第十七章勾股定理单元检测 2024-2025学年人教版数学八年级下册

人教版八年级下册 勾股定理学业质量检测测试 姓名班级 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 （满分：120分考试时间120分钟） 得分 评卷人 1、 单项选择题（每小题2分，共12分） 1.若直角三角形两直角边为5和12,则斜边长为(　　) A.13 B.15 C.17 D.19 2.下列各组数中,是勾股数的是(　　) A.6,8,10 B.4,5,6 C.2,3,4 D.5,10,12 3.如图,一棵树高9米,折断后顶端离树根12米,折断处离地面高度为 (　　) A.4.5米 B.5米 C.6米 D.7.5米 4.在中,,若AC=6,,则AB边上的高为(　　) A.4.8 B.5 C.6 D.7.2 5.已知直角三角形的周长为24,斜边长为10,则其面积为(　　) A.24 B.30 C.48 D.60 6.在平面直角坐标系中,点A(3,4)到原点的距离为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 得分 评卷人 2、 填空题（每小题3分，共24分） 7.已知直角三角形的两条边为3和4,则第三边长为 . 8.若三角形三边长为(k>1),则此三角形是 三角形. 9.如图,阴影部分是一个正方形, 则此正方形的面积为 . 10.在ABC中,AB=AC=5,BC=6,则BC边上的高为 . 11.已知,则以a,b,c为边的三角形是 三角形. 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6， AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度 一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E， F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是 ． 13.如图，在Rt△ABC中，E是斜边AB的中点， 若∠A＝40°，则∠BCE＝ . 14.如图，以一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，那么最小的正方形的面积为 . 得分 评卷人 3、 解答题（每小题5分，共20分） 15.已知Rt△ABC斜边AB的长为cm，两直角边的差为cm，求三角形的周长及斜边上的高. 16.如图，已知在△ABC中，AB=8,AD=17,∠ABD=90°,BC=9，求△BCD面积 17.如图，D为△ABC的边BC上一点，已知AB=13,AD=12,AC=15,BD=5 则DC的长为的长为. 18.已知：如图，在中，是边上的高，且． 求证：是直角三角形． 得分 评卷人 4、 解答题（每小题7分，共28分） 19.设一个直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边c上的高为h,试判断以c+h,a+b,h为边长的三角形的形状，并证明 20.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水 点A、B,其中AB=AC,由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A、B、H在同一直线上),并新建一条路CH,测米，CH=3千米，HB=2千米. (1)CH是不是从村庄C到河边的最近路?请通过计算加以说明； (2)求新路CH比原路CA短多少千米? 21.如图，在4x3正方形网格中，每个小正方形的边长都是1. (1)分别求出线段AB、CD的长度； (2)在图中画出线段EF、使得EF的长为,以AB、CD、EF三条线段能 否构成直角三角形，并说明理由. 22.如图，四边形纸片ABCD,AB⊥BC.经测得AB=9cm,BC=12cm, CD=8cm,AD=17cm (1)求A、C两点之间的距离。 (2)求这张纸片的面积. 得分 评卷人 5、 解答题（每小题8分，共16分） 23.为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路AC,AD和AB,C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路AC和公路CB互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路DH与公路AB在H处连接，且公路DH和公路AB互相垂直，已知AC=9千米，AB=15千米，BD=5千米. (1)求公路CD、AD的长度； (2)若修公路DH每千米的费用是2万元，请求出修建公路DH的费用. 24.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7 米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，则梯子的底部向外滑多少米? 得分 评卷人 6、 解答题（每小题10分，共20分） 25.阅读材料：教材第16页“阅读与思考”中指出：如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,,那么这个三角形的面积 S=√p(p-a)(p-b)(p-c).这个公式叫“海伦公式”,它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式.完成下列问题： (1)一个三角形边长依次为5、6、7,利用这个公式，可以求出这个三角形的面积是 (2)学完勾股定理以后，已知任意形状的三角形的三边长也可以求 其面积.如图，在△ABC中，AB=15,BC=14,AC=13,求△ABC的面积. 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程. ①作ADIBC于D,设BD=x,用含x的代数式表示CD,则CD=- ②请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，并求出x的值； ③利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积 26.综合与实践 一个直角三角形的两条直角边分别为a,b(a<b),斜边为c.