热点06 全等三角形与特殊三角形（20大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

热点06 全等三角形与特殊三角形 中考数学中全等三角形与特殊三角形部分主要考向分为四类： 一、与三角形有关的线段（每年1~2道，3~6分） 二、与三角形有关的角（每年1~2道，3~6分） 三、全等三角形（每年1~3道，3~18分） 四、等腰三角形（每年1~2道，3~12分） 五、直角三角形（每年1~2道，3~18分） 六、勾股定理（每年1~3道，3~8分） 中考中全等三角形是必考内容，结合几何变换（平移、翻折、旋转）设计题目，常与特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）结合，要求全等关系解决周长、面积和线段比例关系等问题。选择题或填空题中直接考查全等三角形的判定条件，在解答题中常作为中间步骤，或结合函数探究动点问题。在考试中也常结合辅助线（添加高线、中线或角平分线构造可解的直角三角形或等腰三角形）和方程（利用勾股定理和全等三角形的关系列方程）考查，熟练掌握全等三角形和特殊三角形的性质与判定是得分关键。 考向一：与三角形有关的线段 【题型1 三角形三边关系】 与三角形有关的线段是中考中常考的题型，难度中等，核心题型分析如下： ①直接判断三边关系 典型题例：已知两边长，求第三边可能的取值范围。 方法：利用 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，例如：若三角形两边为4和9，第三边c需满足5<c<13，选项中符合的为6； 易错点:忽略隐含条件(如第三边为整数、周长为偶数等)导致多解或漏解。 ③等腰三角形分类讨论 典型题例：已知等腰三角形一边长，求周长或另一边的可能值。 方法：需分情况讨论 底边和腰，并验证是否满足三边关系。例：等腰三角形两边为5和6，周长为16或17； 易错点：未分类讨论或未排除不满足三边关系的解。 ③方程与三边关系结合 典型题例：已知三角形两边是方程的根，求参数范围或周长； 方法：利用方程求根公式，结合三边关系筛选有效解。例：等腰三角形腰长为方程x2-mx+6=0的根，需验证根的合理性； 易错点：未检验方程的根是否满足三角形存在条件。 ④几何证明中的三边关系应用 典型题例：证明线段不等关系或角度关系， 方法：通过构造辅助线或利用外角定理，结合三边关系推导； 易错点:忽略辅助线对三边关系的间接影响。 1．（2024·四川攀枝花·一模）已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 2．（2023·四川达州·一模）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 3．（2024·四川乐山·二模）已知△ABC的三边分别为，化简 ． 4．（2023·四川广安·二模）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为 ． 5．（2023·四川凉山·一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则△ABC的周长为 6．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若△ABC的周长为偶数，求m的值． 【题型2 利用三角形三边关系求最值】 中考常见题型分析 ①第三边取值范围判定 核心方法：根据三角形三边关系 |a -b|<c<a+b建立不等式，结合几何或代数条件筛选结果； ②动态几何中的最值问题 解题策略：通过构造辅助线(如中点、对称点)将动态问题转化为固定三角形的三边关系。 典型模型：矩形/圆中的动点:取关键点(如中点)，利用直角三角形斜边中线性质或圆半径不变性； 实战技巧总结 ①固定模型记忆：如“将军饮马”模型(对称性转化)、直角三角形斜边中点性质。 ②坐标系辅助：通过坐标计算几何量，结合函数求极值。 ③动态问题三步法：Ⅰ确定动点轨迹；Ⅱ构造辅助三角形或对称点；Ⅲ验证共线条件是否满足； 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 2．（2024·四川自贡·一模）如图，在中，，以O为圆心，4为半径作，分别交两边于点C，D两点，P为劣孤上一动点，则的最小值 ． 3．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上的动点，且，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，则的最小值为 ． 4．（2024·四川绵阳·二模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【题型3 三角形的高、中线和垂直平分线】 三角形的高、中线和垂直平分线在四川中考中往往不会单独考查，常出现在其他题型的中间步骤，作为一个桥梁解整个题，常见的中考考查题型与解题思路如下： ①三角形的高：结合面积公式计算高线长度，或利用高线证明三角形全等/相似； ②三角形的中线：⒜周长与面积计算：已知中线长度或分点比例，求边长或面积(如中线分三角形为面积相等的两部分，结合重心性质(重心分中线为2:1)求线段比例或面积比；⒝存在性讨论：等腰三角形边长分类时，忽略“两边之和>第三边“导致多解错误。 易错点：误认为中线平分角度(中线仅平分对边，不一定平分角)，混淆中线与中位线概念，导致公式误用(中位线平行于第三边且等于其一半)。 ③垂直平分线：利用垂直平分线性质求线段相等或角度(如外心到顶点距离相等)，证明某点为三角形的外心，或判断三角形类型(如外心在直角三角形斜边中点) 易错点：混淆垂直平分线与角平分线的性质(垂直平分线涉及线段端点等距，角平分线涉及角度相等) 忽略垂直平分线的“垂直“条件，仅关注距离相等导致证明不严谨。 1．（2024·四川泸州·二模）在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·四川眉山·中考真题）如图，△ABC中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．    3．（2024·四川绵阳·二模）如图，线段，与相交于点，，于点，平分交于点，则的度数是 ． 4．（2024·四川南充·三模）如图，在△ABC中，于D，平分，与交于E，若，则的度数为 ．    5．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，△ABC中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 考向二：与三角形有关的角 【题型4 与平行线有关的三角形内角和】 高频题型分析 ①平行线性质与判定的综合应用 题型特征：常结合复杂图形，要求通过添加辅助线或利用平行线性质(同位角内错角、同旁内角)进行角度计算或证明； 若出现“三线八角“模型，需注意区分不同位置角的性质，避免混淆； ②三角形内角和与角平分线结合 题型特征：涉及角平分线、高线、中线的综合计算，或与折叠、动态问题结合。若题目给出角平分线，需注意“等角代换“和三角形内角和为180°的隐含条件； 得高分需要注意： ①强化基础定理：熟记平行线性质与判定、三角形内角和定理及其推论，明确各定理的适用条件。 ②提升图形分析能力：对复杂图形进行分解，标记已知角和边，优先寻找“三线八角““A字型““Z字型“等基本模型。 ③注重细节审题：遇到“至少““至多”“取值范围”等关键词时，注意分类讨论计算后验证结果是否符合几何常识(如三角形内角和是否为180°) 1．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在△ABC中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．（2023·四川眉山·中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 5．（2023·四川达州·中考真题）如图，，平分，则（    ）    A． B． C． D． 6．（2024·四川眉山·一模）在△ABC中，，，平分交于，，交于，则的大小是（   ） A． B． C． D． 7．（2024·四川乐山·二模）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·四川遂宁·二模）将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型5 与垂直平分线有关的三角形内角和】 ①垂直平分线性质与内角和的直接计算 题型特征：题干中给出垂直平分线条件，结合三角形内角和定理或外角性质求角度。 关键点：垂直平分线构造等腰三角形，结合内角和与外角定理； ②垂直平分线与角平分线综合题 题型特征：同时涉及垂直平分线和角平分线，需综合应用两种性质； ③折叠问题中的垂直平分线 题型特征：图形折叠后，折痕为某边的垂直平分线，需利用对称性求角度； 易错点及规避策略 ①混淆垂直平分线与角平分线 错误：误认为垂直平分线会平分角； 纠正：垂直平分线仅保证线段相等，不涉及角度平分3； ②忽略等腰三角形的底角关系 错误：未利用垂直平分线构造的等腰三角形性质(如底角相等) 纠正：明确标注等腰三角形，列出角度方程。 ③多步骤计算中的逻辑跳跃 错误：跳过中间角度的推导，直接得出结果 纠正：分步标注已知角和推导角，逐步验证。 ④折叠问题中的对称性误判 错误：未识别折痕为垂直平分线，导致对称点找错； 纠正：明确折痕是两点连线的垂直平分线，利用对称性确定对应角相等； 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·四川·中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．    4．（2023·四川眉山·一模）如图，在△ABC中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则 度． 5．（2024·四川绵阳·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则 ．    6．（2023·四川成都·二模）如图，在△ABC中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线MN交边AB于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 【型6 与旋转和翻折有关的三角形内角和】 ①旋转类问题：旋转题型常通过构造全等三角形、等腰三角形或特殊角度关系，结合三角形内角和性质命题； ⒜等腰三角形旋转：旋转后生成等腰三角形，利用底角相等、三线合一等性质解题； ⒝直角三角形旋转：常结合30°、45°等特殊角，通过勾股定理或锐角三角比计算边长； ⒞半角模型：旋转角度为原角的一半，需结合相似三角形和方程思想； ②翻折类问题：翻折本质是轴对称变换，需关注折叠前后对应边角关系 ⒜构造特殊三角形：如折叠后形成等腰/直角三角形，利用内角和与边角关系求解； ⒝一线三直角模型：翻折后出现三个直角，结合相似三角形或勾股定理； ⒞动态分类讨论：翻折后点位置不确定时，需分情况讨论。 1．（2024·四川攀枝花·一模）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点逆时针旋转到的位置，使得，划的度数是（　　）    A． B． C． D． 2．（2024·四川达州·一模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川南充·一模）如图，△ABC中，,将△ABC绕点C顺时针旋转 得对应，连接，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·四川泸州·一模）如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（　　　　） A． B． C． D． 5．（2024·四川凉山·一模）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是 ．    考向三：全等三角形 【题型7 全等三角形的性质和判定】 全等三角形核心知识点 ①基本性质 对应边、角相等，周长、面积相等，对应高线、中线、角平分线相等； 隐含条件:公共边、公共角、对顶角、平角180°等常被忽略。 ②全等三角形的判定 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    3．（2024·四川成都·一模）如图，，且，，则的度数为 ．    4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，△ABC与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 5．（2024·四川宜宾·一模）如图，点E在△ABC边上，，，． (1)求证：△ABC≌； (2)若，求的度数． 【题型8 添加一个条件使得三角形全等】 在解决中考中“添加一个条件使三角形全等”的题型时，需要结合全等三角形的判定定理和题目特征，灵活补充边、角或特殊线段条件。以下从题型分析和解题技巧两方面进行总结； 一、题型分类与条件补充思路 ①已知两边对应相等 补充条件 夹角相等(SAS)：若图形中存在公共角或隐含角度关系(如垂直、平行等)，可补充夹角相等； 第三边相等(SSS)：适用于需要构造稳定结构的情况，如正方形、等边三角形等。 ②已知一边一角对应相等 补充条件: 另一角相等(ASA/AAS)：若已知角为夹边角，补充另一角；若已知角为非夹边角，补充对应边。 另一边相等(SAS/AAS)：注意边角位置关系； 二、解题技巧与策略 ①逆向分析法：从全等结论出发，反推所需条件。例如，若需用SSS定理，则需补充第三边；若 需用AAS，则需补充一对角。 ②图形特征观寨 公共边/角：利用图形中的公共边、对顶角、平行线内错角等隐含条件； 对称性：在正方形、等边三角形中，对称边或角可直接作为补充条件。 ③排除法：若选项中存在多个可能条件，需逐一验证是否符合判定定理，排除不符合的选项(如SSA不能作为一般判定)； ④特殊构造法 截长补短：当需证明线段和差关系时，截取或延长线段构造全等三角形； 旋转/翻折：通过旋转或翻折图形，将分散条件集中。 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 3．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川成都·二模）如图，已知与相交于点O，．只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川成都·二模）如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川成都·一模）如图，点B、F、C、E都在一条直线上，，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（   ） A． B． C． D． 7．（2023·四川成都·三模）如图，，，下列四个条件中再添加一个，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·四川成都·二模）如图，已知，，添加下列条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·四川成都·二模）如图，在△ABC与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·四川眉山·二模）如图，在△ABC和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【题型9 全等三角形综合】 全等三角形的综合是中考中常考的题型，在选择填空中多以综合题型出现，往往结合到函数、相似 特殊四边形进行考查，在解答题中常常位于前三道，难度中等； ①基础证明题：题目直接要求证明两个三角形全等，常结合以下条件已知边、角相等(如公共边、对顶角、垂直平分线等)、中点、角平分线、中线等特殊点或线的性质； ②线段和差问题：需证明线段的和、差、倍分关系(如AB+BC =CD)。 