重难点07 利用勾股定理解决最短路径问题-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年八年级数学下册同步精讲精练（人教版）

重难点07 利用勾股定理解决最短路径问题 【题型1 用计算法求平面中的最短问题】 【例题1】（2024春•湟中区校级月考）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建的路的长． 【分析】过A作CD⊥AB．修建公路CD，则工厂C到公路的距离最短，首先证明△ABC是直角三角形，然后根据三角形的面积公式求得CD的长， 【解答】解：过A作CD⊥AB，垂足为D，如图： ∵6002+8002＝10002， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵S△ACBAB•CDAC•BC， 600×8001000×DB， 解得：BD＝480， 答：新建的路的长为480m． 【点评】本题考查了勾股定理逆定理以及三角形的面积公式，关键是证明△ABC是直角三角形． 【变式1-1】（2024春•荣县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点P是AC边上一动点，则线段BP长度的最小值为（　　） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 【分析】根据勾股定理得出AC＝5，当PB⊥AC时，PB的值最小，利用面积法求解即可． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4， ∴， ∵当PB⊥AC时，BP的值最小， 此时：△ABC的面积为：， ∴5PB＝3×4， ∴PB＝2.4， 故选：C． 【点评】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，学会利用面积法求高是解题的关键． 【变式1-2】如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路．经测量，BC＝600m，BA＝800m，AC＝1000m．现需修建一条从学校B到公路距离最短的小路，则这条小路的长（即图中BD的长）为 　 m． 【分析】方法一：利用勾股定理逆定理易知△ABC为直角三角形，设AD＝x cm，则CD＝（1000﹣x）cm，在Rt△ABD和Rt△BCD中，利用双勾股定理求解． 方法二：利用勾股定理逆定理易知△ABC为直角三角形，再直接利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：方法一：∵BC＝600m，BA＝800m，AC＝1000m．且AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形， ∵BD⊥AC， ∴△ABD和△BCD均为直角三角形， 设AD＝x cm，则CD＝（1000﹣x）cm， 在Rt△ABD，AD2+BD2＝AB2，即x2+BD2＝8002①， 在Rt△BCD中，CD2+BD2＝BC2，即（1000﹣x）2+BD2＝6002②， ①﹣②得，x2﹣（1000﹣x）2＝8002﹣6002， 解得：x＝640， ∴AD＝640m，BD480（m）． 方法二：∵BC＝600m，BA＝800m，AC＝1000m．且AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC为直角三角形， ∴S△ABC2400（m2）， ∵BD⊥AC， ∴24000， ∴BD＝480m． 故答案为：480． 【点评】本题主要考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形面积公式，解题关键是利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形． 【变式1-3】（2024秋•丹徒区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为 　 　． 【分析】先利用等腰三角形三线合一的性质求出BH＝3，再利用勾股定理求出AH＝4，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于点H， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BH＝CHBC＝3， ∴， 由垂线段最短可知，当CD⊥AB时，线段CD的值最小， ∴， ∴5CD＝6×4， ∴CD， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 【变式1-4】（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16． （1）求证：BD⊥AC； （2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可． （2）根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：（1）∵AC＝21，AD＝16， ∴CD＝AC﹣AD＝5， ∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴BD⊥AC． （2）当DE⊥AB时，DE最短， ∵AB20， ∵•AD•DB•AB•DE， ∴DE9.6， ∴线段DE使的最小值为9.6． 【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 【变式1-5】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短；理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积AB•CHAC•BC， ∴CH96（m）， ∵CH⊥AB， ∴∠AHC＝90°， ∴AH128（m）， ∴BH＝AB﹣AH＝72m， ∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝96m+200m＝296m， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 【变式1-6】（2024春•南昌县期末）入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道A→B改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）． （1）求改造前原有管道的长度是多少？ （2）求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？ 【分析】（1）直接把图中管道的长度相加即可； （2）过点B作BC⊥AM于点C，根据利用勾股定理求出AB的长即可． 【解答】解：（1）由图可知， 改造前原有管道的长度＝170+30+120+70+100+20＝510（m）． 答：改造前原有管道的长度是510m； （2）过点B作BC⊥AM于点C， 由图可知，AC＝170﹣（120﹣100）＝170﹣20＝150（m）； BC＝30+（70﹣20）＝30+50＝80（m）， ∴AB170（m）． 510﹣170＝340（m）． 答：改造后A、B之间的管道长度减少340m． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 【变式1-7】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题： （1）求A、C之间的距离；（参考数据：4.6） （2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间） 【分析】（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可； （2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案． 