专题18 最值模型之瓜豆模型原理模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（广东专用）

专题18 最值模型之瓜豆原理模型 目录 1 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 1 模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 6 14 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 例2．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．    例3．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 例2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 例3．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    例4．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 例5．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为 ．    8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 9．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，正方形的边长为8，P为边上的动点，连接，作交边于点．当点从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为 ． 10．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，正方形的边长为，点，分别为边，上一动点，且连接，相交于点，点，分别是，的中点，连接，点为的中点点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为 ． 11．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时， ；在点运动过程中，的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，点C的坐标为，是x轴上的一动点，B为y轴上一点，且，． （1）如图1，当时， ． （2）如图2，连接，F为的中点，在点A从原点O运动到点的过程中，点F所经过的路线长是 ． 三、解答题 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，以B为圆心作．点P是上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转90°得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若与相切，则的度数是；（直接写答案） (3)连接，，，求线段的最大长度． 14．（2020·江西·中考真题）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 0 -3 -3 … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值； （3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题18 最值模型之瓜豆原理模型 目录 1 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 1 模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 6 14 模型1.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 当动点轨迹为一条直线时，常用“垂线段最短”求最值。 1）当动点轨迹已知时可直接运用垂线段最短求最值； 2）当动点轨迹未知时，先确定动点轨迹，再垂线段最短求最值。 3）确定动点轨迹的方法（重点） ①当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线，即模型1）； ②当某动点与定直线的端点连接后的角度不变时，该动点的轨迹为直线，即模型2）； ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线； ④观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等特殊位置考虑； 注意：若动点轨迹用上述方法不好确定，则也可以将所求线段转化（常用中位线、全等、相似、对角线）为其他已知轨迹的线段求最值。 例1．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 【答案】// 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 例2．（2023上·湖南长沙·九年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点C是y轴上一动点，设其坐标为，线段绕点C逆时针旋转至线段，则点B的坐标为 ，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化一旋转，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型． 设，过点作轴，垂足为点，证明，推出，可得点的坐标为，推出点的运动轨迹是直线，根据垂线段最短解决问题即可． 【详解】设，过点作轴，垂足为点，    ∵线段绕着点按逆时针方向旋转至线段， ∵点，点，∴点的坐标为，∴点的运动轨迹是直线， ∵直线交轴于，交轴于， 过点作于．则， 根据垂线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为，故答案为：；． 例3．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立；（2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故；（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 则，那么，，故答案为：； （2）判断：，理由如下：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，，∴ ∴，∴，∴；故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L， 则，∵四边形是矩形，∴，，，    ∵，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，由（2）得 ，∴， ∴，∴的最小值为的最小值，即， ∵，，∴， ∴∴，∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 模型2.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，，∴C点的运动轨迹为阿氏圆，∴， ∴，∴当最小时，的值最大， ，∴，故选：D． 例2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，，平面上有一点P，，连接，，取的中点G．连接，在绕点A的旋转过程中，则的最大值是（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，圆的确定，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，取的中点，连接，，证明在以为圆心，为半径的圆上，即可得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接，， ∵为的中点，，∴，∴在以为圆心，为半径的圆上， 当C，Q，G三点共线时，最大，， ∵，，，∴，∴， ∴，即的最大值为．故选A 例3．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：连接，∵正方形，∴，，       ∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴， ∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，，∴， 即长度的最大值为，故答案为：． 例4．（2023·四川广元·统考一模）如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作Rt，且使，连接，则长的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】作，使得，，则，，，由，推出，即（定长），由点是定点，是定长，点在半径为1的上，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，作，使得，，则，，， ，，，，， ，即（定长），点是定点，是定长，点在半径为1的上， ，的最大值为，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 例5．（2024·吉林长春·二模）【问题呈现】数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点是外的一个定点，．