专题06 全等三角形模型之截长补短模型、倍长中线模型与一线三等角模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题06 全等三角形模型之截长补短模型、倍长中线模型与一线三等角模型 目录 1 模型1.全等三角形模型之截长补短模型 1 模型2.全等三角形模型之倍长中线模型 9 模型3.全等三角形模型之一线三等角模型 16 24 模型1.全等三角形模型之截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 例2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分．则线段的长度满足的数量关系为______；    （2）如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； （3）将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 例3．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 模型2.全等三角形模型之倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 例2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 例3．（2023八年级上·全国·专题练习）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 模型3.全等三角形模型之一线三等角模型 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 例2．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 一、填空题 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ． 二、解答题 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 3．综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢? 已知：如图1，在中，分别是的中点． 求证： 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一线段长的一半．所以可以用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，连接这样只需证明，且．由于是的中点，容易证明四边形、四边形是平行四边形，证明．．． 问题解决： 上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是_____． (填入选项前的字母代号即可) A．数形结合思想   B．转化思想   C．分类讨论思想   D．方程思想 证明四边形是平行四边形的依据是 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如上辅助线作法：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为，．． 请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： 如图4、四边形和都是正方形，是的中点．求证： 4．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 5．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 命题  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图1，在中，是边上的中线，； 求证：是直角三角形．    【分析问题】 （1）看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；______等；（添加一个和中点有关的定理） （2）深入思考后发现：对于有关中点问题，常用以下几种辅助线解决问题． 如图，在中，是边上的中线． 辅助线一：如图2，倍长中线，构造全等三角形或平行四边形； 辅助线二：如图3，倍长线段，构造中位线； 辅助线三：如图4，取的中点M，连接构造中位线，等等．    【解决问题】 请选用（2）中的一种添加辅助线的方法，完成上面命题的证明； 【拓展应用】 （3）如图，菱形的周长为，，点M为边的中点，点N是边上一动点，把∠A沿直线折叠，点A落在点E处，当是直角三角形时，的长度为______．    6．（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 8．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 9．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 10．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形模型之截长补短模型、倍长中线模型与一线三等角模型 目录 1 模型1.全等三角形模型之截长补短模型 1 模型2.全等三角形模型之倍长中线模型 9 模型3.全等三角形模型之一线三等角模型 16 24 模型1.全等三角形模型之截长补短模型 条件：AD为△ABC的角平分线，∠B=2∠C。 结论：AB＋BD＝AC。 证明：法1（截长法）:在线段AC上截取线段AB′＝AB，连接DB。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS） ∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C， ∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。 法2（补短法）:延长AB至点C′使得AC′＝AC，连接BC′。 ∵AD为△ABC的角平分线，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS） ∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD， ∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。 例1．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，，，与的平分线，交于点． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形的外角，全等三角形的判定和性质，证明线段的和差常用“截长或补短”的方法． （1）利用三角形的内角和求出的度数，再利用角平分线得到、的大小，最后求出外角的度数； （2）在上，构造，再利用条件证明，从而得到解题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线，交于点 ∴,， ∵是的外角， ∴； （2）证明：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中 ，     ∴ ， ∴， ∵， ∴． 例2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图1，四边形中，，是上一点，平分，平分．