截长补短法：在长线段上截取或延长短线段构造全等； 中线倍长法：延长中线至原长，构造全等三角形； ③动态几何题：涉及旋转、翻折、平移后的全等关系，需分析动态变化中的不变量旋转后对应边、角相等(如正方形中绕顶点旋转)。 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川南充·一模）如图，在△ABC中，，，将△ABC沿边所在直线翻折得，连接交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 4．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 5．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，在△ABC中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 7．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 8．（2023·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 9．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）    (1)求证：； (2)当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 【题型10 角平分线的性质与判定】 角平分线的性质与判定在四川数学中考中是常考题型，难度中等，掌握以下解题技巧与策略是得分的关键： ①性质与判定的灵活转换 性质应用：已知角平分线时，优先考虑“作垂线”构造距离相等的线段，结合全等三角形或勾股定理计算 判定应用：需证角平分线时，通过验证“到角两边距离相等“实现，常需作辅助垂线并证明其相等。 ②辅助线构造方法 补垂线：向角的两边作垂线段，利用距离相等性质； 截等长线段：在角两边截取等长构造全等三角形； 延长线构造对称性：通过延长角平分线或相关线段，形成对称图形； ③典型模型归纳与应用 面积法：利用角平分线将三角形分为等高模型，通过面积比求解线段比例； 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川绵阳·一模）如图，在中，的平分线交于点于点，若△ABC的周长为12，则△BDE的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 5．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，，，平分，则的长是（   ） A． B． C．3 D．5 6．（2024·四川德阳·二模）如图，在等腰直角△ABC中，，，分别平分，，，于点D，，△ABC的周长为21，则△ABC的面积为（    ） A．21 B．36 C．42 D．24 7．（2023·四川乐山·二模）如图，矩形纸片中，点E是边的中点，连结，过点A对折矩形纸片，使点D落在射线上，折痕为，若，则（    ）    A． B． C． D． 8．（2023·四川乐山·二模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，是角平分线，于点，，，则（        ） A．2 B． C． D．6 【题型11 垂直平分线的性质与判定】 垂直平分线是中考几何的核心考点，其性质与判定常与三角形、四边形、最值问题结合。以下结合近年中考题型和解题技巧如下： 一、核心性质与定理 ①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 应用场景：求线段长度、证明线段相等、最值问题； 关键技巧：将分散的线段转化为已知线段的和差(如将三角形周长转化为某边长)； ②判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 应用场景：证明某直线是垂直平分线、确定点的位置(如选址问题) 二、中考常见题型分析 题型1：求线段长度或周长 特征：涉及三角形、四边形的周长计算，或已知部分线段求未知长度； 技巧：⒜利用垂直平分线性质将多段未知线段转化为已知线段；⒝结合全等三角形 题型2：角度计算 特征：涉及三角形内角、外角或角平分线的综合计算。 技巧：⒜结合垂直平分线与等腰三角形性质；⒝利用全等三角形对应角相等 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在△ABC中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 2．（2024·四川成都·一模）如图，△ABC为锐角三角形，点在边上，．分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点．若，△ABC的面积为8，则的面积为 ．    3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）    A． B．若，则 C． D． 5．（2024·四川乐山·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·四川广元·一模）如图，在中，，根据步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，交于点，交于点．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 7．（2024·四川南充·二模）如图，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线，分别与交于点D，E，再以点D为圆心长为半径画弧，与交于点C，连接．若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 8．（2024·四川广元·二模）如图，某考古学家要修复一面残破的铜镜，欲找到其圆心并确定其半径，按以下步骤操作：①作弦，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线；②作弦，分别以B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P，Q，作直线．直线，的交点O 即为圆心．连接，即为半径．若直线 交于点 D，交于点E，且，则铜镜的半径长是（      ） A．11 B．12 C．13 D．14 考向四：等腰三角形 【题型12 等腰三角形的性质与判定】 关于等腰三角形的性质与判定在四川中考中的考查，结合历年真题和解题方法，以下从题型分析总结 ①角度计算问题 考查性质：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”，以及与平行线、外角定理的结合； ②边长与周长问题 关键点：需分情况讨论边为“腰“或“底”，注意三角形三边关系； ③三线合一与辅助线应用 核心技巧：利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线"三线合一”的性质简化证明； ④存在性或多解问题 高频考点：坐标系中构造等腰三角形，需分情况讨论顶点位置，例如平面直角坐标系中给定两点，求第三点使三角形为等腰三角形(需分类讨论，利用勾股定理或垂直平分线) 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 2．（2024·四川泸州·二模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023·四川宜宾·一模）如图，在矩形中，为对角线，点关于的对称点为点，连接，，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【题型13 等腰三角形手拉手模型】 共顶点模型，亦称“手拉手模型”是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下: ①寻找公共的顶点； ②列出两组相等的边或者对应成比例的边； ③将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 常见题型： 连接AE、BD交于点F，连接CF，则有以下结论； （a）△BCD≌△ACE； （b）AE=BD； （c）∠AFB=∠DFE； （d）FC平分∠BFE。 【基本模型】1、等边三角形手拉手模型------出全等 2、等腰直角三角形手拉手-----出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有： ①ΔBCD≌ΔACE；②)BD⊥AE(位置关系)且 BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE。 1．（2023·四川南充·一模）如图，△AOB和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，    (1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积； (3)如图3，连接、，点E为的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 2．（2024·四川南充·二模）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【问题发现】：如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边△ADE，小明认为有最小值，那么的最小值是___________． （2）①【问题探究】：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为___________；线段与之间的数量关系是___________． ②【问题探究】：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由． 【问题解决】 （3）如图4，在四边形中，，求四边形面积的最大值． 3．（2024·四川绵阳·一模）【问题发现】 （1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接．容易发现： ①的度数为___________； ②线段之间的数量关系为___________； 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，点P是等边△ABC外一点，，，，则___________．    4．（2023·四川资阳·二模）已知，，，连接．    (1)如图1，，点在线段上，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，连接并延长交于点，交于点，平分． ①求证：； ②当，时，求的长． 考向五：直角三角形 【题型14 含30°的直角三角形】 关于含30°角的直角三角形中考考题分析和解题技巧，结合历年真题和教学重点，以下从核心性质、常见题型、解题方法及备考建议进行系统梳理 一、核心性质与定理 1.基本性质：含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 逆定理：若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则该边所对角为30°。 2.关联定理 勾股定理：若已知30°角对边长度，可通过三边比例关系(1::2)快速计算其他边长； 斜边中线定理：斜边中线等于斜边的一半，与30°角性质结合使用。 二、中考常见题型及解法 题型①：直接计算边长或角度； 题型②：构造含30°角的直角三角形； 关键方法 （a）作垂线构造：例在非直角三角形中，过某点作垂线形成含30°角的直角三角形，利用性质求解； （b）分割或扩充图形：例将四边形延长边构造含30°角的直角三角形，结合勾股定理计算未知边长； （c）旋转或对称构造：例通过旋转等边三角形或等腰三角形，形成含30°角的直角三角形。 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边△ABC中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 2．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．    3．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将△ABC沿所在直线翻折得到，则的最大值为 ． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度，，则中柱（D为底边中点）的长为 ． 5．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    6．（2023·四川内江·中考真题）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．    7．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等边△ABC，，E为中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G．过点E作交射线于点F，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的面积． 【题型15 斜边上的中线等于斜边的一半】 一、高频考点分析：该定理在中考中常涉及以下题型 ①直接定理应用：给出直角三角形条件，直接求中线长度或相关线段比例。 ②逆定理判断三角形形状：已知某边中线等于该边一半，求证三角形为直角三角形。 ③综合几何证明：结合矩形、菱形、中位线等知识综合命题。 二、解题技巧总结 ①识别关键条件：题目中出现“中点““中线”“垂直平分”等关键词时，优先考虑该定理，若涉及折叠、对称图形，注意直角三角形的隐含条件。 ②辅助线构造方法 补全矩形法：将直角三角形补全为矩形，利用对角线相等且平分的性质； 中点延伸法：延长中线至等长，构造全等三角形或平行四边形； 中位线法：连接两边中点，结合中位线定理与中线定理联用。 ③逆定理应用要点：若已知中线等于边的一半，需严格证明对应角为直角(不可直接默认)，定理常与勾股定理、角度计算结合考查。 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 2．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在△ABC中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（    ）    A．2 B． C．3 D．4 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是△ABC的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    5．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则 ．    6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，．点E，F分别在边，上，沿折叠该菱形，使点A落在边上的点M处．当点M的位置变化时，的长的最大值为 ． 7．（2024·四川广元·二模）如图，△ABC中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，连接，求的长． 