福建省漳州台商第一中学2022-2023学年高二下学期第二次月考数学试题

台商一中2022-2023学年高二年段下学期第二次月考数学试题 2023.5.25 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分,考试时间120分钟． 第I卷（选择题 共60分） 1、 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．，，则（    ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 4．如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图在长方体中，，E，F，G分别是棱的中点，P是底面内一个动点，若直线平面平行，则线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 7．年春，为了解开学后大学生的身体健康状况，寒假开学后，学校医疗部门抽取部分学生检查后，发现大学生的舒张压呈正态分布（单位：），且，若任意抽查该校大学生人，恰好有人的舒张压落在内的概率最大，则（    ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为D，且其图象上所有点均在直线的上方，则称函数为“函数”，若函数的定义域为，且为“函数”，则实数t的最大整数值为（    ） A． B． C．1 D．2 2、 多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.） 9．下列函数在处的切线倾斜角是锐角的是（    ） A． B． C． D． 10．下列各式中能够说明随机事件A与随机事件B相互独立的是（    ） A． B． C． D． 11．已知正数、，满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为. B．的最大值为. C．的最小值为. D．的最小值为. 12．如图，在直四棱柱中，分别为侧棱上一点，，则（    ） A． B． C．的最大值为 D．当时， 第II卷（主观题 共90分） 3、 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________. 14．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设，与的数据如表格所示： 3 4 6 7 2.5 3 4 5.9 得到与的线性回归方程，则___________. 15．某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__________. 16．新冠病毒存在人际间传播现象，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那么A，B，C就被称为第一代､第二代､第三代传播者.假设一个身体健康的人被第一代､第二代､第三代传播者感染的概率分别为0.9，0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为________；若小明被感染，则是被第三代传播者感染的概率为______. 四、解答题：（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知函数在处取得极值2. (1)求a，b的值： (2)求函数在上的最值. 18．移动物联网广泛应用于生产制造、公共服务、个人消费等领域．截至2022年底，我国移动物联网连接数达亿户，成为全球主要经济体中首个实现“物超人”的国家．下图是2018-2022年移动物联网连接数与年份代码的散点图，其中年份2018-2022对应的分别为1~5． (1)根据散点图推断两个变量是否线性相关．计算样本相关系数（精确到），并推断它们的相关程度； (2)求关于的经验回归方程，并预测2024年移动物联网连接数． 附：样本相关系数，，， 19．如图1，在梯形ABCD中，，，，E为CD中点，将沿AE翻折，使点D与点P重合，如图2． (1)证明：PB⊥AE； (2)当二面角等于时，求PA与平面PEC所成角的正弦值． 20．北方的冬天室外温度极低，如果轻薄、保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，那么可爱的医务工作者们在冬季行动会更方便．石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯；制成石墨烯发热膜．从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现在有材料、材料可供选择，研究人员对附着在材料、材料上的石墨各做了50次再结晶试验，得到如下等高堆积条形图． (1)根据等高堆积条形图，填写如下列联表，并依据的独立性检验，分析试验结果与材料是否有关； 材料 材料 合计 试验成功 试验失败 合计 (2)研究人员得到石墨烯后．再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV胶层；②石墨烯层；③表面封装层．第一、二环节生产合格的概率均为，第三环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立．已知生产1吨石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元．试问如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利不低于1万元的目标？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 21．三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，，，与交于点M，，的中点分别为N，O，如图所示. (1)在平面内找一点D，使平面，并加以证明； (2)求二面角的正弦值. 22．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围. 台商一中2023-2024学年高二年段下学期第二次月考数学试题 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A A D B C C B BC BC ABD AD 2、 填空题: ; ; ； 0.83,. 7．【详解】因为，则，由题意知：抽查该校大学生人，恰好有人的舒张压落在内的概率为，要使此式的值最大，解得， 8．【详解】因为函数的定义域为，且为“函数”，所以在上恒成立，所以，设，则，令，则，所以在上单调递增，又，，所以存在使得，取最小值，且，所以，故函数的最小值为，又，所以，故t的最大整数值为. 11．【详解】对于A，因为，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为1，故A正确；对于B，因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以，则，当且仅当且，即时，等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为，故C错误；对于D，令，，则，，，，所以，所以的最小值为1，故D正确. 12．【详解】在等腰梯形中，因为，根据平面几何知识可得，，，在直棱柱中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，因为平面，所以，故A正确；因为两两垂直，所以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，， ，，，，则，故B不正确； ， 令，则， 所以当，时，取得最小值，则，根据平面向量夹角的范围可知，的最大值为，故C不正确；当时，，，，所以，又与不相交，所以，故D正确. 16【详解】设事件“小明与第一代传播者接触”，事件“小明与第二代传播者接触”， 事件“小明与第三代传播者接触”，事件“小明被感染”，则，，，，，，所以小明被感染的概率为；小明被感染,则是被第三代感染的概率为故答案为：0.83；. 17．【详解】（1），，在处取得极值2， 且，即，解得, 经检验符合题意，所以值为，值为2； （2）由（1）有，， 由，可得，在上单调递减，由，可得， 在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增，因此在处取得极小值，即为最小值，，，， 在处最大值，综上所述，在上的最小值为2，最大值为. 18．【详解】（1）由图可知，两个变量线性相关．由已知条件可得：，，所以，    ，， 所以相关系数，因此，两个变量具有很强的线性相关性． （2）结合（1）可知，，   所以回归方程是：，     当时，有，即预测2024年移动物联网连接数为亿户． 19．【详解】（1）证明：取AE中点为O，连接PO，BO，BE，由题可知，，又，所以，所以，，又平面POB，所以平面POB， 又因为平面POB，所以． （2）因为二面角等于，所以平面PAE⊥平面ABCE， 平面平面ABCE＝AE，因为PO⊥AE，所以PO⊥平面ABCE， 所以OA，OB，OP两两垂直．以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，不妨设AB＝2，由已知得，所以，， 则，，，，，，，，设平面PEC的法向量，则， 取平面PEC的一个法向量，设PA与平面PEC所成角为，则，即PA与平面PEC所成角的正弦值为． 材料 材料 合计 试验成功 45 30 75 试验失败 5 20 25 合计 50 50 100 20．（1）根据题中所给等高堆积条形图，得列联表如下： 零假设为：试验结果与材料无关．计算可得， 依据的独立性检验，推断不成立，即认为试验结果与材料有关． （2）设生产1吨石墨烯发热膜所需的修复费用为万元． 易知的可能取值为0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5． ，，， ，，， 则的分布列为 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 修复费用的期望． 所以石墨烯发热膜定价至少为万元/吨，才能实现预期目标． 21．【详解】（1）连接，取的中点为，连接，则平面.在三棱柱中，四边形是平行四边形，即为的中点，而为的中点，于是，平面平面，所以平面. （2）在三棱柱中， 是等腰三角形，为的中点，则，而平面平面，平面平面平面，于是平面，连接，而四边形是菱形，且，，则，，即有两两垂直，以为坐标原点，以射线的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 显然平面的一个法向量为，，设平面的一个法向量为，则，令，得 ，令二面角的平面角为，则，所以二面角的正弦值为. 22．（1）因为，所以. 因为，若，即时，在上单调递增， 若，即时，令，得；令，得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，恒成立，即恒成立，令，则，显然在上单调递增， 又，，所以存在唯一实数，使得，即， 所以.所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以时，恒成立， 若，恒成立，满足条件；若，函数在上单调递增， 而，不合题意；若，函数在上单调递减， 而，符合题意；所以当时，在上恒成立， 所以恒成立时，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$