则线段的长度满足的数量关系为______；    （2）如图2，将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立，如果成立，请说明理由；如果不成立，请举出反例； （3）将（1）中的条件“”改为“”，其他条件不变，试探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3），理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，根据题意作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）过点有作，根据得出，再根据平分，得出，即可证明，最后根据全等三角形对应边相等，即可得结果； （2）在上截取，连接，先证明，再证明，最后根据全等三角形的性质可得结论； （3）在上截取，，连接，先证明，再证明，然后证明为等边三角形，最后求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点有作，   ， ． 又， ． 平分， ． 又． ． ． 同理可得． ． 故答案为：； （2）成立，理由如下： 在上截取，连接，如图所示：   、分别平分、， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ； （3），理由如下： 在上截取，，连接，如图所示：   、分别平分、， ，， 在和中， ， ， 在和中， ，， ， ， 为等边三角形 ， ； 例3．（23-24八年级上·江西南昌·期中）综合与实践 问题提出 如图1，在中，平分，交于点D，且，则，，之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 方法运用    （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，延长至点E，使得，连接，……，请判断，，之间的数量关系并补充完整解题过程． （2）以上方法叫做“补短法”．我们还可以采用“截长法”，即通过在上截取线段构造全等三角形来解题．如图3，在线段上截取，使得①______，连接②______．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“补短法”或“截长法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在五边形中，，，，若，求的度数． 【答案】（1），见解析 （2）①AC   ②DF，见解析 （3） 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和SSS综合（SSS）、角平分线的有关计算 【分析】（1）利用证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至点G，使，连接，利用证明，得出，，从而可证得．即可利用证明，得出，即可由求解． 【详解】（1）． 理由：∵平分， ∴． 又∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）①AC   ②DF． 辅助线如图1所示．    （3）如图2，延长至点G，使，连接，．    ∵，， ∴． ∵，，， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 又∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 模型2.全等三角形模型之倍长中线模型 1）倍长中线模型（中线型） 条件：AD为△ABC的中线。 结论： 证明：延长AD至点E，使DE=AD，连结CE。 ∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS） 2）倍长类中线模型（中点型） 条件：△ABC中，D为BC边的中点，E为AB边上一点（不同于端点）。 结论：△EDB≌△FDC。 证明：延长ED，使DF=DE，连接CF。 ∵D为BC边的中点，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS） 例1．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至点E，使， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）（1）阅读理解 如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，连接，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是 　　．这种方法叫做倍长中线法． （2）问题解决： 如图2，，，此时成立吗？请说明你的理由． （3）问题拓展： 如图3，已知：，，，，为的中线，反向延长交于点，求证：． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）证明见解析． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】（1）延长至，使，连接，由证明，得出，在中，由三角形的三边关系求出的取值范围，即可得出的取值范围； （2）延长至，使，连接，证明，可得到，，再证明，可得． （3）延长到，使得．首先证明四边形是平行四边形，再证明，推出，由，推出，推出，即可解决问题； 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ； 故答案为：； （2）解：成立． 理由：延长至，使，连接，如图2所示： 在和中， ， ， ，， ， ， ， ． （3）证明：如图，延长到，使得． ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例3．（2023八年级上·全国·专题练习）综合与实践 小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值范围．小明的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．    请回答： （1）小明证明用到的判定定理是：　　； ．  ．  ．  ． （2）的取值范围是 　　． 小明总结：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造． 参考小明思考问题的方法，解决问题： （3）如图3，在正方形（各角都为直角）中，为边的中点，、分别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【知识点】根据正方形的性质证明、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）延长到，使，连接，由即可证明问题； （2）由三角形三边的关系即可求出的取值范围； （3）延长，交于，即可证明，得到，，由线段垂直平分线的性质定理得到． 【详解】（1）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中点， ， 在和中， ， ． 故选：； （2）解：∵， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3，延长，交于，   四边形是正方形， ， ∴， ， 是中点， ， ∵， ∴， ∴，， ， 垂直平分， ， ∵， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，一元一次不等式的应用，关键是通过作辅助线构造全等三角形． 模型3.全等三角形模型之一线三等角模型 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 例2．