考向六：勾股定理 【题型16 勾股定理与网格问题】 解题技巧总结 1.勾股定理的直接应用 ①确定网格中线段端点的水平和垂直距离； ②计算两直角边的平方和，再开方求斜边； 2.勾股定理逆定理的灵活使用 适用场景：验证三角形是否为直角三角形或求未知角 操作：计算三边平方，若满足，则为直角三角形； 3.网格辅助线构造法 方法：通过连接格点形成辅助线(如对角线、垂线)，将复杂图形分解为简单图形。 1．（2024·四川南充·三模）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每个小正方形的顶点称为格点，阴影部分是一个“水滴”形图案，点都是格点，图案由过三点的圆的圆弧与过点作该圆的两条切线围成，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投次），任意投掷飞镖次，飞镖击中阴影部分的概率是 ． 3．（2023·四川成都·二模）如图，在由小正方形组成的矩形网格飞镖游戏板中，扇形的圆心及弧的两端点均为格点．任意投掷飞镖（均击中游戏板），则飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是 ． 4．（2023·四川达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．    (1)将△ABC向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，画出； (3)在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积． 5．（2023·四川泸州·一模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，将绕点逆时针旋转90°后得到． (1)在网格中画出； (2)旋转过程中点运动的路径为，求的长． 【题型17 勾股定理与折叠问题】 勾股定理与折叠综合问题是中考的常见题型，它往往结合特殊四边形（矩形、菱形、正方形等）综合考查，难度中等，想要得高分需要掌握以下解题技巧： 1.三角形中的折叠问题 典型特征：将直角三角形的一个顶点折叠到另一位置，形成对称图形； 关键步骤：标出折叠前后的对应边和对应角(如折叠后对应边相等、对应角全等)，设未知数表示目标线段，利用勾股定理在直角三角形中列方程求解。 2.长方形(矩形)中的折叠问题 典型特征：折叠矩形的一边或顶点，形成重看部分或新交点； 关键步骤：确定折叠后的对应点，找到形成的直角三角形，结合矩形对边相等的性质，设未知数表示线段，利用勾股定理列方程。 3.正方形中的折叠问题 典型特征：折叠顶点到边的中点或特定比例位置，涉及相似三角形或对称性； 关键步骤：利用正方形的对称性确定折叠后的对应关系，结合勾股定理与代数方程，计算未知边长或面积。 通用解题步骤与技巧 ①标已知条件：明确折叠前后的对应点、边、角，标注已知线段长度和角度； ②设未知数：将目标线段设为x，用含x的代数式表示相关边(如折叠后的边、斜边等)； ③找直角三角形：在折叠后的图形中，找到包含未知数的直角三角形(通常为1-2个)； ④列方程求解：利用勾股定理建立方程，解方程后验证合理性(如边长非负)。 1．（2024·四川达州·一模）如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·一模）如图，在边长为3的菱形中，，点是边上的动点，点是边上一定点，，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    4．（2023·四川泸州·二模）在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．    5．（2023·四川成都·二模）在中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将沿翻折使顶点A落在直线上的点D处． (1)如图1，当时，求的长； (2)当B，C，D中一点为另两点组成的线段的中点时，求的长； (3)如图2，平分交于G．当点D在线段上时，求的最小值． 【题型18 以弦图为背景的计算】 ①模型识别与结构拆分：明确弦图的核心是“四个全等直角三角形+中心小正方形”，快速标注已知边 长(如a,b,c)和面积关系。 ②代数与几何结合：设未知数表示直角边，通过以下公式建立方程(勾股定理 ) 大正方形面积 =，小正方形面积 = ③构造辅助线与转化思想：当图形复杂时，通过延长线或连接对称点构造新的直角三角形。 示例：在风车问题中，将外围边转化为多个直角三角形的斜边求和。 ④分类讨论与验证：涉及多解问题时(如未明确直角边长短)，需分类讨论并验证合理性。 ⑤面积法应用：利用面积相等原理(如弦图验证勾股定理时的两种面积表达方式)简化计算。 1．（2023·四川乐山·中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·四川达州·三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于（      ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广元·三模）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则 ． 4．（2024·四川成都·一模）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 5．（2023·四川德阳·二模）如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则的值为 ． 6．（2023·四川成都·三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．    【题型19 勾股定理的应用】 中考高频题型分析 1.直角三角形的三边关系计算 典型题：已知直角两边求斜边(或已知一边和斜边求另一边)； 技巧：直接应用公式 a’+ 6 = c,注意分类讨论斜边与直角边的区别； 2.实际情境中的最短路径问题 典型题：蚂蚁爬长方体、圆柱体表面最短路径，或两棵树间小鸟飞行距离； 技巧:将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形后计算斜边； 3.几何图形中的综合应用 典型题：结合等腰三角形、正方形、圆等图形，利用勾股定理求边长或面积； 技巧：寻找隐含的直角三角形，如正方形对角线分割出的等腰直角三角形； 4.动态问题与临界状态分析 典型题：梯子滑动、台风影响范围、车辆是否超速判断； 技巧：通过勾股定理建立方程，结合时间或距离的临界值； 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 2．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    4．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【题型20 勾股定理逆定理的应用】 中考典型题型与解题技巧 题型1：基础判断类 题目特征：直接给出三边长度，要求判断三角形是否为直角三角形。 解题步骤 ①排序：确定最长边 c(避免顺序错误)。 ②验证 :计算是否等于? 易错点：未正确识别最长边或计算错误； 题型2：几何综合题 题目特征：结合其他几何知识(如面积计算、图形折叠、坐标系等)； 解题技巧 构造辅助线：将复杂图形分割为直角三角形(如连接对角线)； 勾股数的灵活运用：如 3-4-5、5-12-13 等常见组合可快速验证； 1．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，是边的中点，是边上的点，且，连接，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，．将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，当时，的大小是 （    ）                              A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150° 3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 5．（2024·四川绵阳·三模）如图，已知△ABC中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若，，，则的值是 ． 6．（2023·四川成都·一模）若为△ABC的三边，且满足，则△ABC的最长边的高的长度等于 ． 7．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 8．（2024·四川乐山·一模）如图，点分别为△ABC的边的中点，延长交于点，已知． (1)证明：； (2)请连接，若，求四边形的面积． （建议用时：35分钟） 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 3．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·四川德阳·中考真题）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 5．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 6．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（    ）    A． B．2 C． D． 7．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，，，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 9．（2024·四川阿坝·中考真题）如图，中，，，，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 10．（2024·四川眉山·中考真题）如图，△ABC内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 11．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 12．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 13．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 14．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 热点06 全等三角形与特殊三角形 中考数学中全等三角形与特殊三角形部分主要考向分为四类： 一、与三角形有关的线段（每年1~2道，3~6分） 二、与三角形有关的角（每年1~2道，3~6分） 三、全等三角形（每年1~3道，3~18分） 四、等腰三角形（每年1~2道，3~12分） 五、直角三角形（每年1~2道，3~18分） 六、勾股定理（每年1~3道，3~8分） 中考中全等三角形是必考内容，结合几何变换（平移、翻折、旋转）设计题目，常与特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）结合，要求全等关系解决周长、面积和线段比例关系等问题。选择题或填空题中直接考查全等三角形的判定条件，在解答题中常作为中间步骤，或结合函数探究动点问题。在考试中也常结合辅助线（添加高线、中线或角平分线构造可解的直角三角形或等腰三角形）和方程（利用勾股定理和全等三角形的关系列方程）考查，熟练掌握全等三角形和特殊三角形的性质与判定是得分关键。 考向一：与三角形有关的线段 【题型1 三角形三边关系】 与三角形有关的线段是中考中常考的题型，难度中等，核心题型分析如下： ①直接判断三边关系 典型题例：已知两边长，求第三边可能的取值范围。 方法：利用 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边，例如：若三角形两边为4和9，第三边c需满足5<c<13，选项中符合的为6； 易错点:忽略隐含条件(如第三边为整数、周长为偶数等)导致多解或漏解。 ③等腰三角形分类讨论 典型题例：已知等腰三角形一边长，求周长或另一边的可能值。 方法：需分情况讨论 底边和腰，并验证是否满足三边关系。例：等腰三角形两边为5和6，周长为16或17； 易错点：未分类讨论或未排除不满足三边关系的解。 ③方程与三边关系结合 典型题例：已知三角形两边是方程的根，求参数范围或周长； 方法：利用方程求根公式，结合三边关系筛选有效解。例：等腰三角形腰长为方程x2-mx+6=0的根，需验证根的合理性； 易错点：未检验方程的根是否满足三角形存在条件。 ④几何证明中的三边关系应用 典型题例：证明线段不等关系或角度关系， 方法：通过构造辅助线或利用外角定理，结合三边关系推导； 易错点:忽略辅助线对三边关系的间接影响。 1．（2024·四川攀枝花·一模）已知等腰三角形的三边长分别是2，，6，则这个等腰三角形的周长是（    ） A． B．10 C．10或14 D．14 【答案】D 【详解】解：若等腰三角形的腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形； 若等腰三角形的腰长为6，底边长为2， 则等腰三角形的周长是， 故选：D 2．（2023·四川达州·一模）已知实数，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】17 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当3为腰长时，，不能构成三角形，不符合题意； 当7为腰长时，，符合题意，等腰三角形的周长为：； 故答案为：17 3．（2024·四川乐山·二模）已知△ABC的三边分别为，化简 ． 【答案】4 【详解】解：、、5是三角形的三边， ， ，， 原式． 故答案为：4． 4．（2023·四川广安·二模）已知等腰三角形的两边长满足，那么这个等腰三角形的周长为 ． 【答案】10 【详解】解：∵， ∴，， 解得， 当腰长为2，底边为4时： ，不满足三角形三边条件，不符合题意； 当腰长为4，底边为2时： ，，满足三角形三边条件， 此时等腰三角形的周长为． 故答案为：10． 5．（2023·四川凉山·一模）已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则△ABC的周长为 【答案】15 【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根． ∴ 解得： 将代入得： 解得：． ， 此时能构成三角形，的周长为： 若为底，则，即方程有两个相等的实根． ∴ 解得： 将代入得： 解得：． ， ∵ ∴此时不能构成三角形，不能计算周长 综上可得：△ABC的周长为15． 6．（2024·四川南充·二模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：此一元二次方程总有实数根； (2)已知△ABC两边长a，b分别为该方程的两个实数根，且第三边长，若△ABC的周长为偶数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴此一元二次方程总有实数根； （2）解：由题意得：， ∴△ABC的周长为， 设，则， 解得，， 此时△ABC的周长为，不是偶数，不符合题意，舍去； 设，则：， 由三角形三边关系得，，，即，， 解得：， ∵周长m为偶数， ∴． 【题型2 利用三角形三边关系求最值】 中考常见题型分析 ①第三边取值范围判定 核心方法：根据三角形三边关系 |a -b|<c<a+b建立不等式，结合几何或代数条件筛选结果； ②动态几何中的最值问题 解题策略：通过构造辅助线(如中点、对称点)将动态问题转化为固定三角形的三边关系。 