精品解析：江苏省无锡市江阴市第二中学2024-2025学年高二下学期3月阶段性检测数学试题

2024-2025学年度春学期三月份阶段性检测试卷 高二数学 命题人：胡洪清 复核人：徐波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数在处的导数存在，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的定义求得正确答案. 【详解】. 故选：D 2. 若函数的导数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则即可求解. 【详解】由函数， 则. 故选：B 【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式以及导数的运算法则，需熟记公式以及导数的运算法则，属于基础题. 3. 已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导函数的正负及变化规律即可判断. 【详解】由的图象可知，，所以的图象单调递增， 因为的值先增大后减小，所以的切线的斜率先增大后减小，根据图象可判断A正确. 故选：A. 4. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】球的体积公式为，对其求导并代入计算即可 【详解】由球的体积公式可得，得， 所以时，体积关于半径的瞬时变化率为， 故选：. 5. 是函数的导数，函数是增函数（是自然对数的底数），与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数是增函数，可得，化简后可得答案 【详解】令，则， 因为是增函数， 所以， 所以，所以， 故选：D 6. 已知定义在上的函数的导数为，对任意的满足，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知等式构造新函数，利用新函数的单调性逐一判断即可. 【详解】设， 所以函数是实数集上的增函数. A：因为函数是实数集上的增函数， 所以有，所以本选项判断正确； B：因为函数是实数集上的增函数， 所以有，所以本选项判断正确； C：因为函数是实数集上的增函数， 所以有，所以本选项判断正确； D：因为函数是实数集上的增函数， 所以有， 因为不能判断的正负性，所以不能判断之间的大小关系，因此本选项判断不正确， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，进而利用新函数的单调性进行判断. 7. 已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出在区间上恒成立，利用分离参数思想化为在上恒成立，求出取值范围即可． 【详解】∵函数在区间上为单调递增函数， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 由于函数在上单调递减，所以， 即实数的取值范围是， 故选：D. 8. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据a、b、c的结构，构造函数，利用导数判断单调性，即可比较出a、b、c的大小，从而可得到正确答案． 【详解】因为，， 故构造函数，则， 令，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又因为，， 所以，． 因为，又， 所以，即，故， 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据求导公式、运算法则和简单复合函数的求导依次计算，即可求解. 【详解】A：，故A正确； B：，故B错误； C：，故C正确； D：，故D正确. 故选：ACD 10. 下列命题中是真命题有（ ） A. 若，则是函数的极值点 B. 函数的切线与函数可以有两个公共点 C. 函数在处的切线方程为，则当时， D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用极值点的定义，举例判断A；举例判断B；利用导数的极限定义判断C;构造函数，利用单调性解不等式. 【详解】A：例如在处导数，但当时，函数单调递增，当时，函数也单调递增，故不是函数的极值点，故A选项错误； B：例如，，在点的切线与有两个交点，故正确； C：根据导数的定义可知，，即，，故错误； D：令，则有，，故解集是，故的解集是，正确； 故选：BD. 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程的解有个 D. 导函数的极值点为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断ABC选项；利用函数的极值点与导数的关系可判断D选项. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 令，可得，列表如下： 减 极小值 增 且当时，；当时，， 作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，的最小值为，B对； 对于C选项，方程的解只有个，C错； 对于D选项，令，该函数的定义域为， ，令，可得；令，可得. 所以，函数的单调递减区间为，递增区间为， 所以，函数的极值点为，D对. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线与直线相切，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】设出切点坐标，对函数进行求导，根据导数的几何意义求出的值，代入曲线即可得切点坐标，将切点代入切线即可得的值. 【详解】设切点坐标为，∵，∴， 又∵曲线与直线相切， ∴，解得， ∴，即切点坐标为， 可得，解得，故答案为. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义、切线方程，即函数在某点处的导数即为函数在该点处切线的斜率，切点既在曲线上又在切线上，即切点坐标满足曲线方程，切点坐标满足切线方程，属于基础题． 13. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的定义域，以及导函数，根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可写出单调增区间. 【详解】因为，则其定义域为， ，令， 即可得，解得， 结合函数定义域可知，函数的单调增区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用导数求解函数单调性，属基础题；本题的易错点是没有注意到函数的定义域. 14. 三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任意一个三次函数都有“拐点”，任意一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.将这一发现作为条件，则对于函数，它的图象的对称中心为_______；_______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】解方程可求得函数的对称中心坐标，计算出，利用倒序相加法可求得结果. 【详解】，，则. 令，得， 又，故函数的图象的对称中心为， 设为函数的图象上任意一点. 因为函数的图象的对称中心为， 所以，点P关于的对称点也在的图象上， 所以，，则， 因此， . 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式; （2）若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再利用切线方程求出即可； （2）由两直线垂直得到斜率关系，再利用导数的意义求解即可； 【小问1详解】 函数， ， 在点处的切线为， 解得， 所以 【小问2详解】 设，则由题可知，即， 所以P的横坐标为2． 