专题05 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾、双角平分线和高线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题05 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾、双角平分线和高线模型 目录 1 模型1.“A”字模型 1 模型2.“8”字模型 3 模型3.燕尾模型 6 模型4.双内角角平分线模型 9 模型5.一内角一外角双角平分线模型 12 模型6.双外角角平分线模型 15 模型7.高线与角平分线分线模型 20 23 模型1.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 【答案】235°/235度 【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为计算，然后根据邻补角的定义计算即可． 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：． 例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 模型2.“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 例2．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得 结论；（4）如图4，同理计算可得结论． 【详解】（1）在中，，在中，， ∵，∴故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为： （3）由（2）可知：， ∵，∴，∴，∴， （4）如图4，延长、交于点，设，， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴，，， ∴故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 模型3.燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 例2．如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．    探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 【答案】（1），理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【分析】（1）连接AD并延长至点E，利用三角形外角的性质得出左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论有，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根据求出，然后结合角平分线的定义再利用即可求解； （3）先根据求出，再求出的度数，最后利用求解即可． 【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E，∵    又∵∴ （2）①由（1）可知 ∵，∴ ②由（1）可知 ∵，∴ 平分 ，CF平分 （3）由（1）可知 ∵， ∴ ∵，分别是、的2020等分线（） ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 模型4.双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【分析】由条件可知平分和，利用三角形内角和可求得． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 模型5.一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，， ，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，， 在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键． 例2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 【答案】25，三角形内角和定理，115；（1），（2）49 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出， 得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：教材呈现：∵平分（已知）， ∴， 同理可得， ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 问题推广：（1）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （2）平分，平分， ，， ，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 模型6.双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不变，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，邻补角等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，邻补角是解题的关键． （1）由题意得，，则，，，，； （2）同理（1），，则，，，则，，由，作答即可． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线，分别是的角平分线，∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：当变化时，的值不变，理由如下； 同理（1）， ，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当变化时，的值不变． 例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：如图③，延长至点， ，为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 模型7.高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【答案】 /10度 /30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 例2．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】此题主要考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解决问题的关键． 先根据三角形内角和定理求出，然后在中利用三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 在中，． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，中，与的角平分线、相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】考查学生对三角形内角和定理，解题关键是运用了三角形的内角和为．根据三角形内角和定理可求得的度数，再根据角平分线的定义可求得的度数，从而求解． 【详解】∵， ∴， ∵点是与的角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴． 故选． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查角平分线以及三角形内角和的运用，首先根据三角形内角和与得出，然后根据角平分线的性质得出和的外角和，进而得出，即可得解． 【详解】 、是的外角角平分线 （） 故选：D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点． ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ， ， ， ∵的角平分线交于点， ， ，， ， 故选：B． 二、填空题 5．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度． 【答案】13 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理及外角的性质，先利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，进而求出，由即可解答． 【详解】解：， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， 故答案为：13． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 【答案】 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，对顶角的性质，三角形的外角性质等；，设，则，由三角形的内角和定理得，，再由角平分线及三角形的内角和定理得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用三角形的内角和定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， 又， ， 设，则， ， ， ，分别平分和， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 7．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成图中的四边形，，仍然是，的平分线，猜想与、的数量关系是 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的计算，解决此题的时候，注意构造三角形，直接运用已知的结论，再进一步利用三角形的外角的性质进行转换．延长、相交于点．根据已知的结论，得．结合三角形的外角的性质，得，再进一步代入化简即可． 【详解】解：延长、相交于点． 根据已知的结论，得． 又． ． 即． 