4.3　公式法 学案 2024-2025学年北师大版八年级数学下册

3　公式法 课时学习目标 素养目标达成 能运用公式法对多项式进行因式分解 运算能力、推理能力 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 1.公式法:根据因式分解与整式乘法的关系,利用乘法公式把某些多项式因式分解. 项目 平方差公式 完全平方公式 描述 左:两项(整式)平方差的形式; 右:两项(整式)和与两项(整式)差的乘积 左:两项符号相同的平方项与乘积的2倍的和或差; 右:两项和或差的平方 应用 形式 a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2 1.(1)下列多项式中能用平方差公式因式分解的是(D) A.a2+(-b)2　　　 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 (2)下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是(D) A.x2+4x-4 B.x2+2x+2 C.x2-1 D.x2+8x+16 (3)因式分解: x2+4x+4= 　(x+2)2　.  2.当多项式的各项有公因式时,先提公因式,再因式分解. 2.因式分解:t3-4t=　t(t+2)(t-2)　.  重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 运用平方差公式因式分解(运算能力、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P100随堂练习T2变式)把下列多项式因式分解: (1)4x2-16; (2)16-m2; (3)(2x+y)2-x2. 【自主解答】(1)原式= 4(x2-4)=4(x+2)(x-2); (2)原式=; (3)原式= =(3x+y)(x+y). 【举一反三】 1.因式分解:(1)x2-4=　(x+2)(x-2)　.  (2)9(m+n)2-16(m-n)2=(7m-n)(-m+7n). 2.(1)(2024·北京中考)分解因式:x3-25x=　x(x+5)(x-5)　.  (2)(2024·眉山中考)分解因式:3a3-12a=　3a(a+2)(a-2)　.  (3)(2024·绥化中考)分解因式:2mx2-8my2=　2m(x+2y)(x-2y)　.  3.(2024·泉州期末)因式分解: (1)a4-81.　　(2)16x4-1. 【解析】(1)原式=(a2+9)(a2-9) =(a2+9)(a+3)(a-3). (2)原式=(4x2+1)(4x2-1)=(4x2+1)(2x+1)(2x-1). 【技法点拨】 用平方差公式因式分解必备条件 1.所给多项式为两项(或两组整式). 2.多项式两项符号相反. 3.两项的绝对值可以化成一个数或整式的平方的形式. 重点2 运用完全平方公式因式分解(运算能力、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P101例3变式)把下列各式因式分解: (1)16x2-8xy+y2; (2)2x2+2x+; (3)4(x+y)2-20(x+y) +25. 【自主解答】(1)原式=(4x-y)2; (2)原式=2=2; (3)4(x+y)2-20(x+y)+25 =-2×2(x+y)×5+52 = =(2x+2y-5)2. 【举一反三】 1.分解因式:(1)(2024·盐城中考)x2+2x+1=　(x+1)2　.  (2)4+12(x-y)+9(x-y)2=(3x-3y+2)2. 2.分解因式: (1)(2024·呼伦贝尔中考改编)a+2ab+ab2. (2)-3x3+6x2y-3xy2. 【解析】(1)原式=a(1+2b+b2)=a(b+1)2; (2)原式=-3x(x2-2xy+y2) =-3x(x-y)2. 【技法点拨】 用完全平方公式因式分解必备条件 1.所给多项式为三项(或含有整式). 2.有两项符号相同,且可以化成两个数或两个整式的平方的形式. 3.另一项的绝对值为这两个数或整式乘积的2倍. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)下列各多项式中,能运用公式法分解因式的有(B) (1)x2-4y2　　　 (2)9a2b2-3ab+1 (3)-x2-2xy-y2 (4)x2+y2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(3分·运算能力·2023·益阳中考)下列因式分解正确的是(A) A.2a2-4a+2=2(a-1)2 B.a2+ab+a=a(a+b) C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b) D.a3b-ab3=ab(a-b)2 3.