典型模型：矩形/圆中的动点:取关键点(如中点)，利用直角三角形斜边中线性质或圆半径不变性； 实战技巧总结 ①固定模型记忆：如“将军饮马”模型(对称性转化)、直角三角形斜边中点性质。 ②坐标系辅助：通过坐标计算几何量，结合函数求极值。 ③动态问题三步法：Ⅰ确定动点轨迹；Ⅱ构造辅助三角形或对称点；Ⅲ验证共线条件是否满足； 1．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．8 【答案】D 【详解】解：如图，把△ABC绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∵，（三点共线时取等号）， ∴的最大值为， 故选D 2．（2024·四川自贡·一模）如图，在中，，以O为圆心，4为半径作，分别交两边于点C，D两点，P为劣孤上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，取的中点E，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， ∵，， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 3．（2024·四川成都·一模）如图，在矩形中，，点E、F分别为线段上的动点，且，四边形关于直线对称后得到四边形，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，延长、交于点P，连接、， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点P为定点， ∵四边形与四边形关于直线对称， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 4．（2024·四川绵阳·二模）如图，正方形中，，M是边上一个动点，以为直径的圆与相交于点Q，P为上另一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】连接，以为一条边在右侧作正方形， ∵是直径， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动，设该圆为． ∵四边形和四边形是边长相等的正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴ 连接，，，交于点N， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【题型3 三角形的高、中线和垂直平分线】 三角形的高、中线和垂直平分线在四川中考中往往不会单独考查，常出现在其他题型的中间步骤，作为一个桥梁解整个题，常见的中考考查题型与解题思路如下： ①三角形的高：结合面积公式计算高线长度，或利用高线证明三角形全等/相似； ②三角形的中线：⒜周长与面积计算：已知中线长度或分点比例，求边长或面积(如中线分三角形为面积相等的两部分，结合重心性质(重心分中线为2:1)求线段比例或面积比；⒝存在性讨论：等腰三角形边长分类时，忽略“两边之和>第三边“导致多解错误。 易错点：误认为中线平分角度(中线仅平分对边，不一定平分角)，混淆中线与中位线概念，导致公式误用(中位线平行于第三边且等于其一半)。 ③垂直平分线：利用垂直平分线性质求线段相等或角度(如外心到顶点距离相等)，证明某点为三角形的外心，或判断三角形类型(如外心在直角三角形斜边中点) 易错点：混淆垂直平分线与角平分线的性质(垂直平分线涉及线段端点等距，角平分线涉及角度相等) 忽略垂直平分线的“垂直“条件，仅关注距离相等导致证明不严谨。 1．（2024·四川泸州·二模）在计算的值时，可以借用“数形结合”思想构建几何图形的方法解决，如图，在中，，，延长到使，连接，得，设，则，，，中．类比这种方法，可以得到的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，中，，，， 作于， 又∵是的角平分线， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2023·四川眉山·中考真题）如图，△ABC中，是中线，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两孤交于点M，N．直线交于点E．连接交于点F．过点D作，交于点G．若，则的长为 ．    【答案】 【详解】解：由作图方法可知是线段的垂直平分线， ∴点E是的中点， ∴是△ABC的中线， 又∵是△ABC的中线，且与交于点F， ∴点F是△ABC的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 3．（2024·四川绵阳·二模）如图，线段，与相交于点，，于点，平分交于点，则的度数是 ． 【答案】15°/15度 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴. ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：15°． 4．（2024·四川南充·三模）如图，在△ABC中，于D，平分，与交于E，若，则的度数为 ．    【答案】/126度 【详解】解：在△ABC中，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形边的中点，连接并延长与延长线交于点G，则的度数为 ．    【答案】/18度 【详解】解：连接，，    ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在正五边形中，， ∴， ∴． 故答案为： 6．（2024·四川凉山·中考真题）如图，△ABC中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 考向二：与三角形有关的角 【题型4 与平行线有关的三角形内角和】 高频题型分析 ①平行线性质与判定的综合应用 题型特征：常结合复杂图形，要求通过添加辅助线或利用平行线性质(同位角内错角、同旁内角)进行角度计算或证明； 若出现“三线八角“模型，需注意区分不同位置角的性质，避免混淆； ②三角形内角和与角平分线结合 题型特征：涉及角平分线、高线、中线的综合计算，或与折叠、动态问题结合。若题目给出角平分线，需注意“等角代换“和三角形内角和为180°的隐含条件； 得高分需要注意： ①强化基础定理：熟记平行线性质与判定、三角形内角和定理及其推论，明确各定理的适用条件。 ②提升图形分析能力：对复杂图形进行分解，标记已知角和边，优先寻找“三线八角““A字型““Z字型“等基本模型。 ③注重细节审题：遇到“至少““至多”“取值范围”等关键词时，注意分类讨论计算后验证结果是否符合几何常识(如三角形内角和是否为180°) 1．（2024·四川资阳·中考真题）如图，，过点作于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵过点作于点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 可得， 故选． 2．（2024·四川广安·中考真题）如图，在△ABC中，点，分别是，的中点，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选D 3．（2024·四川德阳·中考真题）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 平行线的性质得出，再根据垂直与三角形的内角和即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 4．（2023·四川眉山·中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接，    ∵切于点B， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴； 故选C 5．（2023·四川达州·中考真题）如图，，平分，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 6．（2024·四川眉山·一模）在△ABC中，，，平分交于，，交于，则的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 7．（2024·四川乐山·二模）如图，四边形内接于，，．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：C． 8．（2024·四川遂宁·二模）将一把直尺和一块含和角的三角板按如图所示的位置放置，如果，那么的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【题型5 与垂直平分线有关的三角形内角和】 ①垂直平分线性质与内角和的直接计算 题型特征：题干中给出垂直平分线条件，结合三角形内角和定理或外角性质求角度。 关键点：垂直平分线构造等腰三角形，结合内角和与外角定理； ②垂直平分线与角平分线综合题 题型特征：同时涉及垂直平分线和角平分线，需综合应用两种性质； ③折叠问题中的垂直平分线 题型特征：图形折叠后，折痕为某边的垂直平分线，需利用对称性求角度； 易错点及规避策略 ①混淆垂直平分线与角平分线 错误：误认为垂直平分线会平分角； 纠正：垂直平分线仅保证线段相等，不涉及角度平分3； ②忽略等腰三角形的底角关系 错误：未利用垂直平分线构造的等腰三角形性质(如底角相等) 纠正：明确标注等腰三角形，列出角度方程。 ③多步骤计算中的逻辑跳跃 错误：跳过中间角度的推导，直接得出结果 纠正：分步标注已知角和推导角，逐步验证。 ④折叠问题中的对称性误判 错误：未识别折痕为垂直平分线，导致对称点找错； 纠正：明确折痕是两点连线的垂直平分线，利用对称性确定对应角相等； 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在等腰中，，， ∴， 由作图方法可知，是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 故选B． 2．（2024·四川凉山·二模）如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵矩形的对角线相交于点， ∴，， 又∵ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， 故选：C． 3．（2023·四川·中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为 ．    【答案】/56度 【详解】解：由作图可知为线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（2023·四川眉山·一模）如图，在△ABC中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则 度． 【答案】 【详解】解：在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， 又， ， 故答案为：． 5．（2024·四川绵阳·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线交于点D，连接．若，，则 ．    【答案】/108度 【详解】解：，， ， 由题知，直线为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 6．（2023·四川成都·二模）如图，在△ABC中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线MN交边AB于点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： 由作图可知垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 7．（2024·四川成都·三模）如图，在△ABC中，，分别以点 A和点 B为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N两点，作直线，分别交于点 D，E，连接． 若，则等于 ． 【答案】/度 【详解】解：根据题意，垂直平分， ∴点D是的中点，， 在△ABC中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【型6 与旋转和翻折有关的三角形内角和】 ①旋转类问题：旋转题型常通过构造全等三角形、等腰三角形或特殊角度关系，结合三角形内角和性质命题； ⒜等腰三角形旋转：旋转后生成等腰三角形，利用底角相等、三线合一等性质解题； ⒝直角三角形旋转：常结合30°、45°等特殊角，通过勾股定理或锐角三角比计算边长； ⒞半角模型：旋转角度为原角的一半，需结合相似三角形和方程思想； ②翻折类问题：翻折本质是轴对称变换，需关注折叠前后对应边角关系 ⒜构造特殊三角形：如折叠后形成等腰/直角三角形，利用内角和与边角关系求解； ⒝一线三直角模型：翻折后出现三个直角，结合相似三角形或勾股定理； ⒞动态分类讨论：翻折后点位置不确定时，需分情况讨论。 1．（2024·四川攀枝花·一模）如图，在△ABC中，，将△ABC绕点逆时针旋转到的位置，使得，划的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∵将△ABC绕点逆时针旋转到的位置， ∴， ∴， ∴， ，， ∴，即旋转角的度数是， 故选：B． 2．（2024·四川达州·一模）如图，，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（2024·四川南充·一模）如图，△ABC中，,将△ABC绕点C顺时针旋转 得对应，连接，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转 得对应， ∴,，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．（2023·四川泸州·一模）如图，四边形中，，将四边形沿对角线折叠，使点落在点处，若，则为（　　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据翻折可知： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024·四川凉山·一模）如图，在△ABC中，，，将△ABC绕点逆时针旋转得到，若点恰好落在线段上，、交于点，则的度数是 ．    【答案】/度 【详解】解：∵，， ∴， 根据旋转可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考向三：全等三角形 【题型7 全等三角形的性质和判定】 全等三角形核心知识点 ①基本性质 对应边、角相等，周长、面积相等，对应高线、中线、角平分线相等； 隐含条件:公共边、公共角、对顶角、平角180°等常被忽略。 ②全等三角形的判定 1．（2024·四川成都·中考真题）如图，，若，，则的度数为 ． 【答案】/100度 【详解】解：由，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 2．（2023·四川成都·中考真题）如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．    【答案】3 【详解】解：由全等三角形的性质得：， ∴， 故答案为：3． 3．（2024·四川成都·一模）如图，，且，，则的度数为 ．    【答案】/45度 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，△ABC与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在△ABC中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 5．