【解答】解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20， ∴BE＝10， 在△ACE中， ∵AC2＝8100+300， ∴； （2）乘客车需时间（小时）； 乘列车需时间（小时）； ∴选择城际列车． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形． 【题型2 用平移法求平面中的最短问题】 【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 【分析】如图，连接AB，构造直角△ABH．利用勾股定理解决问题即可． 【解答】解：如图，连接AB，构造直角△ABH． 由题意AH＝1+2+2＝5，BH＝4+4+4＝12， ∴AB13． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 【变式2-1】（2024春•凉城县期末）如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为5米，高BC为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　 　米． 【分析】在Rt△ABC中，根据勾股定理即可求出AC的长，再根据地毯的长度＝AC的长度+BC的长度，代入数据即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝5米，BC＝3米，∠ACB＝90°， ∴AC4（米）， ∴AC+BC＝3+4＝7（米）． 故答案为：7． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及生活中的平移现象，结合实际生活掌握“地毯的长度＝AC的长度+BC的长度”是解题的关键． 【变式2-2】（2024春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G， 则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6， 由勾股定理得，AF10， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 【变式2-3】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案． 【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C， 则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米）， BC＝70﹣20+10＝60（米）， 故终止点与原出发点的距离AB100（米）， 答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键． 【变式2-4】（2024秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元． 【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AB与BC的和，在直角△ABC中，根据勾股定理即可求得AB的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解． 【解答】解：由勾股定理得AB==12 （m）, 则地毯总长为12+5=17（m）， 则地毯的总面积为17×2=34（平方米）， 所以铺完这个楼道至少需要34×20=680（元）． 故答案为：680． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键． 【题型3 用对称法求平面中的最短问题】 【例题3】（2024秋•武侯区校级月考）如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别是AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，请你在河CD边选择水厂位置O，使水厂到两村的距离之和最小，并求出铺设水管的长度． 【分析】过A′作A′E⊥BD 交于点E，因为A，A′关于CD对称，则AC＝A′C＝1km，又因为四边形A′CDE为矩形，则A′C＝DE＝1km，CD＝A′E＝3km，推出BE＝BD+DE＝4km，． 【解答】解：过A′作A′E⊥BD 交于点E， ∵A，A′关于CD对称， ∴AC＝A′C＝1km， 又四边形A′CDE为矩形， ∴A′C＝DE＝1km，CD＝A′E＝3km， ∴BE＝BD+DE＝4km， 在直角三角形A′BE中由勾股定理得：， 答：设水管的长度的长度为5km． 【点评】本题考查了相似三角形的应用：用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的长度．也考查了最短路径问题． 【变式3-1】（2024春•潍坊期末）如图，等边三角形ABC的周长为12，AD是BC边上的高，F是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE＝2，则BF+EF的最小值为 　 　． 【分析】要求EF+BF的最小值，需考虑通过作辅助线转化CE的值，从而找出其最小值求解． 【解答】解：连接CE，与AD交于点F． ∵AD是BC边上的高， ∴AD是BC的垂直平分线， ∴BF＝CF， ∴CE＝EF+BF， ∴EF+BF的最小值即为CE的长； ∵等边△ABC的周长为12，AE＝2， ∴等边△ABC的边长为4， ∴BE＝AB﹣AE＝4﹣2＝2， ∴E为AB边的中点， ∴CE⊥AB， 在Rt△BCE中， CE2， ∴EF+BF的最小值为2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，熟知等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键． 【变式3-2】（2024春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km. （1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明． （2）求这个最短距离． 【分析】（1）根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置； （2）结合勾股定理得出即可． 【解答】解：（1）如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建出口， 此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长． （2）作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD=A′B′=8 km,DC=6 km. ∴AC==10 km, ∴这个最短距离为10 km. 【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 【变式3-3】（2024秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）． 【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P， 则从A延AP到P再延PB到B， 此时AP+BP＝A′B， 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 A′B15km， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是15km． 【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 【变式3-4】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值． 【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；再根据勾股定理求出DC′即可． 