模拟卷14（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题14 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．函数的最小值为_____． 2．已知的外接圆半径为，且，则的面积的最大值为_____． 3．已知点和抛物线上另两点，使得，则点纵坐标的取值范围是_____． 4．在单调递增数列中，已知，且对，有成等差数列，成等比数列，那么_____． 5．已知正四面体中，点分别在棱上，若，，则三棱锥的体积为_____． 6．若复数满足，则的最大值为_____． 7．的展开式中项的系数为_____． 8．已知方程有666组正整数解，则正整数的最大可能值为_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知为正整数．求所有的正实数，使得 10．（本题满分20分）在锐角中，边长满足，其中．是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式 的值恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 11．（本题满分20分）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同直线，且，直线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，以为直径的两圆的公共弦所在直线记为，中点记为．求点到直线距离的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题14参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．函数的最小值为_____． 答案：． 解：将函数移项，两边平方，并化简，得由解得． 注意到，则．故当时，取到最小值． 2．已知的外接圆半径为，且，则的面积的最大值为_____． 答案：． 解：由题设，则，所以 所以，，即有，从而 当，即为正三角形时取最大值． 3．已知点和抛物线上另两点，使得，则点纵坐标的取值范围是_____． 答案：或． 解：设点坐标为，点坐标为．显然，注意到，则有 从而可得方程为．与联立，消去，得 注意到，得．即有．由，解得或． 当时，点坐标为，当时，点坐标为，均满足题意．故点的纵坐标的取值范围是或． 4．在单调递增数列中，已知，且对，有成等差数列，成等比数列，那么_____． 答案：2601． 解：由题设，．于是 所以成等差数列，又，所以 从而． 5．已知正四面体中，点分别在棱上，若，，则三棱锥的体积为_____． 答案：． 解：设，由题设知 ，得，注意到，则有．代入得 由和，得．所以．于是 6．若复数满足，则的最大值为_____． 答案：． 解：由题设，即．于是 当时，上式取等号．因此的最大值为． 7．的展开式中项的系数为_____． 答案：． 解：的展开式中项的系数为 8．已知方程有666组正整数解，则正整数的最大可能值为_____． 答案：304． 解：设，其中为非负整数，且．因为，所以的可能取值为．对任意，此时，，有组有序数对为原方程的正整数解．从而题中方程共有 组不同的正整数解．注意到 我们可得，的最大可能值为，此时． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知为正整数．求所有的正实数，使得 解法一：注意到，则题中等式等价于 移项，整理得 当时，，所以，必有，也即有． 解法二：由均值不等式，有 则 从而有 当且仅当时，上式取等号，故满足原式的仅有． 10．（本题满分20分）在锐角中，边长满足，其中．是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式 的值恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 解：由得，结合，得 假设存在满足要求的函数，则由题设，可设，注意到 则有 取，则 简单检验知，对满足的锐角，有 综上，存在函数满足题设要求． 11．（本题满分20分）过抛物线的焦点作斜率分别为的两条不同直线，且，直线与抛物线交于点，直线与抛物线交于点，以为直径的两圆的公共弦所在直线记为，中点记为．求点到直线距离的最小值． 解：由题设，从而方程为的方程为，设，则是方程 的两根．于是有 同理， 记以为直径的圆为，以为直径的圆为，则 化简，整理，得 同理， 两式相减，得公共弦方程为 注意到，则方程即为． 注意到坐标为，所以到直线的距离 所以，当时，点到直线距离的最小值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$