（2024·四川宜宾·一模）如图，点E在△ABC边上，，，． (1)求证：△ABC≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵， ∴． 在△ABC和中， ∵， ∴． （2）解：由（1）知， ∴，， ∴， ∴． ∴． 【题型8 添加一个条件使得三角形全等】 在解决中考中“添加一个条件使三角形全等”的题型时，需要结合全等三角形的判定定理和题目特征，灵活补充边、角或特殊线段条件。以下从题型分析和解题技巧两方面进行总结； 一、题型分类与条件补充思路 ①已知两边对应相等 补充条件 夹角相等(SAS)：若图形中存在公共角或隐含角度关系(如垂直、平行等)，可补充夹角相等； 第三边相等(SSS)：适用于需要构造稳定结构的情况，如正方形、等边三角形等。 ②已知一边一角对应相等 补充条件: 另一角相等(ASA/AAS)：若已知角为夹边角，补充另一角；若已知角为非夹边角，补充对应边。 另一边相等(SAS/AAS)：注意边角位置关系； 二、解题技巧与策略 ①逆向分析法：从全等结论出发，反推所需条件。例如，若需用SSS定理，则需补充第三边；若 需用AAS，则需补充一对角。 ②图形特征观寨 公共边/角：利用图形中的公共边、对顶角、平行线内错角等隐含条件； 对称性：在正方形、等边三角形中，对称边或角可直接作为补充条件。 ③排除法：若选项中存在多个可能条件，需逐一验证是否符合判定定理，排除不符合的选项(如SSA不能作为一般判定)； ④特殊构造法 截长补短：当需证明线段和差关系时，截取或延长线段构造全等三角形； 旋转/翻折：通过旋转或翻折图形，将分散条件集中。 1．（2023·四川凉山·中考真题）如图，点在上，，，添加一个条件，不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，即， ， ∴当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，利用可得； 当时，无法证明； 故选：D． 2．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是(    )    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、不能证明△，故此选项不合题意； B、由可得，，可利用证明，故此选项符合题意； C、不能证明，故此选项不合题意； D、不能证明，故此选项不合题意； 故选：B． 3．（2022·四川成都·中考真题）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、，不能判断，选项不符合题意； B、，利用SAS定理可以判断，选项符合题意； C、，不能判断，选项不符合题意； D、，不能判断，选项不符合题意； 故选：B． 4．（2024·四川成都·二模）如图，已知与相交于点O，．只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，． A．添加不能判断，故此选项错误； B．添加可以根据或能够判断，故此选项错误； C．添加，不能判断，故此选项错误； D．添加，不能判断，故此选项错误． 故选：B． 5．（2023·四川成都·二模）如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 当时，， ， ． 6．（2024·四川成都·一模）如图，点B、F、C、E都在一条直线上，，，添加下列一个条件后，仍无法判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A．当，，时，依据可得； B．当，，时，依据可得； C．当，，F时，不能得出； D．当，，时，依据可得． 故选C． 7．（2023·四川成都·三模）如图，，，下列四个条件中再添加一个，不能判定的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵，， 若添加条件， ∴无法用证明，符合题意； B、∵，， 若添加条件， ∴可用证明，不符合题意； C、∵，， 若添加条件，即， ∴可用证明，不符合题意； D、∵，， 若添加条件， ∴可用证明，不符合题意； 故选：A． 8．（2023·四川成都·二模）如图，已知，，添加下列条件，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴，与答案A条件相同，故答案A不正确， 答案B符合三角形全等的判定SAS，故答案B正确， 答案C、D是边边角的情况，不能判定两个三角形全等，故答案C、D不正确． 故选B． 9．（2023·四川成都·二模）如图，在△ABC与中，若，，要使这两个三角形全等，还需具备的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意； B、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意； C、加上可得，即，根据能证明这两个三角形全等，故此选项符合题意； D、加上，不能证明这两个三角形全等，故此选项不符合题意． 故选：C． 10．（2023·四川眉山·二模）如图，在△ABC和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，请添加一个条件，使，这个添加的条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 补充， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型9 全等三角形综合】 全等三角形的综合是中考中常考的题型，在选择填空中多以综合题型出现，往往结合到函数、相似 特殊四边形进行考查，在解答题中常常位于前三道，难度中等； ①基础证明题：题目直接要求证明两个三角形全等，常结合以下条件已知边、角相等(如公共边、对顶角、垂直平分线等)、中点、角平分线、中线等特殊点或线的性质； ②线段和差问题：需证明线段的和、差、倍分关系(如AB+BC =CD)。 截长补短法：在长线段上截取或延长短线段构造全等； 中线倍长法：延长中线至原长，构造全等三角形； ③动态几何题：涉及旋转、翻折、平移后的全等关系，需分析动态变化中的不变量旋转后对应边、角相等(如正方形中绕顶点旋转)。 1．（2024·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，将绕点O逆时针旋转到位置，则点B坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∵将绕点O逆时针旋转到， ∴， ∴，， ∴点B坐标为， 故选：A． 2．（2024·四川南充·一模）如图，在△ABC中，，，将△ABC沿边所在直线翻折得，连接交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵将沿边所在直线翻折得， ∴，， ∴，，， ∴， 故选：A． 3．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是对角线的交点，过点O的直线分别交，于点E，F． (1)求证：； (2)当时，，分别连接，，求此时四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是对角线的交点， ∴， 在△和中，， ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是菱形， ∴， ∴， ∴四边形的周长为． 4．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 5．（2024·四川内江·中考真题）如图，点、、、在同一条直线上，，， (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵ ∴，即 ∵， ∴ （2）∵，， ∴， ∵， ∴ 6．（2024·四川南充·中考真题）如图，在△ABC中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：为的中点， ．            ；                              在和中，       ； （2）证明： 垂直平分， ． 7．（2024·四川德阳·中考真题）如图，在菱形中，，对角线与相交于点，点为的中点，连接与相交于点，连接并延长交于点． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∵点为的中点， ∴， ∴ ∵， ∴． （2）证明：∵△ABC是等边三角形，，， ∴， ∴ ∵△ABC是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴． 8．（2023·四川内江·中考真题）如图，在△ABC中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．    (1)求证：； (2)连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴； （2）证明：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． 9．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，四边形中，，点O为对角线的中点，过点O的直线l分别与、所在的直线相交于点E、F．（点E不与点D重合）    (1)求证：； (2)当直线时，连接、，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形；理由见解析 【详解】（1）证明：∵点O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：四边形为菱形，理由如下： 连接、，如图所示：    根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，即， ∴四边形为菱形． 【题型10 角平分线的性质与判定】 角平分线的性质与判定在四川数学中考中是常考题型，难度中等，掌握以下解题技巧与策略是得分的关键： ①性质与判定的灵活转换 性质应用：已知角平分线时，优先考虑“作垂线”构造距离相等的线段，结合全等三角形或勾股定理计算 判定应用：需证角平分线时，通过验证“到角两边距离相等“实现，常需作辅助垂线并证明其相等。 ②辅助线构造方法 补垂线：向角的两边作垂线段，利用距离相等性质； 截等长线段：在角两边截取等长构造全等三角形； 延长线构造对称性：通过延长角平分线或相关线段，形成对称图形； ③典型模型归纳与应用 面积法：利用角平分线将三角形分为等高模型，通过面积比求解线段比例； 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， 在中，，解得， ∵平分， ∴， ∴，解得， 当时，线段长度的最小， ∵平分， ∴． 故选∶C． 2．（2023·四川南充·中考真题）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线与交于点D，，垂足为E．则下列结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由作图方法可知，是的角平分线， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论正确，不符合题意； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故C结论错误，符合题意； ∴，故D结论正确，不符合题意； 故选C． 3．（2022·四川南充·中考真题）如图，在中，的平分线交于点D，DE//AB，交于点E，于点F，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在中，的平分线交于点D，， ∴CD=DF=3，故B正确； ∵DE=5， ∴CE=4， ∵DE//AB， ∴∠ADE=∠DAF， ∵∠CAD=∠BAD， ∴∠CAD=∠ADE， ∴AE=DE=5，故C正确； ∴AC=AE+CE=9，故D正确； ∵∠B=∠CDE，∠BFD=∠C=90°， ∴△BDF∽△DEC，     ∴, ∴，故A错误； 故选：A． 4．（2024·四川绵阳·一模）如图，在中，的平分线交于点于点，若△ABC的周长为12，则△BDE的周长为4，则为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵△BDE 的周长为 4 ，△ABC 的周长为12， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·四川绵阳·二模）如图，在中，，，，平分，则的长是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：过D点作，垂足为E， 平分， ， 在中，，，， ， 设， ， ， ， 的长是． 故选：C． 6．（2024·四川德阳·二模）如图，在等腰直角△ABC中，，，分别平分，，，于点D，，△ABC的周长为21，则△ABC的面积为（    ） A．21 B．36 C．42 D．24 【答案】A 【详解】解：过点E作，垂足为F，过点E作，垂足为G，如图所示：    ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， 即， ∵平分，， ∴， ∵， ∴时等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC的面积的面积的面积的面积 ， 故选：A． 7．（2023·四川乐山·二模）如图，矩形纸片中，点E是边的中点，连结，过点A对折矩形纸片，使点D落在射线上，折痕为，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长与的延长线相交于点G，作于点H，    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， 由折叠的性质知， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴． 故选：A． 8．（2023·四川乐山·二模）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点D作于点H，则， 由题目作图知，是的平分线，    则， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：B． 9．（2023·四川成都·一模）如图，在△ABC中，，是角平分线，于点，，，则（        ） A．2 B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：∵在△ABC中，，是角平分线， ∴ ∵，， ∴，， 在中，， 故选：C． 【题型11 垂直平分线的性质与判定】 垂直平分线是中考几何的核心考点，其性质与判定常与三角形、四边形、最值问题结合。以下结合近年中考题型和解题技巧如下： 一、核心性质与定理 ①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 应用场景：求线段长度、证明线段相等、最值问题； 关键技巧：将分散的线段转化为已知线段的和差(如将三角形周长转化为某边长)； ②判定定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 应用场景：证明某直线是垂直平分线、确定点的位置(如选址问题) 二、中考常见题型分析 题型1：求线段长度或周长 特征：涉及三角形、四边形的周长计算，或已知部分线段求未知长度； 技巧：⒜利用垂直平分线性质将多段未知线段转化为已知线段；⒝结合全等三角形 题型2：角度计算 特征：涉及三角形内角、外角或角平分线的综合计算。 