【解答】解：如图所示：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC； 连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小； 连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE=∠CBE=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°， ∴BC=BC′=2， ∵D是BC边的中点， ∴BD=1， 根据勾股定理得：DC′=＝； ∴DE+CE的最小值为． 【变式3-5】（2024春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且ABkm，A、B两村到河的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）． 【分析】作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，分别利用勾股定理求出AF和A'B的长即可． 【解答】解：如图所示，作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O， 过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E， 此时AO+BO最小， ∵AC＝2km，BD＝6km， ∴BF＝4km，DE＝2km， ∵AB＝2km， ∴AF6（km）， 在Rt△BA'E中，由勾股定理得： A'B10（km）， ∴AO+BO＝10（km）， ∴铺设水管的总费用W＝10×2000＝20000（元）． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键． 【变式3-6】（2024春•爱辉区期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段BD、AB上的两个动点，求AM+MN的最小值． 【分析】作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'N⊥AB交BD于点M，交AB于点N，则AM+MN的最小值为A'N的长． 【解答】解：作A点关于BD的对称点A'，过A'作A'N⊥AB交BD于点M，交AB于点N， 由对称性可得，AM＝A'M， ∴AM+MN＝A'M+MN≥A'N， ∴AM+MN的最小值为A'N的长， ∵∠ABD＝30°， ∴∠DAE＝30°， ∵BC＝8， ∴DE＝4， ∴AE＝4， ∴AA'＝8， 在Rt△AA'N中，∠A'AN＝60°， ∴A'N＝A'A•＝812， ∴AM+MN的最小值为12． 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法、垂线段最短是解题的关键． 【题型4 用展开图求长方体中的最短问题】 【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AC1，求出AC1的长即可，分为三种情况：画出图形，根据勾股定理求出每种情况时AC1的长，再找出最短的即可． 【解答】解：展开成平面后，连接AC1，则AC1的长就是绳子最短时的长度， 如图1，由勾股定理得：AC1（cm）； 如图2，由勾股定理得：AC15（cm）； 如图3，同法可求AC1（cm）； ∵， ∴最短路径的长度为cm， 故选：B． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：要分类讨论． 【变式4-1】（2024春•芙蓉区校级期末）如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 　 　cm． 【分析】根据“两点之间线段最短”，将点A和点B所在的各面展开，展开为矩形，AB为矩形的对角线的长即为蚂蚁沿正方体表面爬行的最短距离． 【解答】解：将点A和点B所在的面展开为矩形，AB为矩形对角线的长， ∵矩形的长和宽分别为8cm和4cm， ∴ABcm． 故蚂蚁沿正方体的最短路程是cm． 【点评】本题的关键是将蚂蚁所走的最短路程转化为求矩形的对角线的长． 【变式4-2】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　） A． B．10cm C． D． 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：将容器的侧面展开，如图所示： 作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离， 由题意得：EC＝4cm，AC＝1cm，BC＝5+3＝8（cm）， ∴AE＝A′E＝EC﹣AC＝4﹣1＝3（cm）， ∴A′C＝A′E+EC＝3+4＝7（cm）， 由勾股定理得：A′B（cm）． 故选：D． 【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 【变式4-3】 （2024秋•茌平区期末）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 　 cm． 【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段AB的长度，再进行比较即可． 【解答】解：①如图1，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：AB20（cm）； ②如图2，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB（cm）； ③如图3，展开后连接AB，则AB就是在表面上A到B的最短距离， 在Rt△ANB中，由勾股定理得：AB7（cm）． ∴蚂蚁爬行的最短路程是20cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理等知识点，关键是能画出展开图形并能求出符合条件的最短路线． 【变式4-4】如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　 　cm． 【分析】要求长方体表面两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开；接下来利用“两点之间，线段最短”以及直角三角形勾股定理来解答即可． 【解答】解：根据题意，画出侧面展开图． ∵PA＝2×（4+2）＝12，QA＝5， ∴PQ13（cm）． 故蚂蚁爬行的最短路径长为13cm． 故答案为：13． 【点评】本题主要考查两点之间线段最短，以及如何把立体图形转化成平面图形． 【变式4-5】边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 　 　cm． 【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断； 【解答】解：如图，有两种展开方法： 方法一：PAcm， 方法二：PAcm． 故需要爬行的最短距离是cm． 【点评】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【变式4-6】（2024春•乾安县期末）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 　 　cm． 【分析】首先画出A到B的最短路径的展开图，然后利用勾股定理求出答案． 【解答】解：如图所示：AC＝10×3+3×30＝120cm，BC＝50cm，∠ACB＝90°， 由勾股定理得：（cm）， 故答案为：130． 【点评】本题主要考查了勾股定理，解题关键是画出求A到B的最短路径的展开图． 【变式4-7】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长． 【分析】将长方体展成平面图形，根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路线为AB，利用勾股定理求出AB的长度即可． 【解答】解：情形1：平面展开图所示， AB13（分米）． 情形2：平面展开图如图所示： AB（分米）， ∵13， 答：它需要爬行的最短路径的长是分米． 【点评】本题考查的是平面展开路径问题，勾股定理等知识，解题的关键是明确蚂蚁爬行的不同路线． 