点在上，作点关于点的对称点，连接、．当点在上运动一周时，试探究点的运动路径． 【问题解决】经过讨论，小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题；如图②，延长至点，使，连接，通过证明，可推出点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．下面是部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 证明过程缺失 2°当点在直线上时，易知． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆．请你补全证明中缺失的过程． 【结论应用】如图③，在矩形中，点分别为边的中点，连接，点是中点，点是线段上的任意一点，．点是平面内一点，，连接．作点关于点的对称点，连接． （1）当点是线段中点时，点的运动路径长为________________． （2）当点在线段上运动时，连接．设线段长度的最大值为，最小值为，则________________． 【答案】问题解决：证明过程见解析；结论应用：（1）；（2） 【分析】问题解决：延长至点，使，连接．当点在直线外时，证明得出；当点在直线上时，则，即可得解； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆，由此计算即可得出答案：（2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小；当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大；分别求出的值即可得解． 【详解】问题解决：证明：延长至点，使，连接． 1°当点在直线外时， 在和中，，∴，∴； 2°当点在直线上时，则． 综上，点的运动路径是以点为圆心、2为半径的圆； 结论应用：（1）由问题解决可得：当点是线段中点时，点的运动路径为2为半径的圆， ∴点的运动路径长为； （2）由问题解决可得：点的运动路径为2为半径的圆， 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接交圆于，此时的长度最小，由题意得：，，，， ， ， ∴由勾股定理得：，∴线段长度的最小值为； 如图，当点与点重合时，此时：点的运动路径为以为圆心，2为半径的圆，连接，连接交圆于，此时的长度最大，由题意得：，， ∵，∴，∴，， ∵，∴、、在同一直线上，∴， ∴，∴线段长度的最大值为， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、求弧长、圆的相关知识点、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，是解此题的关键． 一、单选题 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，取圆上一点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点重合时， ∵， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为直径， 当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∴在的运动过程中的路径长为， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】先说明当为中点，点在上运动，时，有最小值，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ 又∵，， ∴ ∴当点位于点处时，点位于点处， 当点在上时，如图所示，过点作于点， 根据旋转可得， ∵， ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴在线段上运动， ∴当时，最小， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键． 3．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，是的直径，，C是上半圆弧的中点，D是下半圆上一个动点，过点A作的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、求圆心角、求某点的弧形运动路径长度 【分析】本题考查了圆心角定理、勾股定理．作出辅助线并找到点的运动轨迹是解答的关键． 连接，，根据圆心角定理可得，根据勾股定理可得，根据，可知点在以为直径的半圆上运动，根据圆的周长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，， 点是上半圆的中点， ， ， ， ， 在中， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， ． 故选B． 4．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【知识点】与三角形中位线有关的证明、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长、圆的基本概念辨析 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及中位线，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，轨迹圆，熟练根据图形画出辅助线、找出动点运动的轨迹是解题的关键．连接，设的中点分别为，连接，利用中点的性质确定点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，且点从点运动到点，通过， 得出，推出点的运动路径长与点的运动路径长相等即可． 【详解】解：如图，连接，设的中点分别为，连接， 则， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 点从点运动到点， 点从点运动到点， 的长， ，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 和对应， 点的运动路径长与点的运动路径长相等， 点的运动路径长为， 故选：C． 5．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图，的直径为8，P是上一动点，半径，，垂足为H．当点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理等知识，根据可判断点H在以为直径的圆上运动，则点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径是以为直径的半圆，然后根据勾股定理求出，最后根据圆的周长公式求解即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 则点P从A运动到B的过程中，点H运动的路径是以为直径的半圆， ∵的直径为8， ∴， ∵， ∴， ∴点H运动的路径长为， 故选：B． 6．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，正方形的边长为6，以点C为圆心，2为半径作．P为上的动点，连接，并将绕点B逆时针旋转得到，连接．在点P运动的过程中，长度的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、求一点到圆上点距离的最值、根据旋转的性质求解 【分析】先证明，则，通过画图发现，点的运动路线为以A为圆心，2为半径的圆，当在对角线延长线上时，最大．再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：如图，连接，， 由旋转得：， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在以点A为圆心，半径为2的圆上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，， ∴， 即长度的最大值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题，寻找点的运动轨迹是本题的关键． 二、填空题 7．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查图形的旋转、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质，能够确定点的轨迹是解题的关键．根据旋转的性质，确定在线段上运动，当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， 如下图，当点与点重合时，在上，且，此时点与点重合，    ∵， ∴， 当点与点重合时，运动到处， ∴点在线段上运动， 当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，当与点重合时，取最小值， 此时， ∴， 在中，，即 ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·北京·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以抛物线的顶点C为圆心，2为半径的圆上的动点，点Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ． 