技巧：⒜结合垂直平分线与等腰三角形性质；⒝利用全等三角形对应角相等 1．（2024·四川眉山·中考真题）如图，在△ABC中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连接，则的周长为（    ） A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【详解】解：由作图知，垂直平分， ， 的周长， ，， 的周长， 故选：C． 2．（2024·四川成都·一模）如图，△ABC为锐角三角形，点在边上，．分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线交于点．若，△ABC的面积为8，则的面积为 ．    【答案】// 【详解】解：设点D到、的距离为a，b， ∵， ∴， ∵， ∴，又的面积为8， ∴，， 设，， ∵， ∴，， 由作图痕迹得垂直平分，则， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 4．（2022·四川巴中·中考真题）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）    A． B．若，则 C． D． 【答案】B 【详解】解：由作法得MN垂直平分CD， ∴AD=AC，CM=DM，∠AED=90°， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB=BC=AD， ∴AB=BC=AC， ∴ΔABC为等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠BCD=120°，即A选项的结论正确，不符合题意； 当AB=3，则CE=DE=， ∵∠D=60°， ∴AE=，∠DAE=30°，∠BAD=120° ∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=120°-30°=90° 在Rt△ABE中，BE= ，所以B选项的结论错误，符合题意； ∵菱形ABCD ∴.BC=CD=2CE，即，所以C选项的结论正确，不符合题意； ∵ABCD，AB=2DE， ∴，所以D选项的结论正确，不符合题意． 故选：B． 5．（2024·四川乐山·二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由已知作图方法可得，是线段的垂直平分线， 连接，如图， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 6．（2024·四川广元·一模）如图，在中，，根据步骤作图：①分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，交于点，交于点．若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵根据作图步骤可知垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，且相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．（2024·四川南充·二模）如图，分别以A，B为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，过点M，N作直线，分别与交于点D，E，再以点D为圆心长为半径画弧，与交于点C，连接．若，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，由作图知，垂直平分， ，故A正确， ∴， ∴，， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故C正确； ∵， ∴，故D错误， 故选：D． 8．（2024·四川广元·二模）如图，某考古学家要修复一面残破的铜镜，欲找到其圆心并确定其半径，按以下步骤操作：①作弦，分别以A，B为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线；②作弦，分别以B，C为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 P，Q，作直线．直线，的交点O 即为圆心．连接，即为半径．若直线 交于点 D，交于点E，且，则铜镜的半径长是（      ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】解：由题意知：垂直平分， ，， E在圆上， ， ， 在中， ， 解得， 故选：C． 考向四：等腰三角形 【题型12 等腰三角形的性质与判定】 关于等腰三角形的性质与判定在四川中考中的考查，结合历年真题和解题方法，以下从题型分析总结 ①角度计算问题 考查性质：等腰三角形“等边对等角”“三线合一”，以及与平行线、外角定理的结合； ②边长与周长问题 关键点：需分情况讨论边为“腰“或“底”，注意三角形三边关系； ③三线合一与辅助线应用 核心技巧：利用等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线"三线合一”的性质简化证明； ④存在性或多解问题 高频考点：坐标系中构造等腰三角形，需分情况讨论顶点位置，例如平面直角坐标系中给定两点，求第三点使三角形为等腰三角形(需分类讨论，利用勾股定理或垂直平分线) 1．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，，则的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2024·四川泸州·二模）如图，在△ABC中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点D和点E；②以点B为圆心，长为半径作弧，交于点F；③以F为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点G；④过点G作射线交于点H．若，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由作图可知， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：D． 3．（2023·四川宜宾·一模）如图，在矩形中，为对角线，点关于的对称点为点，连接，，交于点，过点作，垂足为，过点作，垂足为点，若，，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵点关于的对称点为点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴． 故选：B． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， 故选：． 5．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，边长为6的正方形中，M为对角线上的一点，连接并延长交于点P．若，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是边长为6的正方形， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 又， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 故选：C． 【题型13 等腰三角形手拉手模型】 共顶点模型，亦称“手拉手模型”是指两个顶角相等的等腰或者等边三角形的顶点重合两个三角形的两条腰分别构成的两个三角形全等或者相似。寻找共顶点旋转模型的步骤如下: ①寻找公共的顶点； ②列出两组相等的边或者对应成比例的边； ③将两组相等的边分别分散到两个三角形中去，证明全等或相似即可。 常见题型： 连接AE、BD交于点F，连接CF，则有以下结论； （a）△BCD≌△ACE； （b）AE=BD； （c）∠AFB=∠DFE； （d）FC平分∠BFE。 【基本模型】1、等边三角形手拉手模型------出全等 2、等腰直角三角形手拉手-----出全等 两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中(B、C、D不共线)始终有： ①ΔBCD≌ΔACE；②)BD⊥AE(位置关系)且 BD=AE(数量关系)；③FC平分∠BFE。 1．（2023·四川南充·一模）如图，△AOB和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，    (1)如图1，连接，，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； (2)如图2，连接，，若点恰好在上，且为的中点，，求的面积； (3)如图3，连接、，点E为的中点，连接，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，(2)(3)，见解析 【详解】（1）解：如图1，设与交于点E，    ∵△AOB和都是以为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，即； （2）解：如图2，过点O作于H．    ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：，理由如下； 如图3，延长到使，连接、，    ∴，， ∴是以为顶点的等腰直角三角形， 又∵△AOB是以为直角顶点的等腰直角三角形， 同理（1），， ∴，， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴． 2．（2024·四川南充·二模）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． （1）【问题发现】：如图1，D是等边的边上的一动点，其中等边的边长为10，以为边在上方作等边△ADE，小明认为有最小值，那么的最小值是___________． （2）①【问题探究】：如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，则的度数为___________；线段与之间的数量关系是___________． ②【问题探究】：如图3，若和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，请判断的度数及线段之间的数量关系并说明理由． 【问题解决】 （3）如图4，在四边形中，，求四边形面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①，；②，理由见解析；（3） 【详解】解：（1）∵D是等边△ABC的边上的一动点， ∴当时，有最小值， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：； （2）①∵和均是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； ②，理由如下： 同（2）①的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． （3）将绕点A顺时针旋转，得到对应的，连接，如图4， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴当C，B，E三点共线时，最大， ∴的最大值是9， 过A作于H， ∴， ∴， ∴四边形面积的面积， 故四边形面积的最大值为． 3．（2024·四川绵阳·一模）【问题发现】 （1）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B、D、E在同一直线上，连接．容易发现： ①的度数为___________； ②线段之间的数量关系为___________； 【类比探究】 （2）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，，点B、D、E在同一直线上，连接，试判断的度数及线段之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，点P是等边△ABC外一点，，，，则___________．    【答案】（1）①；②相等；（2），，理由见解析；（3）． 【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ②∵， ∴； 故答案为：①；②相等； （2）如图所示，设与交于点O，    ∵△ABC和均为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴； （3）如图所示，以为边作等边三角形，连接，    ∵△ABC和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴在中，， 故答案为：． 4．（2023·四川资阳·二模）已知，，，连接．    (1)如图1，，点在线段上，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，连接并延长交于点，交于点，平分． ①求证：； ②当，时，求的长． 【答案】(1)等边三角形，见解析 (2)①见解析；② 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ， ，， ， ， ， ， ， 为等边三角形． （2）①证明：， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ． ②解：延长交于点．连接，   ， ， ， ， 又， ， 平分， ， 在△ABC和中， ， ，， ，， ， ， ， ， 在中，， ． 考向五：直角三角形 【题型14 含30°的直角三角形】 关于含30°角的直角三角形中考考题分析和解题技巧，结合历年真题和教学重点，以下从核心性质、常见题型、解题方法及备考建议进行系统梳理 一、核心性质与定理 1.基本性质：含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半； 逆定理：若直角三角形中一条直角边等于斜边的一半，则该边所对角为30°。 2.关联定理 勾股定理：若已知30°角对边长度，可通过三边比例关系(1::2)快速计算其他边长； 斜边中线定理：斜边中线等于斜边的一半，与30°角性质结合使用。 二、中考常见题型及解法 题型①：直接计算边长或角度； 题型②：构造含30°角的直角三角形； 关键方法 （a）作垂线构造：例在非直角三角形中，过某点作垂线形成含30°角的直角三角形，利用性质求解； （b）分割或扩充图形：例将四边形延长边构造含30°角的直角三角形，结合勾股定理计算未知边长； （c）旋转或对称构造：例通过旋转等边三角形或等腰三角形，形成含30°角的直角三角形。 1．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，在等边△ABC中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得： , ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（2024·四川南充·中考真题）如图，在矩形中，为边上一点，，将沿折叠得，连接，，若平分，，则的长为 ．    【答案】 【详解】如图，过作于点，于点，    ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴，， ∴四边形是正方形， 由折叠性质可知：，， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理得， 故答案为：． 3．