2025年九年级数学中考复习——二次函数最值问题小专题

2025年九年级数学中考复习 二次函数最值问题小专题 一、单选题 1．汽车刹车后行驶的距离s（米）关于行驶时间t（秒）的函数关系式是，则该汽车从刹车到停止所用时间为（   ） A．3秒 B．6秒 C．9秒 D．10秒 2．形状与抛物线相同，并且图象有最低点，则抛物线可能是（  ） A． B． C． D．或 3．二次函数的最小值是（   ） A．2 B． C．3 D． 4．已知二次函数图象与x轴只有一个交点，且图象过和两点，设，则（   ） A．p的最小值为 B．p的最小值为1 C．p的最大值为 D．p的最大值为1 5．点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（    ） A． B． C．4 D． 6．二次函数的图象上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（   ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则y的取值范围是 7．关于二次函数，下列说法不正确的是（   ） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数的最大值是 D．当时，随的增大而减小 8．已知，平面直角坐标系内两点，，点是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交直线于点，绕点顺时针旋转，边扫过区域面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．若，则的最大值是 ． 10．已知二次函数的图像如图所示，交轴于点、两点，若该函数在的范围内有最小值为，最大值为12，则的取值范围是 ． 11．已知二次函数有最大值1，则 .(写一个适当的值即可) 12．河荫石榴果肉饱满，甘甜可口，享有中国国家地理标志产品的美誉．某商户购进一批石榴进行销售，进价为元箱，当销售价为元箱时，每天可售出箱．经市场调查发现：每箱石榴每降价元，平均每天可多售出箱． （1）每箱石榴降价 元时，商家平均每天能盈利元． （2）每箱石榴降价 元时，商家平均每天盈利最多． 13．二次函数图象如图，下列结论：①；②；③当时，；④；⑤若，且则． 其中正确的有 ． 三、解答题 14．课堂上，老师组织同学们一起研究二次函数的最值问题． (1)当时，求该二次函数的最值； (2)当t取不同值时，函数的最小值会随之发生变化．小滨认为，这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0．你认为小滨的想法是否正确？请说明理由． 15．某公司生产的商品的市场建议零售价为每件元，公司的实际销售价格可以浮动个百分点（即销售价格），经过市场调研发现，这种商品的日销售量（件）与实际销售价格浮动的百分点之间的函数关系为．若该公司按浮动个百分点的价格出售，每件商品仍可获利． (1)求该商品每件的成本为多少元？ (2)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为元？ （说明：日销售利润（实际销售价格成本）日销售量） (3)当实际销售价格定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 16．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（为常数）． (1)若该函数经过点，求该函数图象上的“三倍点”坐标； (2)在（1）的条件下，当时，求该函数的最小值（用含的代数式表示）； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求的取值范围． 17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求该二次函数的表达式； (2)点P是直线下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，的面积最大？求此时点P的坐标及面积的最大值． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于B点，交y轴于C点，抛物线经过B、C两点且与x轴交于另一点A． (1)求A、B、C的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P是直线上方抛物线上一点，求面积的最大值及点P的坐标； (3)若点H是抛物线上一动点，且横坐标为m，、为平面内任意两点，连接、，以、为边构造矩形．当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而变化时，求m的取值花围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级数学中考复习——二次函数最值问题小专题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D A D B B B 9． 10． 11．（答案不唯一，小于0即可） 12． 或 13．②③⑤ 14．(1)最小值为； (2)小滨的想法正确．理由见解析． 【详解】（1）解：由题意，当时， ， ∴当时， y取最小值为； （2）解：小滨的想法正确．理由如下： 由题意，， ∴当时，y取最小值为． ∴这些最小值里面存在一个最大值，这个最大值为0． 15．(1)元 (2)元或元 (3)销售价格定为元时，日销售利润最大，为元 【详解】（1）解：该公司生产销售每件商品的成本为元 依题意： 解得： 即：每件商品的成本为元． （2）解：依题意： 整理得： 解得：或 当时，， 当时， 答：当实际销售价格定为元或元时，日销售利润为元． （3）解：设日销售利润为元 当时，最大，最大值为，此时 即当实际销售价格定为元时，日销售利润最大，为元． 16．(1)“三倍点”坐标为； (2)当时，；当时，； (3)的取值范围为． 【详解】（1）解：把代入，得， 抛物线的解析式为． 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入，得， 整理，得，解得， “三倍点”坐标为． （2）解：由（1）可知，则抛物线的对称轴为直线． 当，即时，此时左侧端点离对称轴越远，则； 当，即时，此时右侧端点离对称轴越远，则． 综上，当时，；当时，． （3）由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得； 把代入，得，代入，得， 则，解得． 综上，的取值范围为． 17．(1) (2)的最大值为54，此时点P坐标为 【详解】（1）解：由题意，将和分别代入中，得 ，解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：对于，当时，， ∴， 设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为， 过作y轴的平行线交于H，如图， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为54，此时点P坐标为． 18．(1)，，， (2)， (3)或 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴，， ∵B、C在上， ∴， 解得， ∴， 当时， 解得，， ∴． （2）解：过点P作轴交直线于点D， 设点，则， 则， ∴， ∵， ∴开口向下，函数有最大值， 且当时，有最大值为， ∴． （3）解：当点P、M重合时，则， ∴， ①当点M在点P的下方时，即， 由题意得：， 当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则，这之前矩形内没有函数y的图象， 当时，形区域内的函数y随x的增大而减小，即． ②当点M在点P的上方时，即或， 当点Q在对称轴左侧时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而增大， 当点P离开顶点时，即，此时矩形内的抛物线y随x的增大而减小， 即， 综上，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$