【答案】/ 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、与三角形中位线有关的求解问题、求一点到圆上点距离的最值 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，抛物线与坐标轴轴的交点，三角形中位线定理，连接，设的延长线交于E，先求出点，点，点，由此得是的中位线，则，因此当为最大时，为最大，根据点与圆的位置关系可知为最大，然后再求出的长即可得出的最大值． 【详解】解：连接，设的延长线交于E，如图所示： 对于抛物线，当时，，当时，，或， ∴点，点，点， ∴， ∵点Q是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当为最大时，为最大， 根据点与圆的位置关系可知：点A到上各点的距离中，为最大， ∴当点P与点E重合时，为最大，最大值为， 在中，由勾股定理得：， ∵的半径为2， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 9．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，正方形的边长为8，P为边上的动点，连接，作交边于点．当点从B运动到C时，线段的中点M所经过的路径长为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了正方形的性质、中位线的性质定理、二次函数求最值等问题； 本题先连接，取的中点，连接，由中位线的性质得，且，所以点的运动路径是一条线段，求运动路径就是求的最大值的一半．设，，建立，的函数关系式，讨论函数的最大值． 【详解】解：连接，取的中点，连接，如图： ， ∵点和点分别是线段和线段的中点， ∴由中位线的性质得，且， ∵， ∴点运动路径是经过点且平行于的一条线段， 设，， ∵ 四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 10．（2024九年级下·浙江宁波·竞赛）如图，正方形的边长为，点，分别为边，上一动点，且连接，相交于点，点，分别是，的中点，连接，点为的中点点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质证明、90度的圆周角所对的弦是直径、求扇形面积 【分析】取的中点，连接，取的中点，连接，，可证明，得，再证明，则，以点为圆心，以长为半径作，则点、点都在上，可证明在上运动，则线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积，求所对的“弓形”的面积即可． 【详解】解：取的中点，连接，取的中点，连接，，则， 四边形是边长为的正方形， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， 连接并延长交于点，连接， 、分别为、的中点， ，， 点在上，，， ， ， ， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， 经过的中点，即在上运动， 以点为圆心，以长为半径作， ， 点、点都在上， 当点与点重合时，则点与点重合，点与点重合， 线段扫过的面积为所对的“弓形”的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、三角形的中位线定理、平行线分线段成比例定理、扇形面积的计算、点的运动轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 11．（24-25九年级上·重庆渝中·期末）如图，矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点，连接，．，分别为，的中点，连接，为的中点，连接．当与相切时， ；在点运动过程中，的最小值为 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、切线的性质定理、坐标与图形综合 【分析】先连接，得出，结合相切的性质，则在中，；以点B为平面直角坐标系的原点，分别以所在的直线为轴，轴，根据线段的中点，分别表示，，则，再分析在点运动过程中，要得出的最小值，即有最小值，则，令，有且仅当时，则，得，，解得．即可作答． 【详解】解：连接， ∵矩形中，，，以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点， ∴， 当与相切时， 即，， ∴在中，； 如图：以点B为平面直角坐标系的原点，分别以所在的直线为轴，轴， ∵矩形中，，， ∴， ∵以为圆心，为半径画弧交于点，为上一动点， ∴设， 则 ∵，分别为，的中点， ∴ ∵为的中点， ∴ 即， 则 ∵在点运动过程中，要得出的最小值， 即有最小值， ∴， 令 ∴， 即， 有且仅当时，则， 即， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 【点睛】本题考查了相切的性质，勾股定理，平面直角坐标系，线段的中点，完全平方公式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，点C的坐标为，是x轴上的一动点，B为y轴上一点，且，． （1）如图1，当时， ． （2）如图2，连接，F为的中点，在点A从原点O运动到点的过程中，点F所经过的路线长是 ． 【答案】 / 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形，勾股定理等知识： （1）过点C作轴于点D，证明，根据相似三角形的性质可得结论； （2）连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点，判断点F的运动路径长就是线段的长，根据正弦求出的长即可． 【详解】解：（1）如图，过点C作轴于点D． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为． （2）如图，连接，．过点作交点，取的中点，连接延长交点， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴四点共圆， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的运动轨迹是线段 当时，,此时， 当时，点与重合， ∵ ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25九年级上·山东威海·期末）在中，，，以B为圆心作．点P是上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转90°得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若与相切，则的度数是；（直接写答案） (3)连接，，，求线段的最大长度． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、切线的性质定理、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据已知条件以及旋转的性质，在和中，利用证明，从而证得； （2）由与相切，分为两种情况分别计算； （3）由（1）中证明的，可知，分析当点在的延长线上时，取得最大值． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得：， ， ， 在和中，， ， ； （2）解：分两种情况： ①如图， 由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵与相切， ， ， ②如图， 由旋转的性质得，由旋转的性质得，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵与相切， ， ， 综上所述：当与相切时，的度数为或； （3）解：如图 当点在的延长线上时，取得最大值． 由（1）知， ， ， ， ∴， 即的最大值为． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的证明，圆的切线性质以及动点问题中线段最值的求解．关键在于做出正确的辅助线，不要遗漏． 14．（2020·江西·中考真题）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 0 -3 -3 … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值； （3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ．    【答案】（1）上，；（2），；（3）图象见解析，中点的轨迹为抛物线；（4）． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴； （2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值； （3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可； （4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可． 【详解】（1）由表可知：；，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上； 由表可知：；，可知抛物线的对称轴为： 故答案为：上， （2）由表可知：代入点得 ，解得 ∴抛物线的表达式为： 当时， 当时， （3）作图如下：    OP中点连接后的图象如图所示：为抛物线    （4）如图所示：可得    【点睛】本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$