（2023·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将△ABC沿所在直线翻折得到，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点D作，交延长线于点F，取的中点E，连接，，， ∵等边三角形的边长为2， ∴，， 由翻折可知：，， ， ， ， ， ， ， ∵E是的中点， ， ∴， ∴ ∴， ∴当D、E、O三点共线时最大，最大值为． 故答案为：． 4．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度，，则中柱（D为底边中点）的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 解得， 故答案为：． 5．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，    当在右侧处时， ∴，， ∴， 当在下方时，由等边三角形的性质可得：， 此时， 如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形， ∴，，    则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴此时重合， ∴，， ∴， ∵， ∴小虫爬行的最短路程等于． 故答案为：． 6．（2023·四川内江·中考真题）如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为 ．    【答案】/ 【详解】解：如图所示，作于点，于点，    ∵四边形是边长为4的正方形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 7．（2023·四川巴中·中考真题）如图，已知等边△ABC，，E为中点．以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点G．过点E作交射线于点F，连接．    (1)求证：四边形是菱形． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：等边△ABC， 是中点，， 是中点， ， 是等边三角形 ， 由尺规作图可知平分， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：等边△ABC，， ， ，                              四边形是菱形， ， ， ， ， ． 【题型15 斜边上的中线等于斜边的一半】 一、高频考点分析：该定理在中考中常涉及以下题型 ①直接定理应用：给出直角三角形条件，直接求中线长度或相关线段比例。 ②逆定理判断三角形形状：已知某边中线等于该边一半，求证三角形为直角三角形。 ③综合几何证明：结合矩形、菱形、中位线等知识综合命题。 二、解题技巧总结 ①识别关键条件：题目中出现“中点““中线”“垂直平分”等关键词时，优先考虑该定理，若涉及折叠、对称图形，注意直角三角形的隐含条件。 ②辅助线构造方法 补全矩形法：将直角三角形补全为矩形，利用对角线相等且平分的性质； 中点延伸法：延长中线至等长，构造全等三角形或平行四边形； 中位线法：连接两边中点，结合中位线定理与中线定理联用。 ③逆定理应用要点：若已知中线等于边的一半，需严格证明对应角为直角(不可直接默认)，定理常与勾股定理、角度计算结合考查。 1．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】B 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 2．（2023·四川德阳·中考真题）如图．在△ABC中，，，，，点是边的中点，则（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】∵， ∴为直角三角形． ∴． ∵点为的斜边的中点， ∴． ∵，， ∴． 故选：A． 3．（2023·四川乐山·中考真题）如图，菱形的对角线与相交于点O，E为边的中点，连结．若，则（    ）    A．2 B． C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵菱形， ∴，，， ∴由勾股定理，得， ∵E为边的中点， ∴ 故选：B． 4．（2024·四川成都·中考真题）如图，在中，，是△ABC的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，过E作于F，设，，    ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是△ABC的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴ ∴，则， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 故答案为：． 5．（2023·四川凉山·中考真题）如图，在纸片中，，是边上的中线，将沿折叠，当点落在点处时，恰好，若，则 ．    【答案】 【详解】解：∵，，是边上的中线， ∴， ∴， 由翻折的性质可知，，， ∴， 如图，记与的交点为，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在菱形中，，．点E，F分别在边，上，沿折叠该菱形，使点A落在边上的点M处．当点M的位置变化时，的长的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，连接交于点O，取的中点R，连接，过点A作交的延长线于点G，过点O作于点K，交于点T． ∵，， ， ， 四边形是矩形， ． 由折叠可知，． 又∵，， ， ． ∵， 当时，取得最小值， ∵，， ， 的最小值为． ∵四边形为菱形， ． 又∵． 的最大值． 故答案为． 7．（2024·四川广元·二模）如图，△ABC中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连接、、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，连接，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）由（1）得：四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴， 在中，由勾股定理得： ，    ∵D是的中点，， ∴． 考向六：勾股定理 【题型16 勾股定理与网格问题】 解题技巧总结 1.勾股定理的直接应用 ①确定网格中线段端点的水平和垂直距离； ②计算两直角边的平方和，再开方求斜边； 2.勾股定理逆定理的灵活使用 适用场景：验证三角形是否为直角三角形或求未知角 操作：计算三边平方，若满足，则为直角三角形； 3.网格辅助线构造法 方法：通过连接格点形成辅助线(如对角线、垂线)，将复杂图形分解为简单图形。 1．（2024·四川南充·三模）如图，是由16个形状、大小相同的菱形组成的网格，各菱形的顶点均为格点，点，，都在格点上，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由图得，，， ， 是等边三角形， ，， 设菱形的边长为1， 则， 过点作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得， ，， ， ，， ， ， 故选：B． 2．（2024·四川成都·二模）如图，在的正方形网格飞镖游戏板中，每个小正方形的顶点称为格点，阴影部分是一个“水滴”形图案，点都是格点，图案由过三点的圆的圆弧与过点作该圆的两条切线围成，假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投次），任意投掷飞镖次，飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【详解】设与相交于点，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点 设一个小正方形的边长为，则 图案由过三点的圆的圆弧与过点作该圆的两条切线围成 四边形的面积为： 四边形的内角和为 扇形的圆心角为： 扇形的面积为： 阴影部分面积为： 小正方形的边长为，则一个小正方形的面积为： 的正方形网格的总面积为： 任意投掷飞镖次，飞镖击中阴影部分的概率是： 故答案为：． 3．（2023·四川成都·二模）如图，在由小正方形组成的矩形网格飞镖游戏板中，扇形的圆心及弧的两端点均为格点．任意投掷飞镖（均击中游戏板），则飞镖击中扇形（阴影部分）的概率是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，连接 ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴飞镖击中扇形的概率是， 故答案为：． 4．（2023·四川达州·中考真题）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．    (1)将△ABC向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将△ABC绕点顺时针旋转90度得到，画出； (3)在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：作出点A、B、C平移后的对应点，、，顺次连接，则即为所求，如图所示：    （2）解：作出点A、B绕点顺时针旋转90度的对应点，，顺次连接，则即为所求，如图所示：    （3）解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴， 根据旋转可知，， ∴， ∴在旋转过程中扫过的面积为．    5．（2023·四川泸州·一模）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，的顶点均在格点上，点的坐标分别是，将绕点逆时针旋转90°后得到． (1)在网格中画出； (2)旋转过程中点运动的路径为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）如图所示； （2）由勾股定理，得， ∴的长， 即的长为． 【题型17 勾股定理与折叠问题】 勾股定理与折叠综合问题是中考的常见题型，它往往结合特殊四边形（矩形、菱形、正方形等）综合考查，难度中等，想要得高分需要掌握以下解题技巧： 1.三角形中的折叠问题 典型特征：将直角三角形的一个顶点折叠到另一位置，形成对称图形； 关键步骤：标出折叠前后的对应边和对应角(如折叠后对应边相等、对应角全等)，设未知数表示目标线段，利用勾股定理在直角三角形中列方程求解。 2.长方形(矩形)中的折叠问题 典型特征：折叠矩形的一边或顶点，形成重看部分或新交点； 关键步骤：确定折叠后的对应点，找到形成的直角三角形，结合矩形对边相等的性质，设未知数表示线段，利用勾股定理列方程。 3.正方形中的折叠问题 典型特征：折叠顶点到边的中点或特定比例位置，涉及相似三角形或对称性； 关键步骤：利用正方形的对称性确定折叠后的对应关系，结合勾股定理与代数方程，计算未知边长或面积。 通用解题步骤与技巧 ①标已知条件：明确折叠前后的对应点、边、角，标注已知线段长度和角度； ②设未知数：将目标线段设为x，用含x的代数式表示相关边(如折叠后的边、斜边等)； ③找直角三角形：在折叠后的图形中，找到包含未知数的直角三角形(通常为1-2个)； ④列方程求解：利用勾股定理建立方程，解方程后验证合理性(如边长非负)。 1．（2024·四川达州·一模）如图，四边形为矩形纸片，，，现把矩形纸片折叠，使得点C落在边上的点处（不与A，B重合），点D落在处，此时，交边于点E，设折痕为．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， 四边形是矩形，，， ， 由折叠得，， ， ， ，， ，且， ， ， ， 解得，（不符合题意，舍去）， ，， ∴， 故选：A． 2．（2024·四川成都·一模）如图，在边长为3的菱形中，，点是边上的动点，点是边上一定点，，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， 在边长为3的菱形中，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 将沿所在的直线翻折得到， ， 点在以为圆心，为半径的圆上， 当点在线段上时，长度有最小值， 长度的最小值， 故选：A． 3．（2024·四川广元·中考真题）已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为 ．    【答案】 【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，    ∵与的图象交于点， ∴把代入，得出， ∴， 把代入， 解得， ∴， 设， 在， ∴， ∵点B为y轴上一点，将沿翻折， ∴，， ∴， 则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 4．（2023·四川泸州·二模）在矩形中，点为边上一点（不与端点重合），连接，将矩形沿折叠，折叠后点与点重合，连接并延长，分别交，于，两点若，，，则的长为 ．    【答案】 【详解】连接，如图：    四边形是矩形， ， 将矩形沿折叠，折叠后点与点重合， ， ， ， ， ， 设，则 在中， ， 解得：， ， ， 将矩形沿折叠，折叠后点与点重合， ， //， ， ， ， ， 5．（2023·四川成都·二模）在中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将沿翻折使顶点A落在直线上的点D处． (1)如图1，当时，求的长； (2)当B，C，D中一点为另两点组成的线段的中点时，求的长； (3)如图2，平分交于G．当点D在线段上时，求的最小值． 【答案】(1) (2)满足条件的的值为或4 (3)的最小值为 【详解】（1）解：如图： ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，当时，过点D作于点T， ， ， ， ， 设， 则有， ， 即； 如图，当时，过点D作于点L， 则， ， 设， 则， ， 即， 综上，满足条件的的值为或4； （3）解：连接，过作交于，过作于， 当时，的值最小， 此时，， 最小时，的值最小， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则有 ，， 中， ， 在中， ， ， 在中， ， ， 整理得：， ， ， ， ， ， 的最小值为， ； ∴的最小值为． 【题型18 以弦图为背景的计算】 ①模型识别与结构拆分：明确弦图的核心是“四个全等直角三角形+中心小正方形”，快速标注已知边 长(如a,b,c)和面积关系。 ②代数与几何结合：设未知数表示直角边，通过以下公式建立方程(勾股定理 ) 大正方形面积 =，小正方形面积 = ③构造辅助线与转化思想：当图形复杂时，通过延长线或连接对称点构造新的直角三角形。 示例：在风车问题中，将外围边转化为多个直角三角形的斜边求和。 ④分类讨论与验证：涉及多解问题时(如未明确直角边长短)，需分类讨论并验证合理性。 ⑤面积法应用：利用面积相等原理(如弦图验证勾股定理时的两种面积表达方式)简化计算。 1．（2023·四川乐山·中考真题）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为25，小正方形面积为1，则（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵大正方形的面积是25，小正方形面积是1， ∴大正方形的边长，小正方形的边长，    ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去） ∴． 故选A． 2．（2024·四川达州·三模）勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、直观，是世界公认最巧妙的方法．