精品解析：山东省临沂市临沭县2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题（B）

试卷类型：B 2024—2025学年度上学期期末阶段检测 九年级数学试题 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的学校，姓名，准考证号等填写在答题卡的规定位置．答案填在答题卡上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 1. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. 如图，点A在反比例函数图象上，轴于点B．若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 如图，正五边形内接于，将其绕它的中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（ ） A. B. C. D. 4. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 5. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某市2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2025年底增加到432公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，若关于的一元二次方程的解为，关于的一元二次方程的解为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的外接圆，，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中的平分线．图①中小亮的画法是：连接，则即为的平分线；图②中小明的画法是：连接并延长；交于点，连接，则即为的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的说（ ） A. 小亮的做法正确，小明的做法不正确 B. 小亮和小明的做法都不正确 C. 小亮和小明的做法都正确 D. 小明的做法正确，小亮的做法不正确 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）． 12. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转40°后得到，若，则的度数是______． 13. 如图，直线交于点，，若，则的值为________． 14. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 15. 如图，正方形的边长为2，连接，以长为半径画弧，交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为__． 16. 如图，点的坐标是，点的坐标是，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则________． 三、解答题：（本题共7小题，共72分．）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）用配方法解方程：． 18. 临沂既是一座底蕴深厚千年古城，又是活力多彩的时尚新都，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人来临沂旅游，两人分别从A：琅琊古城、B：灯火兰山．新琅琊、C：王羲之故居三个景点中随机选择一个景点游览． （1）“游客甲到琅琊古城游览”的概率是________； （2）请用画树状图法或列表法，求甲，乙两位游客到不同景点游览的概率． 19. 在中，于点是线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在线段上． （1）求证：； （2）若，求点到边的距离． 20. 我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示． ． （1）________，________． （2）直接写出图中y关于x的函数关系式． （3）饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？ 21. 如图1，某学校教学楼从一楼到二楼由两段坡度相等的楼梯联通，经测量其中一段楼梯的长为4米（如图2），坡角为． （1）求点到地面的距离； （2）楼梯每级的水平级宽均是0.25米，小明跨上5个台阶后，他上升了多少米？（参考数据：） 22. 如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求半径长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线与轴交点坐标； （2）若点在图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围； （3）已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：B 2024—2025学年度上学期期末阶段检测 九年级数学试题 注意事项： 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页，满分120分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的学校，姓名，准考证号等填写在答题卡的规定位置．答案填在答题卡上，答在本试卷上不得分．考试结束后，只将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 1. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 2. 如图，点A在反比例函数图象上，轴于点B．若，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义．根据反比例函数中比例系数的几何意义得到，再根据反比例函数性质确定的值，即可解题． 【详解】解：轴于点B．且， ， 解得或， 反比例函数图象在第一象限， ， 故选：D． 3. 如图，正五边形内接于，将其绕它的中心旋转某一角度后会与原图形重合，这个角度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，旋转对称图形，掌握正多边形的中心角的求法是解题的关键． 求出正五边形的中心角即为可旋转的角度． 【详解】解：正五边形中心角为：， ∴将其绕它的中心旋转会与原图形重合， 故选：C． 4. 某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（　　） A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，即可得解． 