【变式4-8】（2024秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5； （1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）求蚂蚁爬过的最短路径的长； （3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点B1到最短路径的距离． 【分析】（1）有两种方案，分别画出图形即可； （2）求出两种方案中AC1的长，可得结论； （3）利用面积法求解即可． 【解答】解：（1）有两个方案：如图所示， （2）方案一中，AC13， 方案二中，AC1， ∴3， ∴蚂蚁爬过的最短路径的长为； （3）方案二中，设AC1交BB1于点E，过点B1作B1F⊥AC1于点F． ∵AB∥B1C1， ∴， ∴B1E5，C1E， ∵B1C1×EB1B1F×EC2， ∴B1F． ∴点B1到最短路径的距离是． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，最短问题等知识，解题的关键是学会把立体几何问题转化为平面几何问题． 【变式4-9】（2024春•新市区校级期中）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为 　 　m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要 　 m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？ 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论； （2）将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度； （3）利用昆虫是在侧面上爬行，两种爬行路线的最短路径相等，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：（1）可以放入最长为（m）的木棒； 故答案为：； （2）如图所示：将长方体展开，连接AC， ∴AC（m）． 故答案为：； （3）因为昆虫是在侧面上爬行，可以看出，下面两图的最短路径相等， 设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F， 爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图1在Rt△ACF中， （2x）2＝122+（14﹣2x）2， 解得：x． 答：昆虫乙至少需要秒钟才能捕捉到昆虫甲． 【点评】此题主要考查了平面展开-最短路径问题以及三角形的相似等知识，立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决，最短路径问题利用平面展开图分别求出是解决问题的关键． 【题型5 用展开图求圆柱体中的最短问题】 【例题5】（2024秋•成华区校级期中）如图，有一圆柱，其高为2cm，它的底面半径为1cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 　 　cm．（π取3） 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，再然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图所示：AB即为蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线， ∵圆柱的底面半径为1cm， ∴AC3（cm）， 又∵BC＝2cm， ∴AB（cm）， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是cm， 故答案为：cm． 【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，将圆柱的侧面展开，构造出直角三角形是解题的关键． 【变式5-1】（2024秋•芝罘区期末）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 　 　． 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度． ∵圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm， ∴AB＝8cm，BC＝BC′＝6cm， ∴AC2＝82+62＝100， ∴AC＝10cm， ∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝20cm． 故答案为：20cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式5-2】（2024秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　丈． 【分析】根据题意画出图形，在Rt△ABC中，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示：AB表示葛藤的最短长度， 由题意可知：BC＝3（丈），AC＝8×5÷10＝4（丈）， 在Rt△ABC中，（丈）． 故答案为：5． 【点评】本题考查了平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键． 【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．5米 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形， 则彩灯带长为2个长方形的对角线长， ∵圆柱高3米，底面周长2米， ∴AC2＝22+1.52＝6.25， ∴AC＝2.5（米）， ∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m． 故选：D． 【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式5-4】（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 　 　cm． 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：圆柱体的展开图如图所示：用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB； 即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短； ∵圆柱底面半径为cm， ∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长：2π4（cm）； 又∵圆柱高为9cm， ∴小长方形的一条边长是3cm； 根据勾股定理求得AC＝CD＝DB5（cm）； ∴AC+CD+DB＝15（cm）； 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了平面展开﹣﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．本题就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式5-5】如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝4m，一滑行爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短距离为　 　m（π的值为3）． 【分析】滑行的距离最短，即是沿着AE的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，A、D、E三点构成直角三角形，AE为斜边，AD和DE为直角边，写出AD和DE的长，根据题意，写出勾股定理等式，代入数据即可得出AE的距离． 【解答】解：将半圆面展开可得： AD＝4π米，DE＝DC﹣CE＝16米， 在Rt△ADE中， AE20（米）． 