我国古代数学家赵爽用四个这样的直角三角形拼成了如图1的大正方形.(这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”) 图1 图 2 探究活动 (1)如图1,中间围成的小正方形的边长为 (用含有a,b 的代数式表示);根据大正方形的面积表示可以得出a²,b²,c2 的一个等式： ,并给出证明过程； 【证明】初步运用 (2)利用上述的结论完成下列问题： ①直角三角形两边长分别是6,8,则第三边的平方为 ②如图2是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的面积分别是3,5,2,3,则正方形E的边长是 一、选择题。 1.A 解析:斜边。 2.A 解析:勾股数需满足，且为整数。 3.A 解析:设折断处高，则，解得。 4.A 解析:斜边，面积，高。 5.A 解析:设两直角边为，则，， 解得，面积。 6.A 解析:距离。 二、填空题。 7.5或 解析:若3和4为直角边，则第三边5；若4为斜边，则第三边 。 8.直角 解析:，展开验证成立。 9. 解析:由勾股定理可得正方形边长为8；(172-152=82),即正方形 阴影面积为64。 10.4 解析:等腰三角形底边高。 11.直角 解析:由非负性得，满足。 12.5 解析:由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴CD＝5. 13.50° 解析:∵E是Rt△ABC斜边AB的中点，∴EC＝＝AE， ∴∠ECA＝∠A＝40°，∴∠BCE＝90°-40°＝50° 14.100 解析:∵一个直角三角形的三边为边长分别向外作三个正方形，如果两个较大正方形的面积分别是576和676，∴最小的正方形的面积为676-576=100,故答案为：100 三、解答题。 15. 解:由条件可设c=,a-b=(a＞b)，斜边上的高为CD ∵(a-b)2+2ab=c2,∴ab=3.又∵(a+b)2-2ab=c2 ∴a+b= 从而三角形的周长为 由三角形的面积公式可得ab=CD 解得. 16. 解:∵AB=8，AD=17，∠ABD=90°，∴BD==15， ∵BC=9，CD=12，∴BC2+CD2=BD2， ∴△BCD是直角三角形，∠C=90°， ∴△BCD的面积=CD×BC=×12×9=54． 17. 解:∵AB=13,AD=12,BD=5,∴AD2+BD2=AB2,∴∠ADB=90°, ∴∠ADC=180°-∠ADB=90°, 在Rt△ADC中,由勾股定理得:DC===9, 根据勾股定理的逆定理得出∠ADB=90°,再根据勾股定理求出DC即可. 18. 解:(AD+BD)2=AD2+2AD×BD+BD2 所以△ABC是直角三角形 四、解答题。 19. 解:∵a，b是直角三角形的两条直角边∴a2+b2=c2 又∵h是斜边上的高，c是斜边长∴ch=ab ∴h2+（a+b）2=h2+a2+b2+2ab=h2+c2+2ch 而（c+h）2=c2+2ch+h2∴h2+（a+b）2=（c+h）2 ∴三角形是直角三角形． 分析:本题要先分析所给三边的大小关系，然后验证较小两边的平方和是否等于较大边的平方，若等于，则三角形是直角三角形，若不等于，则该三角形不是直角三角形． 20. (1)解:是,理由是:在△CHB中, ∵CH2+BH2=(1.2)2+(0.9)2=2.25,BC2=2.25, ∴CH2+BH2=BC2,∴CH⊥AB,所以CH是从村庄C到河边的最近路; (2)解:设AC=x千米,在Rt△ACH中, 由已知得AC=x,AH=x﹣0.9,CH=1.2,由勾股定理得:AC2=AH2+CH2 ∴x2=(x﹣0.9)2+(1.2)2,解这个方程,得x=1.25, ∴CA=1.25 21. 解： （1）AB=，CD=； （2）能构成直角三角形，理由：AB2=13，CD2=5，EF2=8．AB2=CD2+EF2 22. (1) 解：连接AC，如图． 在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝9cm，BC＝12cm， ∴AC．即A、C两点之间的距离为15cm； (2)解： ∵CD2+AC2＝82+152＝172＝AD2，∴∠ACD＝90°， ∴四边形纸片ABCD的面积＝S△ABC+S△ACD =AB×BC+AC×CD=×9×12+×15×8＝114（cm2） 五、解答题。 23. (1)解：∵∠C=90°,AC=9千米，AB=15千米， ∴BC=√AB²-AC²=12(千米),∵BD=5千米，∴CD=7千米， ∴AD=√AC²+CD²=√130(千米); (2)解：∵DH⊥AB,S△ABD=BD×AC=AB×DH解得DH=3千米， 修建公路DH的费用为3×2=6(万元). 24. 解：在Rt△ABC中，AB=2.5,AC=0.7∴BC==2.4∴CE=BC-BE=2 ∵在Rt△CDE中DE=2.5∴CD=√DE²-CE²=1.5∴AD=CD-AC=0.8 六、解答题。 25. (1) 解：∵三角形边长依次是、、，∴p=(5+6+7)=9 ∴S==6 (2) 解： ①∵BC=14,BD=x,∴BD=14-x； ②∵AD⊥BC，∴AD2=AC2-CD2,AD2=AB2-BD2,∴AC2-CD2=AB2-BD2，∴132-(14-x)2=152-x2解得：x=9； ③由②得：AD===12 S△ABC=BC×AD=×14×12=84 【分析】 本题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的应用； （1）先求出 ，再由海伦公式，即可求解； （2）①设，根据，即可求解； ②根据勾股定理，可得，从而得到，即可得到方程，解出即可； ③由②以及勾股定理可得，再由三角形的面积公式，即可求解． 26. 解： (1)由图可知，中间围成的小正方形的边长为b−a．故答案为b−a； (2)大正方形的面积=c2=(b−a)2+4×12ab， ∵(b−a)2+4×12ab=b2−2ab+a2+2ab=a2+b2，∴c2=a2+b2； (3) ①∵a2+2b2−6a−16b+41=0，∴(a−3)2+2(b−4)2=0，∴a−3=0，b−4=0， ∴a=3，b=4， ∴c=a2+b2=5； ②设此三角形斜边c上的高为h．∵S△=12ch=12ab， ∴h=abc=3×45=2.4．故答案为2.4； ③∵最大的正方形E的面积=2+4+1+2=9， ∴最大的正方形E的边长=3． 故答案为3． 学科网（北京）股份有限公司 $$