【详解】解：由图可得，这种树苗成活的频率稳定在0.90，故成活的概率约为0.90， 故选：B． 5. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 6. 已知点和点均在反比例函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 先确定反比例函数的图象经过第二四象限，点和点分别在第二象限和第四象限，则可得到． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第二四象限， ∴在第二象限， ∴， ∵， ∴在第四象限， ∴， ∴， 故选：B． 7. 某市2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2025年底增加到432公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，据此列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选．B． 8. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，勾股定理，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，， 则， ∵， ∴ 故选：C． 9. 已知，若关于的一元二次方程的解为，关于的一元二次方程的解为，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键． 把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案． 【详解】解：如图所示， 设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点， ∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为， ∴分别是A、B、C、D的横坐标， ∴， 故选B． 10. 如图，是的外接圆，，小亮和小明只用无刻度的直尺，分别画出了图①和图②中的平分线．图①中小亮的画法是：连接，则即为的平分线；图②中小明的画法是：连接并延长；交于点，连接，则即为的平分线．对于以上二人的做法，说法正确的说（ ） A. 小亮的做法正确，小明的做法不正确 B. 小亮和小明的做法都不正确 C. 小亮和小明的做法都正确 D. 小明的做法正确，小亮的做法不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和垂径定理，角平分线判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．图①中连接，图②中，连接并延长；交于点，连接，根据等弧所对得圆周角相等，以及垂径定理，圆周角定理求解，即可解题． 【详解】解：连接，     ， ， ， 即为的平分线， 故小亮的做法正确；    连接并延长；交于点，连接， 为直径， ， ，， ， ， 即为的平分线， 故小明的做法正确． 故选：C． 第II卷（非选择题共90分） 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ， 解上式得． ∴的任意实数． ∴a的值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 12. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转40°后得到，若，则的度数是______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】根据将绕点O按逆时针方向旋转后得到，可得，即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形旋转变换，解题的关键是掌握旋转的性质． 13. 如图，直线交于点，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 14. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则铅球推出的距离_________m． 【答案】10 【解析】 【分析】令，则，再解方程，结合函数图象可得答案． 【详解】解：令，则， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令求解方程的解是解本题的关键． 15. 如图，正方形的边长为2，连接，以长为半径画弧，交于E、F两点，则图中阴影部分的面积为__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查正方形和圆的面积公式的灵活应用，熟记计算公式是解题的关键， 先求出正方形的面积，再求出扇形的面积即可求出阴影部分的面积． 【详解】解： 是边长为2的正方形， ， 是正方形对角线， 又阴影部分是以长为半径画弧， 分别以B为圆心阴影部分的面积为：， 第一部分阴影部分的面积为， 两个阴影部分的面积相等， 图中阴影部分的面积为． 故答案为：． 16. 如图，点的坐标是，点的坐标是，将绕点逆时针旋转后得到．若反比例函数的图象恰好经过的中点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形性质和判定，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键在于熟练掌握相关知识．过点作于点，结合旋转的性质，证明，结合全等三角形性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，最后利用待定系数法求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ，， ， ， 点， 反比例函数的图象恰好经过的中点， 则， 故答案为：． 三、解答题：（本题共7小题，共72分．）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的函数值的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤和正确计算是解题的关键． （1）先代入特殊角的函数值，再按照二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先将常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，再用直接开平方法求解． 【详解】解：（1） ； （2） 解得：． 18. 临沂既是一座底蕴深厚的千年古城，又是活力多彩的时尚新都，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人来临沂旅游，两人分别从A：琅琊古城、B：灯火兰山．