即滑行的最短距离约为20米， 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了最短路径问题，解题时注意：U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为4m的半圆的长，矩形的长等于AB＝CD＝8m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【变式5-6】（2024秋•贵阳期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是　 　cm． 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，根据两点之间，线段最短可知A′B的长度即为所求；接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出A′B的长了． 【解答】解：如图：∵高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1cm的点B处， ∴底部7厘米，所以AE＝9cm，BD＝9+1＝10厘米， ∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离， A′B（cm）． 故答案为：2． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 1．（2024秋•宁波期中）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 【分析】利用勾股定理求出AB的长，再根据少走的路长为AC+BC﹣AB，计算即可． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝5m，BC＝12m， ∴， ∴少走的路长为AC+BC﹣AB＝5+12﹣13＝4（m）， 故选：D． 【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，明确少走的路为AC+BC﹣AB是解本题的关键． 2．（2024春•嘉祥县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．13 D．12 【分析】过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长，根据角平分线的性质定理可得AD＝DE，再由勾股定理求出AD的长，即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，则PD的最小值是DE的长， ∵∠A＝90°，BD平分∠ABC， ∴AD＝DE， ∵AB＝12，BD＝13， ∴， ∴DE＝5， 即PD的最小值是5． 故选：B． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质，勾股定理是解题的关键． 3．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　 　米长． 【分析】地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，因此利用勾股定理求出水平距离即可． 【解答】解：根据勾股定理，楼梯水平长度为12米，则红地毯至少要12+5＝17米长． 【点评】本题是一道实际问题，结合勾股定理解答． 4．（2024秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 　 　m的路程． 【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【解答】1解：如图所示，将图展开，图形长度增加2MN， 原图长度增加2米，则AB＝10+2＝12m， 连接AC， ∵四边形ABCD是长方形，AB＝12m，宽AD＝5m， ∴AC13m， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走13m的路程． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键． 5．（2024秋•青山区期末）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是6米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 　 　米． 【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接P、B，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB， ∵AG＝6米，AP＝AB＝10米， ∴PG＝8米， ∴BG＝16米， ∴PB8（米）． 故这只蚂蚁的最短行程应该是8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题关键． 6．（2025•越秀区校级开学）如图长方体的长为15，宽为10，高为20，BC＝5，点B处有一滴蜂蜜，有一只蚂蚁想要沿着长方体的表面从点A爬到点B取蜜，需要爬行的最短距离为　 　． 【分析】先按照不同的方式展开，再根据勾股定理求解． 【解答】解：按照不同的方式展开如图所示： 在图1中：AB5， 在图2中：AB5 在图3中：AB25， ∵， 故答案为：25． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路经问题，掌理解两点之间线段最短及勾股定理是解题的关键． 7．（2024秋•肃州区期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为6cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径的长是 　 　． 【分析】要求最短路径，首先要把圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短画出图形，然后利用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，线段AB即为所求， 由题意得：∠ACB＝90°，BC＝6cm， ∵圆柱的底面半径为2cm， ∴AC6（cm）， ∴AB（cm）， 即蚂蚁走过的最短路径长为6cm． 故答案为：6cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理求最短路径． 8．（2024秋•市南区期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖ABCD为长方形，AD＝8分米，AB＝6分米，该管道底面是周长为4分米的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，需要走的最短路程是　 　分米． 【分析】解答此题要将管道底面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：由题意可知，将管道底面展开得到的长方形的长，相当于是AB+管道底面周长， ∴长为8+2＝10（分米）；宽为8分米． 于是最短路径为AC2（分米）． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查两点之间线段最短，勾股定理，掌握两点之间线段最短是关键． 9．如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值． 【分析】要求DN+MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN的值，从而找出其最小值求解． 【解答】解：如图，连接BM， ∵点B和点D关于直线AC对称， ∴NB＝ND， 则BM就是DN+MN的最小值， ∵正方形ABCD的边长是8，DM＝2， ∴CM＝6， ∴BM10， ∴DN+MN的最小值是10． 【点评】本考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理． 10．