（24-25九年级上·重庆南岸·期末）在菱形中，，点是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，，用的度数（含的代数式表示）； (3)如图3，，，点是边上一动点，连接，若，是延长线上一点，且，连接，请直接写出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】利用菱形的性质证明、根据正方形的性质与判定证明、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的形状，熟练掌握一线三等角全等模型，并会利用条件构造一线三等角全等模型是解题的关键． （1）过点作，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）延长到点，使，连接，先根据菱形的性质、平行线的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）先由（2）知当时，，过点作于点，且使，连接，构造出，得出，，再得出，取中点，连接，，得出， ，由两点之间线段最短得，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，交延长线于点， ∵在菱形中，， ∴四边形是正方形，， ∴，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）知当时，， 如图，过点作于点，且使，连接， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图，取中点，连接，， ∵，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短得，且当、、依次共线时，取得最大值． 一、填空题 1．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ． 【答案】8 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 延长交的延长线于点F，证明，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点F， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 二、解答题 2．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）如图，为等腰直角三角形，，直线经过点A且绕点A在所在平面内转动，作，为垂足． (1)如图①，求证：； (2)在图②和图③中，（1）的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，直接写出三条线段的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，见解析 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）在上截取，连接，利用全等三角形判定，得出，进而用判定得到，得出，再通过线段的等量代换即可证明； （2）在上截取，连接，用类似（1）的方法可得图②和图③中（1）的结论不成立，写出数量关系即可． 【详解】（1）证明：如图，在上截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． （2）解：在图②和图③中，（1）的结论不成立． 图②中，结论：； 图③中，结论：． 对于②，截取，连接， 为等腰直角三角形，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ． 对于③，截取，连接，同理可证：． 3．综合与实践 问题背景： 我们知道，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半，如何证明三角形中位线定理呢? 已知：如图1，在中，分别是的中点． 求证： 分析：问题中既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一线段长的一半．所以可以用“倍长法”将延长一倍：延长到，使得，连接这样只需证明，且．由于是的中点，容易证明四边形、四边形是平行四边形，证明．．． 问题解决： 上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是_____． (填入选项前的字母代号即可) A．数形结合思想   B．转化思想   C．分类讨论思想   D．方程思想 证明四边形是平行四边形的依据是 反思交流： “智慧小组”在证明中位线定理时，在图1的基础上追加了如上辅助线作法：如图3，分别过点作的垂线，垂足分别为，．． 请你根据“智慧小组”添加的辅助线，证明三角形的中位线定理． 方法迁移： 如图4、四边形和都是正方形，是的中点．求证： 【答案】（1）B；（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（3）详见解析；（4）详见解析 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、四边形其他综合问题 【分析】（1）根据解题方法知，将证明“”的问题转化为矩形的性质的问题； （2）由平行四边形的判定定理填空； （3）利用“”证明，根据全等三角形对应边相等可得，，同理，，则．然后判断出四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到答案； （4）如图4，延长到点，使得，连接、．易证，四边形是平行四边形，结合该平行四边形和图中正方形的性质，证得，故，所以． 【详解】（1）根据根据上述材料中“倍长法”体现的数学思想主要是转化思想． 故选：； （2）证明四边形是平行四边形的依据是：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （3）证明：如图3， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 如图4，延长到点，使得连接，， 是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 四边形和都是正方形， ∴ ∴ ∴ 在和中 ， ∴， ∴， 【点睛】本题为四边形综合题，还考查了三角形的中位线定理的证明，关键在于作辅助线构造成全等三角形和平行四边形，文字叙述性命题的证明思路和方法需熟练掌握． 4．（23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 5．（24-25九年级上·山西运城·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 命题  如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 已知：如图1，在中，是边上的中线，； 求证：是直角三角形．    【分析问题】 （1）看见中线，联想到和中点有关的定理，比如：三角形中位线定理；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；______等；（添加一个和中点有关的定理） （2）深入思考后发现：对于有关中点问题，常用以下几种辅助线解决问题． 如图，在中，是边上的中线． 辅助线一：如图2，倍长中线，构造全等三角形或平行四边形； 辅助线二：如图3，倍长线段，构造中位线； 辅助线三：如图4，取的中点M，连接构造中位线，等等．    【解决问题】 请选用（2）中的一种添加辅助线的方法，完成上面命题的证明； 【拓展应用】 （3）如图，菱形的周长为，，点M为边的中点，点N是边上一动点，把∠A沿直线折叠，点A落在点E处，当是直角三角形时，的长度为______．    【答案】（1）等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）见解析；（3）或3 【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半作答即可； （2）按照辅助线的作法进行证明即可； （3）由菱形的性质可得，，，由点M为边的中点，可得，由折叠的性质可知，，，则，由题意知，分，两种情况求解；当时，如图5，则，，，根据，求解即可；当时，如图6，记中点为，连接，证明，则，证明是等边三角形，则，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； 故答案为：等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； （2）辅助线一：证明：如图2，延长到，使，连接，    ∵是边上的中线，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形． 