中恰好选岁这个范围内居民的有6种情况，即，，，，，， ∴， 故答案为：． 19. 如图，点在以为直径上，平分交于点，交于点，连接并延长交的切线于点F． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆的性质是解题的关键． （1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据切线的性质得出，证明，即可得出答案； （2）根据直角三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， ∴， 设，则， 由勾股定理得， 解得：， 又∵， ∴，即的长为1． 20. 阅读与思考 规定：圆心角相等的两个扇形叫做相似扇形，例如两个半圆就是相似扇形，类似地，还有两个圆…． （1）如图1，已知扇形（O为圆心），请以点为圆心，为半径，作扇形的相似扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）； （2）①“半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形”是 命题（填“真”或“假”）． ②如图2，扇形、是相似扇形，点P是上一点，且点P在的垂直平分线上，，求扇形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①真，② 【解析】 【分析】（1）以点为圆心，以长为半径画弧，作，角的一边交弧于点，扇形即为所求作； （2）①是真命题；②设，则，根据线段垂直平分线性质得，得，得，根据内角和得，解得，代入扇形面积公式计算即得． 【小问1详解】 如图扇形即为所求， 【小问2详解】 解：①“半径和弧长对应成比例的两个扇形是相似扇形”是真命题； 故答案为：真； ②解：如图，连接BC， ∵扇形是相似扇形， ∴， ∴， 设， 则， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了新定义——相似扇形．熟练掌握新定义，基本作图——作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，扇形面积公式，是解题的关键． 21. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为10% （2）每千克甜瓜应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 22. （项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】（1），；（2）（或），（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，交于点，由题意可知，，，，，，求出，即可求解； （2）先求出点，即可求出二次函数表达式； （3）先求出，则要求最大值，可先求最大值，求出直线解析式为，设，则，则， 则最大值为，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图： 由题意可知，，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， 即固定旗杆需要的铁丝长度为， 故答案为：，； （2）如图所示： ∵为大门两旁立柱，且高均为2米， ∴， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴顶点C的横坐标为， 又∵C距地面的距离为米， ∴， 设抛物线表达式为， 由题意知， 将，代入中， 解得： ， ∴抛物线表达式为或； （3）如图，连接，过点作轴平行线，交于点H，交于点I， 由题意知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴要求最大值，可先求最大值， 设直线解析式为， 将)， ，代入，得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴最大值为， ∴， ∴， 四个接口处所需铁丝长度为， ∴绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 23. 综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动，下面是同学们进行相关问题的研究： 如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，，点D是的中点，作正方形，使点A，C分别在和上，连接，． （1）试猜想线段与的关系为 ； （2）将正方形绕点D逆时针方向旋转一定角度（旋转角度大于，小于或等于）．如图2，在旋转过程中，请判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由； （3）若，． ①将正方形绕点Ｄ逆时针方向旋转到如图3位置，即A、B、G三点在一条直线上，且点B在A、G之间，求的长； ②在图2中，若，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，请直接写出的长． 【答案】（1）， （2）成立，见解析 （3）①，②10 【解析】 【分析】（1）如图1，延长交于，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （2）如图2，连接，延长交于点K，交于点O，由等腰直角三角形的性质及正方形的性质可以得出，进而利用全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理得出结论； （3）①如图3，连接，先利用等腰直角三角形的性质得到，利用勾股定理列方程，进而解方程即可； ②如图2，过点G作中边高线，与的延长线交于点P，过A作于，先根据等腰直角三角形和正方形的性质得到，，设，由勾股定理可得，然后解方程得到，，证明，得，进而求得即可求解． 【小问1详解】 解：，． 理由：如图1，延长交于． 是等腰直角三角形，，点是的中点， ，， ． 四边形是正方形， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：，； 【小问2详解】 解：成立，连接，延长交于点K，交于点O， 在中，，点D是的中点， ∴，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴，且， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①如图，连接， ∵是等腰直角三角形，，点是的中点，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， 由（2）得，， ∴， ∴， ∴， 解得； ②如图，过点G作中边的高线，与的延长线交于点P，过A作于， ∵是等腰直角三角形，，点是的中点，， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：，即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质、正方形性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适辅助线是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$