（2024春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程． 【分析】如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，利用勾股定理求出AB′即可． 【解答】解：如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E， ∵∠CDB′＝∠DCE＝∠E＝90°， ∴四边形CDB′E是矩形， ∴CD＝EB′＝400m，DB′＝EC＝BD＝100m， ∴AE＝AC＝ce＝200+100＝300（m）， ∴AB′500（m）， ∴PA+PB的最小值为500m． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 11．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值． 【分析】作Q关于AC的对称点D，连接PQ，CD，则AC垂直平分QD，可得PQ＝PD，CQ＝CD，即可求得∠BCD＝90°，根据勾股定理可得BD2＝BC2+CD2，即可求得BD的值，即可解题． 【解答】解：作Q关于AC的对称点D，连接PQ，CD， 则AC垂直平分QD， ∴PQ＝PD，CQ＝CDBC＝1，∠DCP＝∠QCP， ∵△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC， ∴∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°， ∴BD2＝BC2+CD2＝5， ∴BD， ∴△PBQ周长的最小值＝BQ+BP+PQ＝BQ+BD＝1． 答：△PBQ周长的最小值为1． 【点评】本题考查了最短路线问题，考查了轴对称和垂直平分线的性质，本题中求得BD的长是解题的关键． 12．（2024春•伊金霍洛旗期末）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）根据勾股定理解答即可． 【解答】解：（1）是， 理由是：在△CHB中， ∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25， BC2＝2.25， ∴CH2+BH2＝BC2， ∴△CHB是直角三角形， ∴CH是从村庄C到河边的最近路； （2）设AC＝x千米， 在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2， 由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2 ∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2， 解这个方程，得x＝1.25， 答：原来的路线AC的长为1.25千米． 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理和定理解答． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 利用勾股定理解决最短路径问题 【题型1 用计算法求平面中的最短问题】 【例题1】（2024春•湟中区校级月考）如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短，请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建的路的长． 【变式1-1】（2024春•荣县校级月考）如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点P是AC边上一动点，则线段BP长度的最小值为（　　） A．3 B．2.5 C．2.4 D．2 【变式1-2】如图，学校B前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，BC两条路可到达公路．经测量，BC＝600m，BA＝800m，AC＝1000m．现需修建一条从学校B到公路距离最短的小路，则这条小路的长（即图中BD的长）为 　 m． 【变式1-3】（2024秋•丹徒区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是AB边上的一个动点，则线段CD的最小值为 　 　． 【变式1-4】（2024秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16． （1）求证：BD⊥AC； （2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值． 【变式1-5】如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【变式1-6】（2024春•南昌县期末）入冬前，我区对部分旧城区暖气管道进行修缮，在修缮过程中发现某地原有管道弯曲太多，容易带来安全隐患，决定进行改造．管道A→B改造方案如图所示（实线为改造前，虚线为改造后，所有实线均平行或垂直）． （1）求改造前原有管道的长度是多少？ （2）求改造后A、B之间的管道长度减少了多少？ 【变式1-7】小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题： （1）求A、C之间的距离；（参考数据：4.6） （2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间） 【题型2 用平移法求平面中的最短问题】 【例题2】如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 【变式2-1】（2024春•凉城县期末）如图为某楼梯的侧面，测得楼梯的斜长AB为5米，高BC为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 　 　米． 【变式2-2】（2024春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 【变式2-3】如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 【变式2-4】（2024秋•丰城市校级期末）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元． 【题型3 用对称法求平面中的最短问题】 【例题3】（2024秋•武侯区校级月考）如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别是AC＝1km，BD＝3km，CD＝3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，请你在河CD边选择水厂位置O，使水厂到两村的距离之和最小，并求出铺设水管的长度． 【变式3-1】（2024春•潍坊期末）如图，等边三角形ABC的周长为12，AD是BC边上的高，F是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE＝2，则BF+EF的最小值为 　 　． 【变式3-2】（2024春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km. （1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明． （2）求这个最短距离． 【变式3-3】（2024秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）． 【变式3-4】如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值． 【变式3-5】（2024春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且ABkm，A、B两村到河的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）． 【变式3-6】（2024春•爱辉区期末）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段BD、AB上的两个动点，求AM+MN的最小值． 