辅助线二：证明：如图3，延长到，使得，    ∵是边上的中线， ∴， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴，是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 辅助线三：证明：如图4，取的中点M，连接，    ∴， ∵是边上的中线，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴是直角三角形． （3）解：∵菱形的周长为，， ∴，， ∵点M为边的中点， ∴， 由折叠的性质可知，，， ∴， 由题意知，分，两种情况求解； 当时，如图5，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图6，记中点为，连接，    ∴， ∵，，， ∴， ∴， 同理，，， ∴是等边三角形， ∴， 综上所述，的长度为或3， 故答案为：或3． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，折叠的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，折叠的性质是解题的关键． 6．（23-24八年级上·江西南昌·期中）通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题： [模型呈现] 如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到.进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型；    [模型应用] 如图2，且，且，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． [深入探究] 如图3，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【答案】模型呈现：；模型应用：50；深入探究：见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握“K型”全等是解题的关键； [模型呈现]根据题意可直接进行求解； [模型应用] 由“字”模型可知，，，则有，，，，然后根据割补法求面积即可； [深入探究] 过作于，过作于，由“字”模型得：，则有，然后可证，进而问题可求解． 【详解】[模型呈现]解：， . 故答案为：； [模型应用]解：如图2中，                   图2 由“字”模型可知，，， ，，，， ， 图中实线所围成的图形的面积梯形的面积的面积的面积的面积的面积 ； 故答案为：50； [深入探究]证明：如图3，过作于，过作于，           图3 由“字”模型得：， ， 同理：， ， ，， ， 在与中 ， ， 即点是的中点． 7．（24-25八年级上·山东聊城·期中）【阅读材料】 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】（1）；理由见解析（2），理由见解析；（3）不成立.新数量关系为：． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和等于、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、“等角对等边”等知识． （1）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此即可得到； （2）在上截取，连接，证明，推出，，同（1）即可求解； （3）在的延长线上取一点，使，连接，证明，同理可证明． 【详解】解：（1）， 理由：如图①，在上截取，连接， 为的角平分线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）， 理由：如图②，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （3）不成立， 新数量关系为：， 理由：如图③，在的延长线上取一点，使，连接， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 8．（24-25八年级上·山西忻州·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东泰安·期中）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来： （1）如图（1），为等边三角形，，，则________ 【模型应用】（2）如图（2），正方形的顶点B在直线l上，分别过点A、C作于E，于F．若，，则的长为________ 【模型变式】（3）如图（3）所示，在中，，，于E，于D，，，求的长． 【答案】（1）；（2）3；（3） 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． （1）根据等边三角形的性质及和角关系，可得； （2）根据正方形的性质及和角关系，可得，由全等三角形的性质即可求得的长； （3）由三个垂直及等腰直角三角形可证明，由全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：3； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ 10．（23-24八年级下·四川眉山·阶段练习）【他山之石】如图，已知的两边，，是中线，求的取值范围． 一茗同学说出他的思路是“倍长中线法”，思路：先将延长至E，使得，再连接、，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得，在中再利用三角形边的关系先得到：，最后转化得到：． 【学以致用】如图①，在正方形和正方形中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连结，． （1）探究与的关系（写出结论，不需要证明）； （2）如图②，将原问题中的正方形和正方形换成菱形和菱形，且．探究与的关系，写出你的猜想并加以证明； 【拓展延伸】如图③，将图②中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的边恰好与菱形的边在同一条直线上，问题（2）中的其他条件不变．你在（2）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明． 【答案】（1）；（2），，理由见详解；【拓展延伸】不发生变化，理由见详解 【知识点】全等三角形综合问题、根据正方形的性质证明、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】（1）延长交于点H，由题意易知，则有，然后问题可求解； （2）延长交于点M，由题意易知，则有，然后可得，进而问题可求解； 【拓展延伸】延长到H，使得，连接，由题意易证，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】解：（1），理由如下： 延长交于点H，如图， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）延长交于点M，如图， ∵四边形和四边形都是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 拓展延伸：在（2）中得到的结论不发生变化，理由如下： 延长到H，使得，连接，如图所示： ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，点A、B、G又在一条直线上， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形、菱形的性质、全等三角形的性质与判定及含30度的直角三角形的性质，熟练掌握正方形、菱形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$