新琅琊、C：王羲之故居三个景点中随机选择一个景点游览． （1）“游客甲到琅琊古城游览”的概率是________； （2）请用画树状图法或列表法，求甲，乙两位游客到不同景点游览的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟练掌握相关计算方法是解题的关键． （1）利用概率计算公式求解即可； （2）利用树状图或列表的方法，分析甲，乙两位游客到不同景点游览的基本事件的个数，除以总的基本事件个数即可． 【小问1详解】 解：∵共有个景点可供选择，且选择每种景点是随机的， “游客甲到琅琊古城游览”的概率是为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下： 由表格可知，共有种等可能的结果，其中甲，乙两位游客到不同景点玩共有6种等可能的结果， 甲，乙两位游客到不同景点玩的概率为． 19. 在中，于点是线段上的一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在线段上． （1）求证：； （2）若，求点到边的距离． 【答案】（1）见详解 （2）点到边的距离为． 【解析】 【分析】（1）由旋转得，再结合三角形内角和得，因为，则证明，即可作答． （2）先运用勾股定理算出，结合旋转性质以及等角对等边，得，运用相似三角形的高的比等于相似三角形的相似比，即可作答． 【小问1详解】 解：∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， 即， ∵， ∴， 解得， 即点到边的距离为． 【点睛】本题考查了旋转性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等角对等边，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20. 我校的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系．直至水温降至时自动开机加热，重复上述自动程序．若在水温为时，接通电源后，水温（）和时间x（）的关系如图所示． ． （1）________，________． （2）直接写出图中y关于x的函数关系式． （3）饮水机有多少时间能使水温保持在及以上？ 【答案】（1）8，40 （2） （3）13分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，再求得反比例函数解析式，将代入求得； （2）根据题意得出点的坐标为和，然后利用待定系数法求出两个函数解析式； （3）先求出到第一节课下课时的时间为100分钟，是2个40分钟多20分钟，令，代入函数解析式求得，即可求解． 【小问1详解】 解：开机加热时每分钟上升， ， ∵停止加热，水温开始下降，此时水温（）与开机后用时（）成反比例关系． 设关系为，将点代入得， ∴反比例函数解析式为， 令，解得：， ∴； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵设一次函数关系式为：， 将（代入， 解得． ∴， 由（1）可得反比例函数解析式为：； ∴ 【小问3详解】 在中，令，解得； 反比例函数中，令， 解得：， ， ∴饮水机有分钟时间能使水温保持在及以上． 【点睛】本题主要考查的是一次函数与反比例函数的实际应用问题，根据题意和函数图象得出函数解析式是解决问题的关键． 21. 如图1，某学校教学楼从一楼到二楼由两段坡度相等的楼梯联通，经测量其中一段楼梯的长为4米（如图2），坡角为． （1）求点到地面的距离； （2）楼梯每级的水平级宽均是0.25米，小明跨上5个台阶后，他上升了多少米？（参考数据：） 【答案】（1） （2）小明跨上5个台阶后，他上升了0.75米 【解析】 【分析】本题考查了有关坡度问题的解直角三角形的应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点D，在中，由即可求解； （2）由题意得，小明跨上5个台阶的水平距离为，假设此时小明在点M处，过点M作于点N，则，在中，由即可求解． 【小问1详解】 解：过点作于点D， ∴在中， 答：点到地面的距离为； 【小问2详解】 解：由题意得，小明跨上5个台阶的水平距离为， 如图：假设此时小明在点M处，过点M作于点N，则， 在中，， 答：小明跨上5个台阶后，他上升了0.75米． 22. 如图，在中，是直径，是弦，点是上一点，，，交于点，点为延长线上一点，且． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的半径长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）圆周角定理推出，根据，结合三角形的内角和定理，推出，即可证明是的切线； （2）连接，易得，根据直径所对的圆周角为直角，得到，勾股定理求出的长，再结合三角函数求出的长，即可解题． 【小问1详解】 证明：， ， ，， ， 即， ， 是直径， 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， 解得， 的半径为． 【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，三角函数，直径所对的圆周角为直角，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 23. 平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时，求抛物线与轴的交点坐标； （2）若点在的图象上，将该二次函数的图象向上平移3个单位长度，得到新的二次函数的图象．当时，求新的二次函数的的取值范围； （3）已知和是抛物线上的两点．对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，熟练运用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． （1）先求出解析式，再令，即可求解； （2）先求出解析式为，则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：，然后求出对称轴，根据x的取值范围可得y的最值； （3）由题意得， 在上恒成立，问题转化为：在上恒成立，再分类讨论，画图求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， 当， ∴抛物线与轴的交点坐标为； 【小问2详解】 解：∵点在的图象上， ∴， 解得：或（舍）， ∴解析式：， 则向上平移3个单位长度后的函数解析式为：， 对称轴为直线：， ∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∴当时，求新的二次函数的的取值范围：． 【小问3详解】 解：由题意得，， 在上恒成立， 问题转化为：在上恒成立， 当时，， 令， 当时，， 要满足时，，则，如图： ∴； 当时，， 令， 当时，， 要满足时，，则，如图： ∴ 综上所述：对于，都有，则的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$