故答案为： 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 【答案】 /度 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，，然后利用“8字形”的关系式结合角平分线列式整理即可得解； 【详解】解：（1），， 又∵， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； 故答案为：（1），（2） 三、解答题 9．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图所示，点D在的延长线上，，，，，，求度数． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，平角的定义，熟练掌握三角形外角的性质是解决问题的关键．根据三角形的外角性质可求出，，再由平角的定义求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ， ∵是的外角， ， ∵， ， ∴， ， 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 【答案】探究：见解析；应用：（1）；（2） 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题侧重考查三角形的外角性质及三角形内角和定理． 探究：连结，并延长，如图所示，先由外角的性质得①，②，再由①②即可得出结论； 应用：（1）先由三角形的内角和求出，得到，再由探究的结论得到，代入求值即可； （2）连结，由探究可知，，即可得到， 【详解】探究： 证明：连结，并延长，如图所示， 是的外角， ①， 是的外角， ②， ①②，得 ， 即； 应用： 解：（1），， ， ， 由探究可知； （2）连结，如图所示． 由探究可知③， ④， ③④，得 ， ． 11．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形的外角，与角平分线有关的计算： （1）作射线AF，根据三角形的外角的性质可得结论：； （2）先根据三角尺可知：，根据（1）的结论可得：，从而得结论； （3）先根据第1题的结论可得：的度数，由角平分线可得：，从而得结论． 【详解】解：（1），理由是： 过点A、D作射线， ∵， ∴， 即； （2）∵， 由（1）知：， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）【问题背景】 如图1的图形我们把它称为“8字形”，其中与交于O，请说明； 【简单应用】 如图2，与交于O，分别平分，若，则______． 【拓展延伸】 在图3中，与交于O，若，则______． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角的和差运算，角平分线的意义，正确理解题意，正确运用是解题的关键． （1）由三角形的外角性质即可证明； （2）由角平分线可设，由上得，，即可求解； （3）由题意设，则由上得： ，由上得：，则，联立即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵分别平分， ∴， 设， 由上得：， ， ∵ ∴， 由①得： 由②得：， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴设， 由上得：， ∴， ∴， 由上得：， ∴， ∴， ∴, 解得：， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ），理由见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，以及角平分线的定义． （1）先根据三角形的内角和求出，根据角平分线的定义得出．最后根据，即可解答； （2）（ⅰ）先根据三角形的内角和求出．结合角平分线的定义推出平分，则，即可解答； （ⅱ）由（ⅰ）可知：，，则，由（1）知，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵BE是的平分线， ∴． ∴． （2）解：（ⅰ）在中，． ∵和分别是和的角平分线， ∴平分． ∴． ∴． （ⅱ），理由如下： 由（ⅰ）可知：，， ∴． ∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 13．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的性质和三角形外角的性质是解题的关键； （1）根据是边上的高，得，利用角平分线的性质求出 ，再利用三角形外角的性质即可得出答案； （2）利用角平分线的性质表示出，然后利用高线的性质得出，再利用三角形内角和即可得出答案； （3）根据题意画出的平分线，与交于D点。画出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F，然后根据高线的性质及角平分线的性质和三角形外角的性质解答即可 【详解】解：（1）是边上的高线， ， 是的角平分线，， ， 又， ； （2）解为的角平分线， ， 是边上的高， ， ； （3）如图：作出的平分线，与交于D点．作出的外角的平分线，两条平分线交于点E，过点E作，交于点F， 证明：在中，， ， 又平分， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾、双角平分线和高线模型 目录 1 模型1.“A”字模型 1 模型2.“8”字模型 3 模型3.燕尾模型 6 模型4.双内角角平分线模型 9 模型5.一内角一外角双角平分线模型 12 模型6.双外角角平分线模型 15 模型7.高线与角平分线分线模型 20 23 模型1.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 模型2.“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 例2．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 模型3.燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 例2．如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．    探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 模型4.双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 模型5.一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 例2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 模型6.双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 模型7.高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 例2．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，点E，D分别在，上，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东江门·期末）如图，中，与的角平分线、相交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北十堰·期中）如图，、是的外角角平分线，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，与的角平分线交于点P，，，则为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，是的角平分线，E为边上一点，过点E作交的延长线于点F．若，则的大小为 度． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则 ． 7．（2024八年级上·北京·专题练习）如图，、是任意中、的角平分线，可知，把图中的变成图中的四边形，，仍然是，的平分线，猜想与、的数量关系是 ． 8．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系 ． （2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图所示，点D在的延长线上，，，，，，求度数． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）【探究】如图①，试说明； 【应用】 （1）一张帆布折椅的侧面示意图如图②所示，，，，，求椅面和椅背的夹角的度数； （2）如图③，，，求的度数． 11．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）［问题初探］（1）观察“基础图”图1，试探究与，，之间的关系，并说明理由；请你直接利用以上结论，解决以下问题： ［类比分析］（2）如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点，，若，直接写出的结果． ［拓展探究］（3）如图3，平分，平分，若，，求的度数． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）【问题背景】 如图1的图形我们把它称为“8字形”，其中与交于O，请说明； 【简单应用】 如图2，与交于O，分别平分，若，则______． 【拓展延伸】 在图3中，与交于O，若，则______． 12．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在中，和分别是和的角平分线，和交于点O． (1)如图1，若，，求的度数； (2)连接并延长交于点F，已知，． （i）如图2，求的度数（用含，的式子表示）； （ii）如图3，过点O作于点G，试判断和度数的大小关系，并加以说明． 13．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 14．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）如图1，在中，，是的角平分线，是边上的高线，、相交于点，若，求的度数． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与边的延长线交于点．若，求的度数（用表示）； （3）如图3，在中，，的平分线与交于点，与的外角的平分线交于点．过点作，交与点，请自行补全图形，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$