【题型4 用展开图求长方体中的最短问题】 【例题4】（2022秋•南关区校级期末）如图，一长方体木块长AB＝6，宽BC＝5，高BB1＝2．一只蚂蚁从木块点A处，沿木块表面爬行到点C1位置最短路径的长度为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024春•芙蓉区校级期末）如图是棱长为4cm的立方体木块，一只蚂蚁现在A点，若在B点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 　 　cm． 【变式4-2】如图，在长方体透明容器（无盖）内的点B处有一滴糖浆，容器外A点处的蚂蚁想沿容器壁爬到容器内吃糖浆，已知容器长为5cm，宽为3cm，高为4cm，点A距底部1cm，请问蚂蚁需爬行的最短距离是（容器壁厚度不计）（　　） A． B．10cm C． D． 【变式4-3】 （2024秋•茌平区期末）如图，一个长方体盒子的长、宽、高分别为9cm，7cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，那么它爬行的最短路程是 　 cm． 【变式4-4】如图，长方体的底面长和宽分别为4cm和2cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为　 　cm． 【变式4-5】边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 　 　cm． 【变式4-6】（2024春•乾安县期末）如图，有一个三级台阶，每一级的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的顶点，有一只壁虎从A点出发，沿着台阶面爬向B点去吃可口的食物；请你想一想，这只壁虎至少需要爬 　 　cm． 【变式4-7】在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长． 【变式4-8】（2024秋•南海区期中）如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C1处，若AB＝3，BC＝4，CC1＝5； （1）请你在下面网格（每个小正方形边长为1）中，画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）求蚂蚁爬过的最短路径的长； （3）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为“面积法”．请“面积法”求点B1到最短路径的距离． 【变式4-9】（2024春•新市区校级期中）如图1，长方体的底面边长分别为3m和2m，高为1m，在盒子里，可以放入最长为 　 　m的木棒； （2）如图2，在与（1）相同的长方体中，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短需要 　 m； （3）如图3，长方体的棱长分别为AB＝BC＝6cm，AA1＝14cm，假设昆虫甲从盒内顶点C1以2厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉昆虫甲？ 【题型5 用展开图求圆柱体中的最短问题】 【例题5】（2024秋•成华区校级期中）如图，有一圆柱，其高为2cm，它的底面半径为1cm，在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为 　 　cm．（π取3） 【变式5-1】（2024秋•芝罘区期末）如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 　 　． 【变式5-2】（2024秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　丈． 【变式5-3】国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（　　） A．米 B．米 C．米 D．5米 【变式5-4】（2024秋•高新区校级期末）如图，圆柱底面半径为cm，高为9cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为 　 　cm． 【变式5-5】如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝4m，一滑行爱好者从A点滑行到E点，则他滑行的最短距离为　 　m（π的值为3）． 【变式5-6】（2024秋•贵阳期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为15cm，底面周长为8cm，在容器内壁离容器底部6cm的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部1cm的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是　 　cm． 1．（2024秋•宁波期中）如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了几步路，却踩伤了花草．他们少走的路长为（　　） A．2m B．3m C．3.5m D．4m 2．（2024春•嘉祥县期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交AC于D点，AB＝12，BD＝13，点P是线段BC上的一动点，则PD的最小值是（　　） A．6 B．5 C．13 D．12 3．如图，要为一段高为5米，长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要　 　米长． 4．（2024秋•安岳县期末）如图所示，ABCD是长方形地面，长AB＝10m，宽AD＝5m，中间竖有一堵砖墙高MN＝1m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 　 　m的路程． 5．（2024秋•青山区期末）如图，教室的墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上．若PA＝AB＝10米，点P到AD的距离是6米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是 　 　米． 6．（2025•越秀区校级开学）如图长方体的长为15，宽为10，高为20，BC＝5，点B处有一滴蜂蜜，有一只蚂蚁想要沿着长方体的表面从点A爬到点B取蜜，需要爬行的最短距离为　 　． 7．（2024秋•肃州区期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，已知圆柱的底面半径为2cm，高为6cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径的长是 　 　． 8．（2024秋•市南区期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖ABCD为长方形，AD＝8分米，AB＝6分米，该管道底面是周长为4分米的圆，一只蚂蚁从点A爬过管道到达C，需要走的最短路程是　 　分米． 9．如图所示，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，求DN+MN的最小值． 10．（2024春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程． 11．如图，△ABC为等腰直角三角形，AB＝BC＝2，点Q为BC的中点，P为边AC上一动点，求△PBQ周长的最小值． 12．（2024春•伊金霍洛旗期末）在一条东西走向的河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米． （1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明； （2）求原来的路线AC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$