模拟卷13（全国高中数学联赛一试）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优全真模拟卷（全国通用）

2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题13 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知数列满足，且对任意正整数，都有，记数列的前项和为，则_____． 2．在平面直角坐标系中，已知定点和动点，满足：的内切圆与边的切点始终为点，则动点的轨迹方程为_____． 3．已知正实数满足，则的最大值为_____． 4．函数定义在实数集上，满足：，且对任意实数，有 则在区间上至少有_____个不同的实数根． 5．求值：_____． 6．的小数点后第2025位数字为_____． 7．已被锥满足，若三棱锥的体积为_____． 8．将方格表的中每个方格染为黑白两色之一（可以全部染为同一种颜色），若两个小方格有公共边，称它们相邻，则不存在两个相邻的方格均为黑格的染法数为_____． 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知正整数，定义集合 记．若，求． 10．（本题满分20分）求最小的正实数，使得存在正实数数列，对任意正整数，有 11．（本题满分20分）已知抛物线的焦点为，过轴左侧点作抛物线的两条切线，切点分别为和，过作轴的垂线，分别交于和，求面积取最小值时，的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛） 暨2025年全国高中数学联合竞赛 一试全真模拟试题13参考答案及评分标准 说明： 1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次． 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次． 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分． 1．已知数列满足，且对任意正整数，都有，记数列的前项和为，则_____． 答案：3． 解：由题设条件及递推关系，有 数列是周期为6的周期数列，且，注意到，所以 2．在平面直角坐标系中，已知定点和动点，满足：的内切圆与边的切点始终为点，则动点的轨迹方程为_____． 答案：． 解：设的内切圆与边的切点分别为和，则 于是有，这表明点到点和的距离之差为定值，所以点轨迹为双曲线的右支，双曲线的焦点为和，其方程为 注：没有注明范围，本题得零分． 3．已知正实数满足，则的最大值为_____． 答案：． 解：由得，从而，故 4．函数定义在实数集上，满足：，且对任意实数，有 则在区间上至少有_____个不同的实数根． 答案：41． 解：由题设条件，可知 于是，．也即是周期为10的周期函数． 注意到，则在一个周期上至少有两个根，因此在上至少有个不同的实数根． 5．求值：_____． 答案：1． 解一：注意到，则 解二：由正切三倍角公式，得 6．的小数点后第2025位数字为_____． 答案：0． 解：设，则 又由得，则，所以于是，的小数点后前2025位数字均为0． 7．已被锥满足，若三棱锥的体积为_____． 答案：或． 解：设在平面上的射影为，因为，所以，也即为外心．设，则 于是有 所以 于是 又由余弦定理，得，所以 解之得 8．将方格表的中每个方格染为黑白两色之一（可以全部染为同一种颜色），若两个小方格有公共边，称它们相邻，则不存在两个相邻的方格均为黑格的染法数为_____． 答案：577． 解：考虑更一般的情形，记方格中满足要求的染法数为方格中满足要求且最后一列均为白格的染法数为方格中满足要求且最后一列恰有一个黑格的染法数为，则，且对任意正整数，有 于是 所以，．注由递推关系，我们有 也即 其特征方程对应的特征根为，结合，得对应的通项公式为 所以 二、解答题：本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本题满分16分）已知正整数，定义集合 记．若，求． 解：对用换底公式，得 整理得 这个关于的一元二次方程的判别式恒正，恰有两个不同的实数根．设它的两个实数根分别为，则由韦达定理有 注意到，也即有． 若有不同的素因子，设分别为的素因子，且，则必有 若的素因子相同，则取最小值时，必有，于是 记，则是满足要求的最小值． 此时，取时得到的最小，最小值为． 综上，所求最小值为． 10．（本题满分20分）求最小的正实数，使得存在正实数数列，对任意正整数，有 解：的最小值为4． （1）当时，取．则 （2）下证：． 设．则 于是有 若，则，当时， 与矛盾！从而当时，不存在满足要求的正实数数列． 综上，的最小值为4． 11．（本题满分20分）已知抛物线的焦点为，过轴左侧点作抛物线的两条切线，切点分别为和，过作轴的垂线，分别交于和，求面积取最小值时，的面积． 解法一：设，显然切线斜率存在且不等于0，设切线方程为，代入抛物线方程，并整理得 由得，所以 因为点坐标为（1，0），所以的坐标分别为．所以 注意到，令，则，于是有 当，也即时，取到最小值．此时坐标为，对应的 解法二：设，则方程为，也即为 类似有，方程为 联立解得 注意到异号，令，则有 对求导，得．令，解得．从而当时，取最小值．此时 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$