“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来倍受人们的喜爱．小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接，；若正方形与的边长之比为，则等于（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点D作交的延长线于点N， 由题意可得，两个正方形之间是4个全等的三角形， 设的长直角边为a，短直角边为b，大正方形的边长为，小正方形的边长为x， 即，， 由题意得，，解得或（舍去）， 在中，，则， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（2024·四川广元·三模）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则 ． 【答案】2 【详解】解：由题意，设，，则， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴，，即， ∴，则， 解得或（舍去）， 则， 故答案为：2． 4．（2024·四川成都·一模）“赵爽弦图”利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，在正方形中，，，假设可在弦图区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为 ． 【答案】 【详解】解：设，则， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， 这个点落在阴影部分的概率为， 故答案为：． 5．（2023·四川德阳·二模）如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则的值为 ． 【答案】63 【详解】解：由图可知，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：63 6．（2023·四川成都·三模）如图，由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形，连接和．现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为 ．    【答案】 【详解】解：设交于点M，交于点N，设，，    由勾股定理得， ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 则针尖落在阴影区域的概率为， 故答案为： 【题型19 勾股定理的应用】 中考高频题型分析 1.直角三角形的三边关系计算 典型题：已知直角两边求斜边(或已知一边和斜边求另一边)； 技巧：直接应用公式 a’+ 6 = c,注意分类讨论斜边与直角边的区别； 2.实际情境中的最短路径问题 典型题：蚂蚁爬长方体、圆柱体表面最短路径，或两棵树间小鸟飞行距离； 技巧:将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形后计算斜边； 3.几何图形中的综合应用 典型题：结合等腰三角形、正方形、圆等图形，利用勾股定理求边长或面积； 技巧：寻找隐含的直角三角形，如正方形对角线分割出的等腰直角三角形； 4.动态问题与临界状态分析 典型题：梯子滑动、台风影响范围、车辆是否超速判断； 技巧：通过勾股定理建立方程，结合时间或距离的临界值； 1．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【详解】解：设，则， 由题意，得：， 解得：，即， 故选：C． 2．（2023·四川德阳·中考真题）如图，在底面为正三角形的直三棱柱中，，点M为的中点，一只小虫从沿三棱柱的表面爬行到M处，则小虫爬行的最短路程等于 ．    【答案】 【详解】解：如图，连接，由题意可得：底面为正三角形的直三棱柱，，点M为的中点，    当在右侧处时， ∴，， ∴， 当在下方时，由等边三角形的性质可得：， 此时， 如图，当按下图方式展开时，延长，过作于，作于，作于，则，四边形为矩形， ∴，，    则， ∴， ∵，， ∴，，，， ∴此时重合， ∴，， ∴， ∵， ∴小虫爬行的最短路程等于． 故答案为：． 3．（2023·四川广安·中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）    【答案】10 【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：， ， ∵底面周长为， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 故答案为：10． 4．（2024·四川德阳·二模）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为18，底面周长为12，在容器内壁离容器底部7的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿1的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作出关于的对称点，过作交的延长线于D，    根据题意可得：四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为18，底面周长为12， ∴，，，即， 在中，（）, 故答案为：． 【题型20 勾股定理逆定理的应用】 中考典型题型与解题技巧 题型1：基础判断类 题目特征：直接给出三边长度，要求判断三角形是否为直角三角形。 解题步骤 ①排序：确定最长边 c(避免顺序错误)。 ②验证 :计算是否等于? 易错点：未正确识别最长边或计算错误； 题型2：几何综合题 题目特征：结合其他几何知识(如面积计算、图形折叠、坐标系等)； 解题技巧 构造辅助线：将复杂图形分割为直角三角形(如连接对角线)； 勾股数的灵活运用：如 3-4-5、5-12-13 等常见组合可快速验证； 1．（2024·四川达州·二模）如图，在正方形中，是边的中点，是边上的点，且，连接，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接， 设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是边的中点，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴ ∴， 故选： 2．（2024·四川广元·二模）如图，在等边三角形中，D是边上的中点，．将绕点C顺时针旋转，得到，连接，，当时，的大小是 （    ）                              A．60°或90° B．90°或120° C．60°或300° D．120°或150° 【答案】C 【详解】解：设，则，，， ， ， ①如图中，当点在的中点时，满足条件，此时；    ②如图中，当点落在的中点时，满足条件，此时．    综上所述，满足条件的的值为或． 故选：C． 3．（2023·四川遂宁·中考真题）如图，在△ABC中，，点P为线段上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作于点M、作于点N，连接，线段的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， ∵在△ABC中，， ∴， ∴△ABC是直角三角形，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，即最小， ∴当点P与点D重合时，最小，即最小，此时最小值为，， ∴点E的坐标为， 故选C．      4．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，的对边分别为a、b、c，且满足，则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（2024·四川绵阳·三模）如图，已知△ABC中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，M，N为垂足，若，，，则的值是 ． 【答案】/ 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ ． 故答案为：． 6．（2023·四川成都·一模）若为△ABC的三边，且满足，则△ABC的最长边的高的长度等于 ． 【答案】 【详解】解：， ， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴△ABC是直角三角形， ∴斜边上的高是：， 故答案为：． 7．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的： 平地秋千未起，踏板一尺离地． 送行二步与人齐，五尺人高曾记． 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉． 良工高士素好奇，算出索长有几？ 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直） (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)秋千绳索的长度为尺 (2)能， 【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为点B． 设秋千绳索的长度为x尺． 由题可知，，，， ∴． 在中，由勾股定理得： ∴． 解得． 答：秋千绳索的长度为尺． （2）能． 由题可知，，． 在中，， 同理，． ∵， ∴． ∴． 8．（2024·四川乐山·一模）如图，点分别为△ABC的边的中点，延长交于点，已知． (1)证明：； (2)请连接，若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：点分别的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 如图， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的面积为． （建议用时：35分钟） 1．（2024·四川巴中·中考真题）如图，直线，一块含有的直角三角板按如图所示放置．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，的周长为，正六边形内接于．则的面积为（     ）    A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】解：设半径为，由题意得，， 解得， ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∵， ∴△AOB是正三角形， ∴， ∴弦所对应的弦心距为， ∴． 故选：B． 3．（2024·四川广安·中考真题）如图，在等腰三角形中，，，以为直径作半圆，与，分别相交于点，，则的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在△ABC中，， ∴， 又， ∵ ∴， ∴的长度为， 故选：C． 4．（2024·四川德阳·中考真题）已知，正六边形的面积为，则正六边形的边长为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：如图：根据多边形的内角和定理可求出正六边形的一个内角为，故正六边形是由6个正三角形构成的，过点作垂足是， 设正六边形的边长为，即 在正三角形中， ∵， ∴， 在中， 一个正三角形的面积为：， 正六边形的面积为：， ∴， 解得：， 故选：C． 5．（2024·四川自贡·中考真题）如图，等边△ABC钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵等边△ABC，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 6．（2023·四川攀枝花·中考真题）如图，已知正方形的边长为3，点是对角线上的一点，于点，于点，连接，当时，则（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图：    连接， 四边形是正方形， ，， ，，， 四边形是矩形， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，， ， ，，， ， ， 故选：． 7．（2023·四川遂宁·中考真题）一个三角形的三个内角的度数的比试，这个三角形是 三角形 【答案】直角 【详解】解：， 这个三角形是直角三角形， 故答案为：直角． 8．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，，，将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴； 如图，当时，延长交于， ∵，， ∴, ∴， 故答案为：或 9．（2024·四川阿坝·中考真题）如图，中，，，，折叠△ABC，使点A与点B重合，折痕与交于点D，与交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：由折叠的性质，得， 设，则， 由勾股定理，得， ∴， 解得. 故答案为：3． 10．（2024·四川眉山·中考真题）如图，△ABC内接于，点在上，平分交于，连接．若，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：延长，交于， 是的直径， ，， 平分， ， 又∵， ∴， ， ， ，， ， ， 又∵， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为24 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 12．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知矩形． (1)尺规作图：作对角线的垂直平分线，交于点E，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接．求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析；(2)见解析． 【详解】（1）解：如图1所示，直线为所求； （2）证明：如图2，设与的交点为O， 由（1）可知，直线是线段的垂直平分线． ∴，，，， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 13．（2024·四川凉山·中考真题）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．    (1)求证：； (2)求的最小值． 【答案】(1)见详解(2) 【详解】（1）证明：连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：过点N作于点F，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， 当点A、N、F三点共线时，取得最小值，如图：      即， ∴在中，， ∴的最小值为． 14．（2023·四川甘孜·中考真题）如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，．    (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)存在， 【详解】（1）解：由题意，可知，，． ． 即． ． （2）在中，， ． ． ， ，． ． ． 在中，． （3）由（2）可知，． 当最小时，有的值最小，此时． 为等腰直角三角形， ． ． 即的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$