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1）单调递增区间为；递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性； （2）根据函数的单调性求最值. 【小问1详解】 易知函数的定义域为， 令，得或， 令，得， 故函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， ∴函数的单调递增区间为；递减区间为. 【小问2详解】 由（1）得，当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， 所以. 17. 设函数的导数满足，. （1）求的单调区间； （2）在区间上的最大值为，求的值. （3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围. 【答案】（1）递增区间为，递减区间为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出，的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间； （2）利用导数求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求的值. （3）根据的单调性求得极值，令极大值大于，极小值小于，解不等式即可求的范围. 小问1详解】 由可得， 因为，， 所以，解得：，， 所以，， 由即可得：， 由即可得：或， 所以的单调递增区间为，单减区间为和. 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极小值， ， ， 则在区间上最大值为， 所以. 【小问3详解】 由（1）知当时，取得极小值， 当时，取得极大值 ， 若函数的图象与轴有三个交点， 则得，解得， 即的范围是. 18. 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). （1）当a＝时，求f(x)的极值； （2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 【答案】（1）f(x)极大值＝ln 2－1，无极小值；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）当a＝时，f(x)＝ln x－x，求导得到f′(x)＝－＝，然后利用极值的定义求解. （2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a＝ (x>0)，然后分a≤0和a>0两种情况讨论求解. 【详解】（1）当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝， 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x) ln 2－1 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值. （2）由（1）知，函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－a＝ (x>0). 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 当a>0时，当x∈时，f′(x)>0， 当x∈时，f′(x)<0， 故函数在x＝处有极大值. 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 【点睛】本题主要考查导数与函数的极值以及极值点的个数问题，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【详解】（1）的定义域为，， （ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得. 当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点. （ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点. 设正整数满足，则. 由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为. 点睛:研究函数零点问题常常与研究对应方程实根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度春学期三月份阶段性检测试卷 高二数学 命题人：胡洪清 复核人：徐波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数在处的导数存在，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的导数为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是的导数，的图象如图，则的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 用充气筒吹气球，气球会鼓起来，假设此时气球是一个标准的球体，且气球的体积随着气球半径r的增大而增大.当半径时，气球的体积相对于r的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 5. 是函数导数，函数是增函数（是自然对数的底数），与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上函数的导数为，对任意的满足，则下列判断错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上为单调递增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，，，则，，的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中是真命题有（ ） A. 若，则是函数的极值点 B. 函数的切线与函数可以有两个公共点 C. 函数在处的切线方程为，则当时， D. 若函数的导数，且，则不等式的解集是 11. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 在区间上单调递增 B. 的最小值为 C. 方程解有个 D. 导函数的极值点为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知曲线与直线相切，则实数______． 13. 函数的单调递增区间是__________. 14. 三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.有同学发现：任意一个三次函数都有“拐点”，任意一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.将这一发现作为条件，则对于函数，它的图象的对称中心为_______；_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式; （2）若曲线在点P处的切线与直线垂直， 求点P 的横坐标． 16. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值． 17. 设函数的导数满足，. （1）求的单调区间； （2）在区间上的最大值为，求的值. （3）若函数的图象与轴有三个交点，求的范围. 18 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). （1）当a＝时，求f(x)的极值； （2）讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $