2025年中考数学一轮复习 与圆有关的计算讲义 （2）

与圆有关的计算 知识点三：与圆有关的计算 1. 圆内接正多边形有关的计算 名称 公式 图例 圆内接正多边 形(正n边形的 边长为 a,周长为l) 内角 正n边形的每个内角都等于=180°- 中心角 正n边形的每个中心角都等于 外角 正n边形的每个外角都等于 边心距 R= 周长 l= na 面积 正n边形的面积 S=lr(r为边心距) 注意 正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍；正方形的边长等于其外接圆半径的 倍；正六边形的边长等于其外接圆的半径 2. 弧长、扇形面积有关的计算 如图，扇形OAB 的圆心角为n°，半径为R，l是弧长，则有下列计算公式：② 计算公式 图示 弧长 l= 周长 C=2R+l 面积 S= lR(可结合三角形的面积公式，l相当于三角形的底，R看作高) 注意 公式中的 n,180,360不带单位“°”. 3. 圆柱、圆锥的有关计算 图示 侧面展开圈 侧面积 全面积 圆柱 圆柱的侧面展开 图是一个矩形 S圆柱侧=2πrl S圆柱全=2πrl+2πr² 圆锥 圆锥的侧面展开图是一个扇形 S圆锥侧=πrl S圆锥全=πrl+πr² 注意 矩形的两邻边长分别是圆柱底面圆的周长和圆柱的高. 注意 (1)圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图(扇形)的弧长； (2)圆锥的母线长等于其侧面展开图(扇形)的半径； (3)在圆锥中，还有如下关系： 难点 与圆有关的阴影部分面积计算 规则图形 直接利用面积公式求解 不规则图形 基本思路 转化为规则图形 转化方法 和差法 等积变换法 割补法 同底等高 图示 S阴影=S△ABC-S扇形DBC S阴影=S△AOC+S扇形BOC 正方形ABCD中,S阴影=S△ABD 已知 CD∥AB, 则S阴影=S扇形COD 1. [2023 河北中考]如图,点 P₁~P₈是⊙O 的八等分点.若△P₁P₃P₇,四边形 P₃P₄P₆P₇ 的周长分别为a，b，则下列正确的是 ( ) A. a<b B. a=b C. a>b D. a，b大小无法比较 2. 【新定义[2023湖南张家界中考]】“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC 的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于( ) A. π B.3π C.2π 3. 【新考向 [2024 陕西宝鸡凤翔区二模]】马面裙(图(1))，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.将图(1)中的马面裙抽象成数学图形，如图(2)中的阴影部分所示，AD和BC所在圆的圆心均为点 O，且点 A在OB 上,点 D 在 OC 上,若 OA=AB=6 dm,OA⊥OD，则该马面裙裙面(图(2)中阴影部分)的面积为( ) 4.[2023江苏连云港中考]如图,矩形ABCD 内接于⊙O,分别以AB,BC,CD,AD 为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是( ) C.20π D.20 5. [2024 山东德州平原模拟]如图,Rt△BCO中,∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4 cm,将△BCO 绕点 O 逆时针旋转至△B'C'O,点 C'恰好落在 BO 延长线上，则边 BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为( ) 6. [2024云南昆明西山区校级模拟]如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,E为BC的中点,连接AE，DE.以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点 M，N，则图中阴影部分的面积和是 (结果保留π). 7. [2023 四川自贡中考]如图，小珍同学用半径为8cm，圆心角为100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm². 提升 1. [2023 湖北十堰中考，中]如图，已知点 C 为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到 C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ( ) A.5 B.3 D.6 2. [2023 江苏苏州中考,中]如图,在▱ABCD中，AB= +1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH= .以点 A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB,AC,AD 分别交于点 E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₁；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₂，则 (结果保留根号) 3. 【新考法[2023 河北中考，中]】将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图(1)，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图(2)，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图(2)中 (1)∠α= 度; (2)中间正六边形的中心到直线l的距离为 (结果保留根号). 4.[2023 辽宁大连中考,中]如图(1),在⊙O中,AB 为⊙O 的直径,点 C 为⊙O 上一点,AD为∠CAB的平分线交⊙O 于点 D,连接OD 交BC于点 E(1)求∠BED 的度数; (2)如图(2),过点A作⊙O的切线交 BC延长线于点 F,过点 D 作 DG∥AF交AB于点 G.若 求DG的长. 5. [2024黑龙江绥化中考]如图(1),O 是正方形ABCD对角线上一点，以O 为圆心，OC长为半径的⊙O 与AD 相切于点 E，与AC 相交于点 F. (1)求证:AB与⊙O 相切; (2)若正方形ABCD 的边长为 求⊙O的半径； (3)如图(2),在(2)的条件下,若点 M 是半径OC上的一个动点,过点 M 作 MN⊥OC 交CE于点 N.当CM:FM=1:4时,求 CN的长. 课堂练习 1. [2023 湖北鄂州中考]如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O 为 BC的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC于点 D，则图中阴影部分的面积是( ) 2. [2024 浙江杭州校级二模]如图，正六边形AB-CDEF 与正方形AGDH都内接于⊙O,则劣弧BG 所对圆周角的度数为 . 3. [2023 湖南娄底中考]如图,在△ABC 中,AC=3,AB=4,BC边上的高AD=2,将△ABC绕着 BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 . 4. [2023 山东烟台中考,中]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点 E,⊙O 经过A,D两点,交对角线AC 于点 F,连接 OF 交AD 于点G,且AG=GD. (1)求证:AB是⊙O 的切线; (2)已知⊙O 的半径与菱形的边长之比为5:8,求 tan∠ADB 的值. 课后提升 1. [2024吉林长春朝阳区校级三模]如图，点B在半圆O上,直径AC=12,∠BAC=40°,则图中阴影部分的面积为 (结果保留π). 2. [2023 江苏苏州中考,中]如图,在▱ABCD中，AB= +1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH= .以点 A 为圆心，AH 长为半径画弧，与AB,AC,AD 分别交于点 E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₁；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₂，则 (结果保留根号) 3. 【新考法 [2024 江苏苏州中考]】铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点 O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO 的内心，若 则花窗的周长 (图中 实 线 部 分 的 长 度)= .(结果保留π) 4. 在活动课上，“雄鹰组”用含30°角的直角三角尺设计风车.如图，∠C=90°,∠ABC=30°,AC=2,将直角三角尺绕点A 逆时针旋转得到△AB'C',使点C'落在AB 边上，以此方法做下去……则B 点通过一次旋转至 B'所经过的路径长为 .(结果保留π) 5.[2024江苏南通模拟]如图,△ABC 中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,交AC于点E,过点 D 作 DF⊥AC于点 F,FD 的延长线交AB 的延长线于点 G. (1)若AB=10,BC=12,求△DFC的面积; (2)若 tan C=2,AE=6,求BG的长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$