(4分·运算能力)分解因式: (1)(2024·赤峰中考)3ax2-3a=　3a(x+1)(x-1)　.  (2)(2024·达州中考)3x2-18x+27=　3(x-3)2　.  (3)a(a-2)+1=　(a-1)2　.  4.(4分·运算能力、推理能力)已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是　等腰三角形　.  5.(6分·运算能力)分解因式: (1)3a2-6ab+3b2; (2)x2(m-2)+y2(2-m). 【解析】(1)3a2-6ab+3b2 =3(a2-2ab+b2) =3(a-b)2; (2)x2(m-2)+y2(2-m) =(m-2)(x2-y2) =(m-2)(x+y)(x-y). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3　公式法 课时学习目标 素养目标达成 能运用公式法对多项式进行因式分解 运算能力、推理能力 基础主干落实　　夯基筑本 积厚成势 新知要点 对点小练 1.公式法:根据因式分解与整式乘法的关系,利用 把某些多项式因式分解. 项目 平方差公式 完全平方公式 描述 左:两项(整式) 的形式; 右:两项(整式) 与两项(整式) 的乘积 左:两项符号 的平方项与乘积的2倍的和或差; 右:两项 的平方 应用 形式 a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2; a2-2ab+b2=(a-b)2 1.(1)下列多项式中能用平方差公式因式分解的是( ) A.a2+(-b)2　　　 B.5m2-20mn C.-x2-y2 D.-x2+9 (2)下列各式中,能用完全平方公式进行因式分解的是( ) A.x2+4x-4 B.x2+2x+2 C.x2-1 D.x2+8x+16 (3)因式分解: x2+4x+4= .  2.当多项式的各项有公因式时,先 ,再因式分解. 2.因式分解:t3-4t= .  重点典例研析　　循道而行 方能致远 重点1 运用平方差公式因式分解(运算能力、推理能力) 【典例1】(教材再开发·P100随堂练习T2变式)把下列多项式因式分解: (1)4x2-16; (2)16-m2; (3)(2x+y)2-x2. 【举一反三】 1.因式分解:(1)x2-4= .  (2)9(m+n)2-16(m-n)2= . 2.(1)(2024·北京中考)分解因式:x3-25x= .  (2)(2024·眉山中考)分解因式:3a3-12a= .  (3)(2024·绥化中考)分解因式:2mx2-8my2= .  3.(2024·泉州期末)因式分解: (1)a4-81.　　(2)16x4-1. 【技法点拨】 用平方差公式因式分解必备条件 1.所给多项式为两项(或两组整式). 2.多项式两项符号相反. 3.两项的绝对值可以化成一个数或整式的平方的形式. 重点2 运用完全平方公式因式分解(运算能力、推理能力) 【典例2】(教材再开发·P101例3变式)把下列各式因式分解: (1)16x2-8xy+y2; (2)2x2+2x+; (3)4(x+y)2-20(x+y) +25. 【举一反三】 1.分解因式:(1)(2024·盐城中考)x2+2x+1= .  (2)4+12(x-y)+9(x-y)2= . 2.分解因式: (1)(2024·呼伦贝尔中考改编)a+2ab+ab2. (2)-3x3+6x2y-3xy2. 【技法点拨】 用完全平方公式因式分解必备条件 1.所给多项式为三项(或含有整式). 2.有两项符号相同,且可以化成两个数或两个整式的平方的形式. 3.另一项的绝对值为这两个数或整式乘积的2倍. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·推理能力)下列各多项式中,能运用公式法分解因式的有( ) (1)x2-4y2　　　 (2)9a2b2-3ab+1 (3)-x2-2xy-y2 (4)x2+y2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(3分·运算能力·2023·益阳中考)下列因式分解正确的是( ) A.2a2-4a+2=2(a-1)2 B.a2+ab+a=a(a+b) C.4a2-b2=(4a+b)(4a-b) D.a3b-ab3=ab(a-b)2 3.(4分·运算能力)分解因式: (1)(2024·赤峰中考)3ax2-3a= .  (2)(2024·达州中考)3x2-18x+27= .  (3)a(a-2)+1= .  4.(4分·运算能力、推理能力)已知a,b,c是△ABC的三边,且满足a2-b2=ac-bc,则△ABC的形状是 .  5.(6分·运算能力)分解因式: (1)3a2-6ab+3b2; (2)x2(m-2)+y2(2-m). 学科网（北京）股份有限公司 $$